【精品PPT】微分学课件

u v,
(u+v+…+ω)′=
u vω .
（2）积的导数：(uv)′= uv uv,
特例：(cu)′= cu (c为常数).
（3）商的导数： u =
uv - uv v2 (v≠0).
v
例1 设 y x4,则 y '
例2 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
f (x0 )
f(x0 )

lim
x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
注意 函数在一点可导的充分必要条件为：
f' (x0 ) f' (x0 )
导函数
（1）如果函数 y f (x)在开区间(a,b)内的每一点都可导,
就称函数 f (x)在开区间(a,b) 内可导.
y
y f (x)
T
M

o
x0
x
在(x0, f (x0 ))处的
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ). 每年都考、重点掌握！
法线方程为
y y0
f
1 ( x0
)
(
x

x0
)
(f (x0 ) 0).
例1、曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为：.
A. y x 1 B. y x C. y x 1 D. y x
例. 曲线 y 3 x 在点 (0,0) 处的切线方程为(
)
A、 x 0
B、 y 0
C、 x y
例. 设 y (1 x2 ) arctan x, 求 y/
D、不存在
5、隐函数的导数（掌握）
现在讨论由方程 F(x, y) 0所确定的隐函数 y y(x)的 导数，由于 F(x, y(x)) 0，两边对 x 求导，即可解出 y(x)，举例说明。
比如 函数 f ( x) x 在x 0处连续但不可导
解 f (0 x) f (0) x
h
x
y y x
f (0 x) f (0)
x
lim
lim 1
x0
x
h0 x
o
x
f (0 x) f (0)
x
lim
lim 1
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,

y

t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
如函数

x

t

et

sin
t
y ln t 4t tan t
由复合函数及反函数的求导法则得
所以y 2e2 x1
例：求曲线 y ex在点(0,1)处的切线的斜率k.
解：设 u x（幂函数） 则 y eu（指数函数）
所以 yx yu ux eu （1） ex
根据导数的几何意义, 得切线斜率为k y x0 1
例1 求函数 y e x3 的导数.
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)


x
2
1

1 2

2x x2
1

y


x
2
1

1 2

2x x2
1

(
x 1)2 x2 1
说明:
对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
3t 2
t 1

3 2
3
另解：先消参数t，化为y为x的方程：y x 2
y'

3
3 1
x2

3
1
x2
2
2
当t 1时，x 1(变量转换）
所以 dy dx
t 1

dy dx
x1

3 2
例.
设y

y(x
)是
由
方
程
组
x et
3t2 2t sin t y 1
3
8、 高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数， 要求高阶导数，需要逐步求一阶，二阶，三 阶等导数，注意从中找出规律，以便得到n 阶导数的表达式。
例：设 y sin x ，则 y ''
A. sin x B. sin x C. cos x
D. cos x
知识点：求高阶导数（求导以后再求导）
解： y' 4 x
y' |x1 4
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k y x1 4 故曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为
y 2 4(x 1)
即 y 4x 2
4、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的．
反之不成立.即连续不一定可导．
(ex )' ex
(4)(loga | x | )'
1; x ln a
(ln | x | )' 1 ; x
(5)(sin x)' cos x;
(6)(cos x)' sin x; (7)(tan x)' sec2 x; (8)(cot x)' csc2 x; (9)(sec x)' sec x tan x;
(10)(csc x)' csc x cot x; (11)(arcsin x)' 1 ;39; 1 ;
1 x2
(13)(arctan
x)'

1
1 x
2
;
(14)(arc cot
x)'


1
1 x2
.
2、导数的四则运算法则
（1）和（差）的导数：(u±v)′= 推广到有限个函数的情形：
x0
x
h0 x
即 f(0) f(0)
函数y f (x)在x 0点不可导.
二、导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
(1)C' 0
C为常数
(2)(xa )' axa1;


1 x
'


1 x2
,
x ' 1 2x
(3)(ax )' ax ln a(a 0,a 1)
第二部分 一元函数微分学
一、 导数 二、 微分 三、 微分中值定理 四、 洛必塔法则 五、 导数的应用
一、导数的概念与性质
速度 是位移增量与时间增量之比的极限
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限
变 化
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 率
问 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 题
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
解 y 3x2 4x cos x. 例3 求 y x6 3x sin 的导数 . 解 y 6x5 3 c0o. s4 .
4
例4 求y x2 cos x的导数
解：y 2xcos x x2sinx
例5 求y tan x的导数
解：y


注意：读懂题意，dy
dx
就是求
y x'
,要把y看成x的函数，
按照复合函数求导法则求导。
例1：设函数y f (x) 由 x2 3y4 x 2y 1 所确定，求 dy
dx
解：方程两边对 x 求导，得
2x 3 4 y3 y'x 1 2 y'x 0 12 y3 y'x 2 y'x 2x 1
解 y eu,u x3,
dy dy du dx du dx
eu 3x2 ex3 3x2.
例2 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
例3 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 y u10, u x2 1
dy dy du dx du dx
10u9 2x 10( x 2 1)9 2x 20x( x 2 1)9 .
例. y ln(1 x) 在点（0，0）处的切线方程是（ ）
0
所
确
定
的
隐
函数，求
dy dx
。 |t 0
7、 对数求导法
利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例. 设 y (x 1)2 ，求 y x2 1
解：两边先取对数：
ln y 2ln(x 1) 1 ln(x2 1) 2
1 y

y

2 x 1
1 2

2x x2 1
y
因x=0时y=0, 故
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x
y
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
6、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y


(t )确定 (t)
都存在,就说 f (x)在闭区间[a, b]上可导.
例 已知函数 f (x) 在点 x0 处可导，且 f (x0 ) 3，则
lim f (x0 5h) f (x0 ) 等于_______。
h0
h
A. 6
B. 0
C. 15
D. 10
3、 导数的几何意义
f (x0 )表示曲线 y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率tan.
对于任一 x I ,都对应着 f (x) 的一个确定的导数
值.这个函数叫做原来函数f (x) 的导函数.记作 y, f (x),
dy 或 df (x) . 即 y lim f ( x x) f ( x)
dx dx
x 0
x
很明显 f (x0 ) f (x) xx0 （2）如果f ( x ) 在开区间 (a,b)内可导,且 f(a)及 f(b)
并且称此极限为 y f(x) 在 x0 的导数 , 可记之为
y x x0 , f (x0 ) ,
dy
df
dx , x x0 dx . x x0
注意 “导数为”时不可导，即导数不存在。
单侧导数
左导数 右导数
f(x0 )

lim
x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
解： y' cos x y '' sin x
选A
微分
（一）、微分的概念 （二）、可微与可导的关系 （三）、微分的几何意义 （四）、微分的基本公式 （五）、微分的运算法则 （六）、复合函数的微分
（一）、微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积A x02的改变量

1. 导数的定义
(双侧)导数定义 设 y f(x)在某个U (x0 )上有定义。若
lim Δy lim f(x0 Δx) f(x0 ) lim f(x) f(x0 ) )
Δx Δx 0
Δx 0
Δx
xx0 x x0
存在，则称 y f(x) 在 x0可导（或导数存在、有导数），
sinx cos x

'

cos2 x sin2 cos2 x
x

1 cos2
x

sec2
x
4、复合函数的求导法则（掌握）
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且
yx yu ux，
或
yx f (u)( x)，
或
dy dy du .
dx du dx
例：设 y e2x ，则 y ' x1 ______.
知识点：分清复合函数由哪几个“基本初等函数”复合而成，再按照 复合函数求导法则求导,最后要把中间变量换回 x 的函数。 解：设 u 2x（幂函数）
则 y eu（指数函数）
所以 yx yu ux eu 2 2e2x
12 y3 2 y'x 2x 1
y'x

2 x 12 y3
1 2


2x 1 12 y3 2
.
例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得5y4 y ' 2y '1 21x6 0

dy dx

1 5y
21x6 4 2
dy
dy dx

dy dt

dt dx

dy dt

1 dx


(t ) (t )
即
dy dx

dt dx
dt
dt
例：设
x t2

y

t3
（t为参数），求
dy dx t1
dy
解：因为 dy dt 3t 2 3t dx dx 2t 2
dt
所以 dy dx
t 1