两例不等式恒成立问题中参数范围求解策略

两例不等式恒成立问题中参数范围求解策略作者：刘文汇
来源：《文理导航》2012年第02期
【摘要】不等式恒成立问题中参数范围求解几种常用方法：常规分析法、分离参数法、数形结合法、向量应用法、主元变换法、最值分析法、“△”判别法。

【关键词】参数范围求解策略
近几年，有关不等式恒成立中求参数范围的问题，频频出现在普通高考、对口高考和各地模拟试卷中，事实上，这类问题涉及知识面广，综合性强，解法灵活多变，是同学们学习中难点；因此，下面通过两典型例题的剖析，给大家介绍几种常用求解策略.如有不对，敬请斧正。

例1：设不等式，对于满足值都成立，求x的取值范围.
1.常规分析法
略解：可分别求
，时不等式的解集，再求同时属于上面三个解集的所有x，得到x的取值范围是.
2.分离参数法
解：原不等式可化为.
⑴当时，不等式可化为，显然要使其对一切恒成立，则，从而解得，；
⑵当时，不等式可化为，显然要使其对一切恒成立，则，从而解得，；
⑶当x=1时，不等式对一切
恒成立.
综上所述：x的取值范围为.
3.向量应用法
解：首先原不等式可化为：。

令，则恒成立恒成立，即对任意，向量的夹角始终为钝角或方向相反.设，，则有。

即向量的起点在坐标原点时，终点应分别在抛物线和线段上.
现过原点分别作与向量及向量垂直的射线：.
∴，即.
∴的取值范围是.
4.主元变换法
解：首先原不等式可变换为.设，显然，恒成立
恒成立
.，
∴的取值范围是.
例2：已知当时，不等式恒成立，求参数a的取值范围.
1.最值分析法
解：设f(x)=x2+ax+3-a，则x2+ax+3-a>0(x∈[0,1])恒成立?圳[f(x)]min(x∈[0,1])>0.
⑴当，即a>0时，
.
⑵当，即时，
，即.
⑶当，即a0恒成立，即a
综上所述：a
2. “△”判别法
解：显然，要使x∈[0,1]，x2+ax+3-a>0恒成立，只需二次函数y=x2+ax+3-a在区间[0,1]上的图象恒在x轴上方。

设△=a2-4(3-a)=a2+4a-12.
⑴当△
⑵当△>0，即a2时，y=f(x)的图象与x轴有两个交点，要使y=f(x)在区间[0,1]上图象恒在轴上方，只需f(x)=0的两根都小于0或都大于1.
⑶当△=0，即a=2或a=-6，满足题意.
综上所述：a
含参数不等式恒成立问题，常出现在高考压轴题中，不少学生望而却步；然而，它之所以成为近几年普通高考，对口高考的热点，其原因：通过它，可考查函数、导数、不等式等高中数学的主干知识，可考查学生综合解题能力，符合新课标、新课改要求，特别是，在培养学生思维的灵活性、创造性方面，它确实能起到一定的积极作用。

【参考文献】
[1]朱燕平.图象分析一道含参数不等式恒成立问题及推广.中学教研(数学)2009.5.
[2]朱赛军.“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手.中学数学教研.2009.2.
[3]朱胜强.一个不等式问题的教学与思考.数学通报.2010.7.
[4]王瑞敏.含参数的不等式在某区间上恒成立的问题.中学生数学化2011.7-8.
（作者：江苏省盐城技师学院）。