2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）
数学(文)试题
一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)
1、设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则(M∩N)＝() A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
2、函数y＝2(x≥0)的反函数为()
A．(x∈R) B．(x≥0)
C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)
3、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，，则|a＋2b|＝()
A.B．C．D．
4、若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为() A．17 B．14 C．5 D．3
5、下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()
A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
6、设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k ＝()
A．8 B．7 C．6 D．5
7、设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()
A． B．3 C．6 D．9
8、已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝…()
A．2 B．C．D．1
9、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()
A．12种B．24种C．30种D．36种
10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－5/2)＝()
A．B．C．D．
11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()
A．4 B．C．8 D．
12、已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A．7πB．9πC．11πD．13π
二、填空题( 本大题共 4 题, 共计20 分)
13、(1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．
14、已知，tanα＝2，则cosα＝______.
15、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为______．
16、已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝______.
三、解答题( 本大题共 6 题, 共计70 分)
17、设等比数列{a n}的前n项和为S n.已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求a n和S n.
18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
.
（1）求B；
（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.
19、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20、如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.
（1）证明：SD⊥平面SAB；
（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．
21、已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)．
（1）证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)；
（2）若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1，3)，求a的取值范围．
22、已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足. （1）证明：点P在C上；
（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．
—2011年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）
数学(文)试题
答案解析:
一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)
1、(5分) D
M∩N＝{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}，
又∵U＝{1，2，3，4}，∴(M∩N)＝{1，4}．
2、(5分) B
由(x≥0)得(y≥0)，
∴，∴反函数为(x≥0)．
3、(5分) B
由|a|＝|b|＝1，，
得
.
4、(5分) C
由x，y的约束条件画出可行域如图：
设l0：，
则过A点时，z的值最小．
由得A(1，1)，
∴z min＝2×1＋3×1＝5.
5、(5分) A
A项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b ＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
6、(5分) D
由S k
＋2－S k＝24，∴a k
＋1
＋a k
＋2
＝24，
∴a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝24，∴2a1＋(2k＋1)d＝24.
又a1＝1，d＝2，∴k＝5.
7、(5分) C
由题意得：为函数f(x)＝cosωx的最小正周期的正整数倍，∴
(k∈N*)，
∴ω＝6k(k∈N*)，∴ω的最小值为6.
8、(5分) C
如图，AB＝2，AC＝BD＝1，连结BC，则△ABC为直角三角形，
∴.
又△BCD为直角三角形，
∴.
9、(5分) B
先从4人中选2人选修甲课程，有种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有种方法．
10、(5分) A
∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴
11、(5分) C
由题意可设两圆的方程均为：(x－r)2＋(y－r)2＝r2.
将(4，1)代入，可得：(4－r)2＋(1－r)2＝r2，
∴r2－10r＋17＝0.∴此方程两根r1，r2分别为两圆半径，
∴两圆心的距离
12、(5分) D
由题意可得截面图形．
∵圆M的面积为4π，∴圆M的半径为2.
∵α与β所成二面角为60°，
∴∠BMC＝60°.
在△OMB中，∠OMB＝90°，MB＝2，OB＝4，∴∠OBM＝60°. ∴OB∥CD，.
在△OMN中，∠OMN＝30°，，∴.
∴.
∴圆N的面积为.
二、填空题( 本大题共4 题, 共计20 分)
13、(5分) 0
解析：(1－x)10的通项公式.
∴，，
∴系数之差为.
14、(5分)
解析：∵α∈(π，)，tanα＝2，
∴.又sin2α＋cos2α＝1，∴5cos2α＝1，
∴.
15、(5分)
解析：如图，连结DE.∵AD∥BC，
∴AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为a，∴，
∴，
∴.
16、(5分) 6
解析：F1(－6，0)，F2(6，0)，M(2，0)，
∴|F1M|＝8，|MF2|＝4.
由内角平分线定理得：
，
又|AF1|－|AF2|＝2a＝2×3＝6，
∴2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝6.
三、解答题( 本大题共6 题, 共计70 分)
17、(10分) 解：设{a n}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－1.
18、(12分) 解：（1）由正弦定理得.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝. 故，
.
19、(12分) 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
（1）P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
（2），P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝×0.2×0.82＝0.384.
20、(12分)
解法一：
（1）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.
连结SE，
则SE⊥AB，.
又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，
所以∠DSE为直角．
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
所以SD⊥平面SAB.
（2）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.
作SF⊥DE，垂足为F，
则SF⊥平面ABCD，.
作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.
连结SG，则SG⊥BC.
又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.
，即F到平面SBC的距离为.
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.
设AB与平面SBC所成的角为α，
则，.解法二：以C为坐标原点，射线CD 为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．
又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，
（1）＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由得
，
故x＝1.
由得y2＋z2＝1，
又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，
即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.
于是，，，，，.
故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，
所以SD⊥平面SAB.
（2）设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，
则，，，.
又，，
故
取p＝2得．又，
.
故AB与平面SBC所成的角为.
21、(12分) 解：（1）f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a.
由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a，得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，
由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2，2)．
（2）由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0.
①当时，f(x)没有极小值；
②当或时，由f′(x)＝0，得
，，
故x0＝x2.由题设知1＜－a＋＜3.
当时，不等式无解；
当时，解不等式，
得.
综合①②得a的取值范围是(，)．
22、(12分) 解：（1）F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，
则，，
，，
由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.
所以点P的坐标为．
经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C 上．
（2）由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①
设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②
由①②得l1、l2的交点为N，
，
，
，，
，
故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，
所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
—。