函数的基本性质---奇偶性

1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例它如们，的函图数象分f (别x)如 下x2 图1(,1f)(、x)(2)x所22示1.都是偶函数，
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
人教版普通高中课程标准实验教材（A版）
必修1 第一章 第三节
1.3.2函数的基本性质 ---奇偶性
y
0
x
学习目标
1. 了解函数奇偶性的含义及其图象特征；
2
2．掌握判断函数奇偶性的方法和步骤．
建立概念
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.
探究交流
(2) f ( x) x5
(3) f ( x) x 1 x
(1)解：定义域为R
(4)
f (x)
1 x2
(2)解：定义域为R
∵ f(-x)=(-x)4=f(x) f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数
∴f(x)奇函数
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
如果都有f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数
2.两个性质：
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
它的图象关于y轴对称
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x 1 x
(3) f (x) 5
(5) f (x) x 1
(2) f (x) x2 1
(4) f (x) 0 (6) f (x) x2, x [1,3]
总结提高
奇偶函数图象的一般性质 1.奇函数的图象关于原点对称. 反之，如果一个函 数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2.偶函数的图象关于y轴对称. 反之，如果一个函 数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于 A.简化函数图象的画法. B.判断函数的奇偶性
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如下图，画出在y轴左边的图象.
解：画法略 y
相等
0
x
y
相等
0
x
课堂小结
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
概念强化
1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质；
2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶 性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x， 则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域 关于原点对称）．
例题学习ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
判断应用
1.先求定义域，看是否关于原点对称； 2.再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.