线性代数期末试卷A答案及评分标准

A卷

2015—2016学年第一学期

《线性代数》期末试卷答案

（32学时必修）

专业班级

姓名

学号

开课系室应用数学系

考试日期2016年1月15日

题号一二三四五六七

总分

本题满分15 15 21 16 12 14 7

本题得分

阅卷人

1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；

4.本试卷正文共7页。

本题满分15分

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；

)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.

一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若

6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.

2.设1

3

5

2

4

1312010131

1--=

D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则

4443424122A A A A +-+等于【0】.

3．设102020103B ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【2】.

4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【1】.

5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=m m 11β是线

性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【1】.

6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式

=+-|2|1E B 【-8】.

二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1.设A 为3阶矩阵，且2

1

||=A ，则行列式|2|*-A 等于【A 】.

(A)2-；(B)2

1

-

；(C)1-；(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

的逆矩阵为【A 】．

(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(D)110110001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

.

3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【A 】． (A)||0A =；(B)||1A =；(C)A 可逆；(D)A 满秩.

4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪==- ⎪ ⎪

⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

1-=AB C ，则1

C -的第3行第1列的元素为【

D 】． (A)4；(B)8；(C)0；(D)1-.

5．设3231212

322

21321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【B 】．

(A)2=a ；(B)1=a ；(C)3=a ；(D)以上选项都不对.

三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)

1.若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为

零的数321，，λλλ，使得

0=3+++2+2+321）

（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+

323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得

由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此

0=3

01220

01k ，由此得k =分

2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .

解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，

由此可得0=+B E A

又02=1220100

12

=+≠--E A ----------2分

因此0=B

因此可得5=-a .----------7分

3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，且,A B 相似，求a 与t 的值．

解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，

而易知B 的特征值为-1,t ,3，因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得

2113

2(4)3t a t a ++=-++⎧⎨

-=-⎩

----------5分 解得12a t ==,.----------7分

四、（共2小题，每小题8分）

1．求向量组

的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.

解：令()123410

3

11

301,,,21724

2140A αααα⎛⎫ ⎪

--

⎪

== ⎪ ⎪

⎝⎭,把A 进行行变换，化为行最简形，

()123

410300110~00010

000A C ββββ⎛⎫

⎪

⎪

== ⎪ ⎪

⎝⎭

----------6分

则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.