导数在研究函数中的应用典例详解

《导数在研究函数中的应用》典例详解
要点精讲
用导数的方法研究函数的单调性，主要根据导数的正负来判断函数的增减情况；函数在是点的导数为0是函数取到极值的必要不充分条件，还需考察两边导数的符号才能确定是否在这点取到极值；函数在闭区间上的最大(小)值通过比较极值和区间端点的函数值来求得．
典型题解析
【例1】设函数是定义在[)(]-1001，， 上的奇函数，当x ∈-[)10，时，
f x ax x ()=+
21
2
（a 为实数）． （1）当x ∈(]01，时，求的解析式；
（2）若a >-1，试判断在（0，1］上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当x ∈(]01，时，有最大值． 【解】（1）设x ∈(]01，，则-∈--=-+
x f x ax x [)()1021
2
，， f x ()为奇函数，∴()()f x f x -=- ∴ 2
1
()2(01]f x ax x x =-
∈，， （2）f x a x a x
'()=+
=+⎛⎝ ⎫⎭⎪222133 a x x a x >-∈≥+>101111
033
，，，
，(] 即f x '()>0 ∴f x ()在(]01，上是单调递增的
（3）当a >-1时，在(]01，单调递增∴max ()(1)6f x f == 解得：a =-
5
2
（不合题意） 当a ≤-1，则f x x a
'()==-
013
，
如表可知f x f a ()max =-⎛⎝
⎫
⎭⎪=-163
∴=-a 22, x =
∈2
2
01(]， ∴存在a =-22，使函数在（0，1）上有最大值. 【例2】求函数2
4
1)1ln()(x x x f -
+=在[0，2]上的最大值和最小值． 【分析】本题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力． 解题突破口：本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题,基本思路为：1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数
f ′(x)；（2）求方程f ′(x)=0的根；（3）检查f ′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．
【解】∵,2
1
11)(x x x f -+=' 令
,02
1
11=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去 当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．
所以4
1
2ln )1(-=f 为函数的极大值．
又因为),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数在[0，2]上的最小值，
4
1
2ln )1(-
=f 为函数在[0，2]上的最大值． 【例3】(2004年湖南卷文史类) 如图，已知曲线C 1：y=x 3(x ≥0)与曲线C 2:y=－2x 3+3x (x ≥0)交于O ，A,直线x =t(0<t<1)与曲线C 1,C 2分别交于B ，D.
（Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
【解】（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,
323
3
x x y x
y 得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）. ),33(2
1
||21|01|||21)(3t t BD BD S S t f OBD ABO +-==-⋅=
+=∆∆ 即 ).10().
(2
3)(3<<--=t t t t f
（Ⅱ）.2
3
29)(2+-='t t f 令0)(='t f 解得 .33=t 当,0)(,330>'<<t f t 时从而在区间)3
3
,0(上是增函数； 当
,0)(,133<'<<t f t 时从而在区间)1,3
3(上是减函数. 所以当 3
3
=
t 时，有最大值为 .33)33(=
f 【例4】已知,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间．
【分析】 与a 的取值有关，应正确应用分类讨论思想方法与解不等式的技能．利用⇔∈>'D x x f ,0)(在 D 内单调递增． ⇔∈<'D x x f ,0)(在 D 内单调递减解决此类问题．
【解】.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='
（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0．
所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
（II ）当,02
,02,02>-<>+>x a
x ax x a 或解得由时
由.02
,022<<-
<+x a
ax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－
a
2
）内为增函数，在区间（－a
2
，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数； （III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a
2
,
由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a
2
．
所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a
2）内为增函数，在区间（－
a
2
，+∞）内为减函数． 【例5】设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t,c －1）处的切线与x 轴y 轴所围成的三角表面积为S （t ）．
（Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求S （t ）的最大值．
【分析】 已知切点求切线，关键是求切线斜率，也就是求导．求三角形面积的最大值，首先必须建立面积的目标函数S(t)，然后利用导数方法研究其最大值．在前后两次求导中，都必须熟练掌握求导的有关公式． 【解】（Ⅰ）因为,)()(x x e e x f ---='='所以切线的斜率为,x e -- 故切线的方程为).(t x e e y t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t ． （Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得)1(+=-t e y t
所以S （t ）=)1()1(2
1
+⋅+-t e t t
=t e t -+2)1(2
1
从而).1)(1(2
1
)(t t e t S t +-='-
∵当（0，1）时，>0,
当（1,+∞）时,<0, 所以S(t)的最大值为S(1)=.2
e
规律总结
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．。