19-20版 第2章 §5 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角
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(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直 线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2. ①当 0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 〈s1，s2〉 ； ②当π2<〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉． 思考：空间两条直线的夹角的范围是多少？
11 B. 11
C．－
110 11
913 D. 33
D
[cos〈n，a〉＝－
4 11 33
，∴l与α夹角的余弦为sin〈n，a〉
＝
913 33 .]
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4．已知平面α的一个法向量为n1＝(2，2，x)，平面β的一个法向 量为n2＝(2，x，－2)且平面α，β的夹角为60°，则x＝________．
[间夹角的概念 如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点 R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我 们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
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(2)平面间夹角的求法． 设平面 π1 与 π2 的法向量分别为 n1 与 n2. ①当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_〈__n_1，__n__2〉__； ②当π2＜〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_π_－_〈__n_1_，__n_2〉_． 事实上，设平面 π1 与平面 π2 的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
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1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2， 点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此 时动点E的位置．
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[解] 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)， D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， D→1A＝(1，0，－1)，C→E＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0 ＝ 2× 1＋（t－2）2·cos 60°， 所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
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直线与平面的夹角
【例2】 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥
AC，PA＝AC＝
1 2
AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，
第二章 空间向量与立体几何
§5 夹角的计算 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角
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学习目标：1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算 问题．(重点) 2. 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难 点)
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自主预习 探新知
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1．直线间的夹角 (1)共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在 0，π2内的角叫作两直线的夹角，如图所示．
BC的中点．
求SN与平面CMN夹角的大小．
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[解] 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y 轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)， 又AN＝14AB，M、S分别为PB、BC的中点， ∴N12，0，0，M1，0，12，S1，12，0， C→M＝1，－1，12，S→N＝－12，－12，0，
C．30°或150°
D．以上均错
A [直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，l1与l2这两 条异面直线的夹角等于180°－150°＝30°，选A.]
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3．若平面α的一个法向量n＝(4，1，1)，直线l的方向向量a＝
(－2，－3，3)，则l与α夹角的余弦值为( )
A．－
11 11
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(2)异面直线的夹角 当直线 l1 与 l2 是异面直线时，在直线 l1 上任取一点 A 作 AB∥l2， 我们把直线 l1 和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1 与 l2 的夹角，如图所示．
两条异面直线的夹角的范围为__0_，__π2___，当夹角为π2时，称这两 条直线异面 垂直 ．
＝|（－
3，1，－
3）·（ 7· 7
3，－1，－
3）|＝17.
∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为17.
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1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决 这类题的关键．
2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为 0，π2 ，所以若求得 余弦值为负数，则线线夹角为其补角．
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思考：空间中两个平面的夹角的范围是多少？ [提示] 0，π2
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3．直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ.
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1.判断正误
(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等． ( )
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角
0 [由两平面夹角为60°，故它们法向量的夹角为60°或120°， ∴n|n11·||nn22| ＝8＋4 x2＝±12，
∴x＝0.]
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合作探究 提素养
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直线间的夹角 【例1】 如图所示，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥ 平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.
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[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1， 3)，A( 3，0，0)，
A1( 3，1， 3)，B(0，2，0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3) O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝|A|→A→11BB·||OO→→11AA| |
的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n|n11·||nn22| .
()
(3)直线与平面夹角的范围为0，π2.
()
[答案] (1)× (2)× (3)×
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2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2
这两条异面直线的夹角等于( )
A．30°
B．150°
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直 线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2. ①当 0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 〈s1，s2〉 ； ②当π2<〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉． 思考：空间两条直线的夹角的范围是多少？
11 B. 11
C．－
110 11
913 D. 33
D
[cos〈n，a〉＝－
4 11 33
，∴l与α夹角的余弦为sin〈n，a〉
＝
913 33 .]
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4．已知平面α的一个法向量为n1＝(2，2，x)，平面β的一个法向 量为n2＝(2，x，－2)且平面α，β的夹角为60°，则x＝________．
[间夹角的概念 如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点 R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我 们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
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(2)平面间夹角的求法． 设平面 π1 与 π2 的法向量分别为 n1 与 n2. ①当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_〈__n_1，__n__2〉__； ②当π2＜〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_π_－_〈__n_1_，__n_2〉_． 事实上，设平面 π1 与平面 π2 的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
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1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2， 点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC的夹角为60°，试确定此 时动点E的位置．
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[解] 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)， D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， D→1A＝(1，0，－1)，C→E＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0 ＝ 2× 1＋（t－2）2·cos 60°， 所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
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直线与平面的夹角
【例2】 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥
AC，PA＝AC＝
1 2
AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，
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§5 夹角的计算 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角
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学习目标：1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算 问题．(重点) 2. 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难 点)
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1．直线间的夹角 (1)共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在 0，π2内的角叫作两直线的夹角，如图所示．
BC的中点．
求SN与平面CMN夹角的大小．
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[解] 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y 轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)， 又AN＝14AB，M、S分别为PB、BC的中点， ∴N12，0，0，M1，0，12，S1，12，0， C→M＝1，－1，12，S→N＝－12，－12，0，
C．30°或150°
D．以上均错
A [直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，l1与l2这两 条异面直线的夹角等于180°－150°＝30°，选A.]
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3．若平面α的一个法向量n＝(4，1，1)，直线l的方向向量a＝
(－2，－3，3)，则l与α夹角的余弦值为( )
A．－
11 11
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(2)异面直线的夹角 当直线 l1 与 l2 是异面直线时，在直线 l1 上任取一点 A 作 AB∥l2， 我们把直线 l1 和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1 与 l2 的夹角，如图所示．
两条异面直线的夹角的范围为__0_，__π2___，当夹角为π2时，称这两 条直线异面 垂直 ．
＝|（－
3，1，－
3）·（ 7· 7
3，－1，－
3）|＝17.
∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为17.
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1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决 这类题的关键．
2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为 0，π2 ，所以若求得 余弦值为负数，则线线夹角为其补角．
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思考：空间中两个平面的夹角的范围是多少？ [提示] 0，π2
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3．直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ.
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1.判断正误
(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等． ( )
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角
0 [由两平面夹角为60°，故它们法向量的夹角为60°或120°， ∴n|n11·||nn22| ＝8＋4 x2＝±12，
∴x＝0.]
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直线间的夹角 【例1】 如图所示，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥ 平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.
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[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1， 3)，A( 3，0，0)，
A1( 3，1， 3)，B(0，2，0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3) O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝|A|→A→11BB·||OO→→11AA| |
的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n|n11·||nn22| .
()
(3)直线与平面夹角的范围为0，π2.
()
[答案] (1)× (2)× (3)×
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2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2
这两条异面直线的夹角等于( )
A．30°
B．150°