辽宁省沈阳市东北育才学校(高中部)2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校（高中部）高
一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A ={x|x ≤0}，B ={x ∈Z||x|≤2}，则(∁R A)∩B =( )
A. {−2,−1,0}
B. {−2,−1}
C. {1,2}
D. {0,1,2}
2. 设x ∈R ，则“x 2−2x <0”是“|x −1|<2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 下列说法不正确的是( )
A. 若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题
B. 命题“∃x ∈R ，x 2−x −1<0”的否定是““∀x ∈R ，x 2−x −1≥0”
C. 设A ，B 是两个集合，则“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的充分不必要条件
D. 当a <0时，幂函数y =x a 在(0,+∞)上单调递减
4. 若a >b >1，0<c <1，则下列式子成立的是( )
A. log a c <log b c
B. b a−c >a
b−c
C. blog a c >alog b c
D. a b <b a
5. 若正数x ，y 满足x 2+xy −2=0，则3x +y 的最小值是( )
A. 2
B. 4
C. 2√2
D. 4√2
6. 若f(x)={(3−a)x −4a,x <1
x 2,x ≥1
是(−∞,+∞)上的增函数，则a 的取值范围是( )
A. [2
5,3)
B. (2
5,3]
C. (−∞,3)
D. (2
5,+∞)
7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时f(x)=3x −1.若f(x −t)+f(x 2−t 2)≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围为( )
A. [−1−√52
,−1+√52
]
B. (−∞,−1
2] C. {−1
2}
D. (−∞,−1
2)
8. 己知函数f(x)=|lg(x −1)|−a x (0<a <1)有两个零点x 1，x 2，则有( )
A. x 1x 2<1
B. x 1x 2<x 1+x 2
C. x 1x 2=x 1+x 2
D. x 1x 2>x 1+x 2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列叙述中正确的是( )
A. 若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”
B. “a <1”是“方程x 2+x +a =0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C. 若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx +c ≥0对x ∈R 恒成立”的充要条件是“b 2−4ac ≤0”
D. “a >1”是“1
a <1”的充分不必要条件
10. 已知a >0，b >0，且a +2b =1，则( )
A. ab 的最大值为1
9 B. 1a +2
b 的最小值为9
C. a 2+b 2的最小值为1
5
D. (a +1)(b +1)的最大值为2
11. 若a >b >1，0<m <1，则( )
A. a m <b m
B. m a <m b
C. log m a <log m b
D. log a m <log b m
12. 已知函数f(x)的定义域为R ，f(2x −1)是奇函数，则使得f(1)=0成立的充分条件是( )
A. f(x)在[−3,0]上单调
B. f(x)为偶函数
C. f(2x +1)为偶函数
D. f(x +2)=f(x)+f(2)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 用列举法表示集合A ={6
x−2∈Z|x ∈N}= ．
14. 已知f(x)=x|x|，则满足f(2x −1)+f(x)≥0的x 的取值范围为 ． 15. 已知a >0，b >0，且
3a+2+3b+2
=1，则a +2b 的最小值为 ．
16. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)={1−log 3x ,0<x ≤3
log 3x −1,3<x ≤94−√x ,x >9，设a ，b ，c 为三个互不相同
的实数，满足，f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知集合A ={x|x 2−8x +m =0,m ∈R}，B ={x|ax −1=0,a ∈R}，且A ∪B =A ． (1)若∁A B ={2}，求m ，a 的值; (2)若m =15，求实数a 组成的集合．
18. (本小题12.0分)
已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0,1]，不等式m 2−3m ≤x 2−2x −1恒成立；命题q ：∃x ∈(−∞,0]使得m ≤2x 成立．
(1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．
19. (本小题12.0分)
某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
(1)写出价格f(x)关于时间x 的函数关系式(x 表示投放市场的第x 天，x ∈N ∗)；
(2)销售量g(x)与时间x 的函数关系式为g(x)=−1
3x +109
3(1≤x ≤100,x ∈N ∗)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？
20. (本小题12.0分)
设函数f(x)=|2x +3|．
(1)解不等式f(x)−f(x −2)≥1；
(2)当x ∈R 时，f(x 2+2x)≥a|x +1|恒成立，求实数a 的取值范围．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=log 44x +m
2
x 为偶函数． (1)求m 的值；
(2)若f(x)≥log 4(a ⋅2x −a)在区间(1,2]上恒成立，求a 的取值范围．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax 2−x +2a −1(a >0)．
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数，求a 的取值范围；
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
(3)设函数ℎ(x)=(1
2)x +log 21
x+1，若对任意x 1，x 2∈[1,2]，不等式f(x 1)≥ℎ(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
由已知求出集合B以及集合A的补集，再根据交集的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意可得集合B={−2,−1,0,1,2}，
∁R A={x|x>0}，所以(∁R A)∩B={1,2}，
故选：C．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式及含绝对值的不等式的解法，考查充分必要条件的判断，是中档题．
分别求解一元二次不等式及含绝对值的不等式，再由集合间的关系结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】
解：由x2−2x<0，得0<x<2；
由|x−1|<2，得−1<x<3．
∵(0,2)⫋(−1,3)，
∴“x2−2x<0”是“|x−1|<2”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；
B、根据特称命题的否定形式知B正确；
C、当A⊆B可得A∩B=A，反之，当A∩B=A时，也可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩B=A”
的充要条件，故C错误；
D、由幂函数的性质易知D正确．
故选：C．
逐项判断即可．
本题考查命题的判断，充分必要条件等知识．考查学生对基本知识的掌握和运用．属于基础题．4.【答案】C
【解析】解：∵log a c−log b c=lnc
lna −lnc
lnb
=lnc(lnb−lna)
lna⋅lnb
，且a>b>1，0<c<1，
∴lnc<0，lnb−lna<0，lna>0，lnb>0，∴log a c>log b c，故A错，
∵a−c>b−c>0，∴0<1
a−c <1
b−c
，
∴b a−c <a
b−c
，故B错，
∵blog a c−alog b c=blnc
lna −alnc
lnb
=lnc(blnb−alna)
lna⋅lnb
>0，
∴blog a c>alog b c，故C对，
令a=2，b=1.5，则a b=21.5=2√2，b a=1.52=2.25，故D错，故选：C．
作差法得log a c−log b c=lnc
lna −lnc
lnb
=lnc(lnb−lna)
lna⋅lnb
，由a，b，c的取值范围比较大小，
由不等式的性质可得0<1
a−c <1
b−c
，b
a−c
<a
b−c
，
作差法可得blog a c−alog b c=blnc
lna −alnc
lnb
=lnc(blnb−alna)
lna⋅lnb
>0，
赋值法令a=2，b=1.5，从而判断．
本题考查了不等式的性质及作差法比较大小的应用，同时考查了对数函数的应用，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
由已知得y=2−x 2
x =2
x
−x>0，代入后结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为正数x ，y 满足x 2+xy −2=0， 所以y =2−x 2
x
=2x
−x >0，
所以0<x <√2，
所以3x +y =2x +2x ≥2√2x ⋅2x =4，当且仅当2x =2
x ，即x =1时取等号．
故选B ．
6.【答案】A
【解析】 【分析】
本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于中档题．
由题意，利用函数的单调性，列出不等式组，由此解得a 的范围． 【解答】
解：由于f(x)={(3−a)x −4a,x <1
x 2,x ≥1是(−∞,+∞)的增函数，
可得{3−a >0(3−a)×1−4a ≤12，解得25≤a <3． 故选A ．
7.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，及恒成立问题，分离参数是常用的技巧，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
由f(−x)=−f(x)可将f(x −t)+f(x 2−t 2)≥0转化为f(x −t)≥f(t 2−x 2)，再由f(x)在(−∞,0)上单调递增且f(x)<0，得到x −t ≥t 2−x 2，分离参数t ，则(x 2+x)min ≥t 2+t ，即可求得实数t 的取值范围． 【解答】
解：当x <0时，f(x)=3x −1， 故f(x)在(−∞,0)上单调递增且f(x)<0 又f(x)为R 上的奇函数
故f(0)=0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
由f(x−t)+f(x2−t2)≥0，
可得f(x−t)≥−f(x2−t2)，
则f(x−t)≥f(t2−x2)，
所以x−t≥t2−x2，
即x2+x≥t2+t对任意的x∈R恒成立，
所以(x2+x)min≥t2+t，
，
得t2+t≤−1
4
．
解得t=−1
2
故选：C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查函数零点、方程根的分布问题，属于中档题．
因为函数f(x)有两个零点，故方程|lg(x−1)|=a x(0<a<1)有两个解x1，x2(令x1<x2)，设g(x)=|lg(x−1)|，ℎ(x)=a x，则g(x)=|lg(x−1)|与ℎ(x)=a x的图象有两个交点，作出两个函数的图象，进而求解．
【解答】
解：因为函数f(x)有两个零点，
故方程|lg(x−1)|=a x(0<a<1)有两个解x1，x2．
设g(x)=|lg(x−1)|，ℎ(x)=a x，
则g(x)=|lg(x−1)|与ℎ(x)=a x的图象有两个交点，不妨令x1<x2,
由图象知，1<x 1<2<x 2，所以0<x 1−1<1，x 2−1>1， 所以−lg(x 1−1)=a x 1，lg(x 2−1)=a x 2， 因为0<a <1，且x 1<x 2，所以a x 1>a x 2， 得−lg(x 1−1)>lg(x 2−1)，lg(x 1−1)(x 2−1)<0， 即0<(x 1−1)(x 2−1)<1，整理得，x 1x 2<x 1+x 2． 故选B ．
9.【答案】BD
【解析】 【分析】
本题考查的知识要点：不等式的性质，一元二次方程根和系数的关系，充要条件的判断，属于中档题.根据题意逐项判断即可． 【解答】
解：对于A ：若a ，b ，c ∈R ，a >c 且b =0时，推不出“ab 2>cb 2”，故A 错误； 对于B ：“方程x 2+x +a =0有一个正根和一个负根”则{x 1x 2
=a <0
Δ=1−4a >0,
整理得a <0，则“a <1”是“a <0”的必要不充分条件，故B 正确；
对于C ：当a =b =0，c <0时，满足b 2−4ac ≤0，但此时ax 2+bx +c ≥0不成立，故C 错误； 对于D ：当“a >1”时“1
a <1”成立，
当“1
a
<1”时，“a >1或a <0”，
故“a >1”是“1
a <1”的充分不必要条件，故D 正确．
故选：BD ．
10.【答案】BC
【解析】 【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值的应用，以及二次函数的性质，属于中档题． 根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，逐项判断即可求解． 【解答】
解：∵a ，b 均为正数，且a +2b =1，
∴由基本不等式可得，1=a +2b ≥2√2ab ，解得ab ≤1
8，当且仅当a =2b =1
2，即a =1
2，b =1
4时
等号成立，故A 选项不正确， (1a
+2b
)=(1a
+2b
)(a +2b)=1+2b a +2a
b
+4 ≥5+2√
2b a ⋅2a
b
=9，当且仅当2b a =2a b
，即a =b =1
3时等号成立，故B 选项正确， ∵{
a =1−2
b >0
b >0
，
∴0<b <1
2，
a 2+
b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1，结合二次函数的性质可知， 当b =2
5时，a 2+b 2取得最小值15
，故C 选项正确， 已知a >0，b >0，且a +2b =1，
则(a +1)(b +1)=12(a +1)(2b +2)⩽12[(
a+1)+(
2b+2)2
]2
=2，
当且仅当a +1=2b +2，即a =1,b =0时等号成立， 但b >0，故等号不成立，故D 错误． 故答案选：BC ．
11.【答案】BC
【解析】 【分析】
本题考查指数函数、对数函数、幂函数性质，大小比较，是中档题．
根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A 、B 、C ，结合C 和对数换底公式即可判断D ． 【解答】
解：对于A，∵幂函数y=x m(0<m<1)在(0,+∞)单调递增，∴根据a>b>1可知a m>b m，故A错误；
对于B，∵指数函数y=m x(0<m<1)在R上单调递减，∴根据a>b>1可知m a<m b，故B正确；对于C，∵对数函数y=log m x(0<m<1)在(0,+∞)上单调递减，∴根据a>b>1可知log m a< log m b，故C正确；
对于D，由C可知log m a<log m b<0，∴
1
log m a
>1
log m b，即log a
m>log b m，故D错误．
故选BC．
12.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查充分性，考查逻辑思维能力，属于中档题．
由函数的奇偶性和对称性以及单调性以及特殊值，逐个选项判断正误即可．
【解答】
解：由f(2x−1)是奇函数知f(2x−1)=−f(−2x−1)，可得f(x)的图象关于点(−1,0)对称，又f(x)的定义域为R，则f(2x−1)的定义域为R，∴f(−1)=0，
若取f(x)=x+1，则f(x)在[−3,0]上单调，但f(1)=2≠0，A不正确;
若f(x)为偶函数，则f(1)=f(−1)=0，故B正确;
若f(2x+1)为偶函数，则知f(2x+1)=f(−2x+1)，即可得f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[−3,1]时，取f(x)=x+1，符合条件，但f(1)=2≠0，C不正确;
若f(x+2)=f(x)+f(2)，令x=0得f(0)=0，令x=−2得f(0)=f(−2)+f(2)，
由f(x)关于(−1,0)对称知f(−2)=−f(0)=0，
∴f(2)=0，故f(x+2)=f(x)，令x=−1得f(1)=f(−1)=0，D正确．
故选：BD．
13.【答案】{−3,−6,6,3,2,1}
【解析】
【分析】
本题考查集合的表示方法，属基础题．
【解答】
解：根据x ∈N ，且
6x−2∈Z 可得，x =0时，6x−2=−3;x =1时，6x−2=−6; x =3时，6x−2=6;x =4时，6x−2=3; x =5时，6x−2=2;x =8时，6x−2=1，所以A ={−3,−6,6,3,2,1}．
14.【答案】[13,+∞)
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性．
由题意，f(x)=x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0
，可得f(x)为奇函数且在R 上为增函数，结合f(2x −1)+f(x)≥0求解即可．
【解答】
解：根据题意，f(x)=x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0
, 则f(x)为奇函数且在R 上为增函数，
因为f(2x −1)+f(x)≥0，
所以f(2x −1)≥−f(x)，
所以f(2x −1)≥f(−x)，
所以2x −1≥−x ，
解可得x ≥13
， 即x 的取值范围为[13
,+∞)． 故答案为：[13,+∞)．
15.【答案】3+6√2
【解析】
【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
实数a>0，b>0，且3
a+2+3
b+2
=1，则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3
a+2
+3
b+2
)−6=3+
6(b+2) a+2+3(a+2)
b+2
，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：因为a>0，b>0，且3
a+2+3
b+2
=1，
则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3
a+2+3
b+2
)−6
=3+6(b+2)
a+2+3(a+2)
b+2
≥3+2√6(b+2)
a+2
×3(a+2)
b+2
=3+6√2；
当且仅当a+2=√2(b+2)时取等号．
∴a+2b的最小值是3+6√2．
故答案为3+6√2．
16.【答案】(81,144)
【解析】
【分析】
本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键，属于较难题．先判断函数的性质以及图象的特点，设a<b<c，由图象得ab是个定值，及c的取值范围，即可得出结论．
【解答】
解：作出f(x)的图象如图：
当x>9时，由f(x)=4−√x=0，得x=16，
若a，b，c互不相等，不妨设a<b<c，
因为f(a)=f(b)=f(c)，
所以由图象可知0<a<3<b<9，9<c<16，
由f(a)=f(b)，得1−log3a=log3b−1，
即log3a+log3b=2，即log3(ab)=2，
则ab=9，所以abc=9c，
因为9<c<16，
所以81<9c<144，
即81<abc<144，
所以abc的取值范围是(81,144)．
故答案为(81,144)．
17.【答案】解：(1)
因为A={x|x2−8x+m=0,m∈R}，
B={x|ax−1=0,a∈R}，且A∪B=A．∁A B={2}，
所以2∈A，2∉B，所以22−8×2+m=0，
解得m=12，所以A={2,6}，所以6∈B，
所以6a−1=0，解得a=1
6
．
(2)若m=15，所以A={3,5}，因为A∪B=A，所以B⊆A，当B=⌀，则a=0；
当B={3}，则a=1
3
；
当B={5}，则a=1
5
；
综上可得a∈{0,1
3,1
5 }．
【解析】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．(1)推导出2∈A，2∉B，从而22−8×2+m=0，解得m=12，从而A={2,6}，6∈B，由此能求出a．
(2)由m=15，得A={3,5}，由A∪B=A，得B⊆A，由此能求出实数a组成的集合．
18.【答案】解：(1)根据题意，命题p：∀x∈[0,1]，不等式m2−3m≤x2−2x−1恒成立，
则有m2−3m≤(x2−2x−1)min，
又由x ∈[0,1]，则(x 2−2x −1)min =−2，
则有m 2−3m ≤−2，解可得1≤m ≤2，
即m 的取值范围为[1,2]；
(2)若q 为真命题，必有m ≤(2x )max ，x ∈(−∞,0]，则有m ≤1，
若p ∧q 为假，p ∨q 为真，即p 、q 一真一假，
若p 真q 假，{1≤m ≤3m >1
，则有1<m ≤2， 若q 真p 假，{m <1或m >2m ≤1
，则有m <1， 综合可得：m ≤2且m ≠1；
故m 的取值范围为{m|m ≤2且m ≠1}．
【解析】(1)根据题意，若p 为真，分析可得m 2−3m ≤(x 2−2x −1)min ，结合二次函数的性质可得m 2−3m ≤−2，解可得m 的取值范围，即可得答案；
(2)根据题意，分析q 为真时m 的取值范围，由复合命题的真假关系可得p 、q 一真一假，由此可得关于m 的不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意知，当1≤x ≤40，x ∈N +时，一次函数y =ax +b 过点A(4,23)，B(32,30)，
代入函数求得a =14，b =22；
当40<x ≤100，x ∈N +时，一次函数y =cx +d 过点C(60,22)，D(90,7)，
代入函数求得c =−12
，d =52； ∴f(x)={14x +22,1≤x ≤40,x ∈N +−12x +52,40<x ≤100,x ∈N +；
(2)设日销售额为S(x)，
则当1≤x ≤40，x ∈N +时，S(x)=f(x)g(x)=−
112(x 2−21x −9592)，
当x =10或11时，[S(x)]max =808.5(千元)，
当40<x ≤100，x ∈N +时，S(x)=f(x)g(x)=16
(x 2−213x +11336)， 当x =41时，[S(x)]max =714(千元)，
∵714<808.5，
∴日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．
【解析】本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．
(1)价格直线上升，直线下降，说明价格函数f(x)是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f(x)的表达式；
(2)由销售额=销售量×价格，得日销售额函数S(x)的解析式，从而求出S(x)的最大值．
20.【答案】解：(1)f(x)−f(x −2)⩾1⇔|2x +3|−|2x −1|⩾1，
原不等式可化为{x ⩽−32,−2x −3+2x −1⩾1或{−32<x <12,2x +3+2x −1⩾1或{x ⩾12,2x +3−2x +1⩾1,
解得x ∈⌀或−14⩽x <12或x ⩾12，
即原不等式的解集为[−14,+∞)．
(2)当x ∈R 时，f(x 2+2x)⩾a|x +1|，
即|2(x 2+2x)+3|⩾a|x +1|．
当x =−1时，1⩾0，此时a ∈R ；
当x ≠−1时，
a ⩽|2(x 2+2x)+3||x+1|=
|2(x+1)2+1||x+1|=2|x +1|+1|x+1|， 因为2|x +1|+1|x+1|⩾2√2．
当且仅当2|x +1|=1|x+1|，即x =−1±√22时取等号， 所以a ⩽2√2．
综上所述，实数a 的敢值范围为(−∞,2√2]．
【解析】本题考查函数的恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．
(1)对解析式去绝对值，再分段求不等式组即可；
(2)代入函数的解析式，再结合基本不等式解不等式即可．
21.【答案】解：(1)f(−x)=
log 44−x +m 2−x ， 由于函数f(x)=log 44x +m 2x 为偶函数，
所以f(x)=f(−x)，
即log 44x +m 2x =log 44−x +m 2−x ， 即4x +m
2x =4−x +m 2−x ，即(m −1)(4x −1)=0，
∴m =1.
(2)由题得log 44x +12x ≥log 4(a ⋅2x −a)恒成立， 即4x +12x ≥a ⋅2x −a 恒成立，
因为x ∈(1,2]，所以1<2x −1≤3，
所以a ≤1+2x +12x (2x −1)
恒成立， 令y =g(x)=
1+2x +12x (2x −1)， 令t =2x +1(3<t ≤5)，
则y =ℎ(t)=1+t t 2−3t+2=1+1
t+2t −3，
由于函数ℎ(t)在(3,5]上单调递减，
故ℎ(t)min =ℎ(5)=1712
. ∴a ≤1712
. ∵a ⋅2x −a >0对任意的x ∈(1,2]恒成立，且1<2x −1≤3，
∴a >0．
∴实数a 的取值范围是(0,1712
]． 【解析】本题重点考查函数的奇偶性和恒成立问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
(1)利用偶函数的定义即可求解；
(2)将问题转化为a ≤
1+2x +12x (2x −1)恒成立，令y =g(x)=1+2x +12x (2x −1)，令t =2x +1(3<t ⩽5)，则y =ℎ(t)=1+t
t 2−3t+2=1+1
t+2t −3，借助函数的单调性得到a 的取值范围．
22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=ax 2−x +2a −1(a >0)的图象是开口朝上，且以直线x =12a 为对称轴的抛物线，
若f(x)在区间[1,2]为单调增函数，
则{12a ≤1a >0
，解得：a ≥12． (2)①当0<12a ≤1，即a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上为增函数，
此时g(a)=f(1)=3a −2．
②当1<12a <2，即14<a <12时，
f(x)在区间[1,12a ]是减函数，在区间[12a
,2]上为增函数， 此时g(a)=f(12a )=2a −
14a −1． ③当12a ≥2，即0<a ≤14时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，
此时g(a)=f(2)=6a −3．
综上所述：g (a )={ 6a −3,a ∈(0,14]2a −14a −1,a ∈(14,12)3a −2,a ∈[12
,+∞)． (3)对任意x 1，x 2∈[1,2]，不等式f(x 1)≥ℎ(x 2)恒成立，
即f(x)min ≥ℎ(x)max ，
由(2)知，f(x)min =g(a)，
又因为函数ℎ(x)=(12)x +log 21x+1=(12)x +log 12(x +1)， 所以函数ℎ(x)在[1,2]上为单调减函数，所以ℎ(x)max =ℎ(1)=12+log 122=−12， ①当0<a ≤14时，由g(a)≥ℎ(x)max 得：6a −3≥−12，解得a ≥512(舍去)；
②当14<a <12时，由g(a)≥ℎ(x)max 得：2a −14a −1≥−12，即8a 2−2a −1≥0，
∴(4a +1)(2a −1)≥0，解得a ≥12或a ≤−14，无解；
③当12≤a 时，由g(a)≥ℎ(x)max 得：3a −2≥−12，解得a ≥12；
综上所述：实数a 的取值范围为[12,+∞)．
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数，则{12a ≤1a >0
，解得a 的取值范围； (2)分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析出各种情况下g(a)的表达式，综合讨论结果，可得答
案；
(3)不等式f(x1)≥ℎ(x2)恒成立，即f(x)min≥ℎ(x)max，分类讨论各种情况下实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．。