例析“经验型”数学活动设计的“四化”要点--以“棋盘上马的行踪”为例

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收获（“马”走遍己方半张棋盘、整张棋盘的走法）作为目标之一进行处理的。

笔者以为，这是值得商榷的，因为花费这么多探索时间，能否探索得出“马”的走法不得而知，而即使探索得到，该收获价值也并不大。

有研究认为，数学活动经验是学生个体在经历数学活动的基础上获得的感受、体验与感悟，是知识性成分、观念性成分以及体验性成分的综合体。

从基本经验的积累来看，“染色”、“构造”等都可由学生在自己的实践中经历，在体验、感悟中尽可能将感性认识向理性认识进行提升形成。

其次，目标应精当。

通过一定的“数学活动经验”可以将数学的基础知识基本技能内化成为学生的数学素养，因此活动时不能仅仅满足于积累“基本活动经验”，而要在此基础上继续进行提升以获得尽可能多的收获，这样数学活动价值才更大，而另一方面，目标过多、过全又容易造成“蜻蜓点水”，影响活动效果，所以应分析并抓住核心目标。

在新活动中笔者最初预设了以下4条目标：
1．能用坐标表示点的位置；
2．初步感受列举法、构造法、分类讨论、染色分析等说理方法；
3．通过找规律发展猜想与探索的能力；4．初步感受转化的思想、优化的意识。

几经思考，感觉设计为一课时的容量可能更加便于使用与推广。

这样看来，仅就第2条目标来说，还是有些贪多求全了，最终修改为“经历并初步感受构造、染色分析的说理方法”，更利于核心内容的落实。

修改后的活动目标共有2条，另外一条为：逐步发展猜想与探索的能力。

二、思维深度化
思维深度是“经验型”数学活动的核心标准。

所谓思维深度是指一个过程，过程的终了状态跟最初的状态相比，思维品质尤其是思维的深刻性得到比较充分的体现。

有研究者也持类似的看法，认为问题、思维、主体建构是数学活动经验形成的基本条件。

其中思维是内在条件 。

在新活动中，笔者通过两种方式来体现思维深度的要求，一是经历“试验——猜
测——说理（验证或证明）”的过程，如“活动2：‘马’能跳到相邻位置吗”中设计了如下问题。

1． 试一试：图2中，“马”要从点A （6，4）的位置跳到点B （6，3）的位置，跳几步可以完成？
2． 跳两步能够跳到吗？你能借助于染色图来说明理由吗？
3．“马”从A点跳到B点至少要跳几步？你能说理吗？
二是通过逐层深入的问题串来体现思维深度的要求，比如“活动1 马跳的特征”、“活动2 马跳到相邻位置”、“活动3 马能跳遍棋盘吗”这3个活动可谓层层深入。

再如在附录“活动4：‘马’能跳遍棋盘吗”（注：附录供学有余力并且感兴趣者继续研究用。

如果设计为两课时，那么可在第二课时的活动中
图1
图2
涂满，体现出规律即可）
4． 在涂色后的棋盘上，马从点A （6，4）出发，跳一次，跳到的点与A点颜色相同吗？跳两次，最后跳到的点与A点颜色相同吗？跳奇数次呢？偶数次呢？
在多次实践、反思之后，感觉上面的设计还是有一点“瑕疵”的：①从学生角度看，为何要从奇偶性角度来考虑？②学生能够想到考虑坐标和的特征吗？看来说到底，该系列问题其实是笔者从教师的角度在尽可能地由上而下进行铺垫的，与学生的知识基础、思维方式还是有一段小小的距离。

真正意义上的生长应该是自下而上的，需要设计者蹲下身子循着学生的思路来提问来解答。

几经推敲，对前三个问题作了如下修改：
1．图2中，如果棋子“马”的最初位置为点A （6，4），只跳一步，可以跳到哪些点？（请用坐标来表示。

）
2． 这八个点都是“马”跳一步得到的，其坐标有共同的特征吗？与点A坐标有不同的地方吗？
3． 观察棋盘上其他点的坐标，你有何发现？如果用红色和黑色来区分这些点（不妨将点A （6，4）涂成黑色），你得到怎样的染色图？
经过这样的修改，学生的主体性也得到更好地展示，学习过程更为自然、流畅、简明。

四、要求适度化
不同层次的学生其知识基础、思维方式以及接受能力是不一样的，为了使每个学生通过数学活动都能够有所收获有所发展，问题的要求需要适度。

为此，应根据不同学生的接受能力对于问题的难度、呈现方式等进行一定的技术处理。

原活动中活动2——活动4与2008年第一版的数学活动相比，问题进行了一定修改，难度已经有所降低。

其设计意图除了得到马的走法之外，还关注了学生理性精神的培养（如果能不重不漏地走遍网格，那么需要构造出一种具体方案；如果不能，那么需要进行说理（证明）），提升学生的数学素养。

在新活动中，这三个活动修改为“活动3：马能够走遍棋盘吗”中“欣赏”与“探
使用）中设计了如下问题串：
在图2中，“马”最初位置为点A （6，4）。

1．“马”一步跳到的点其坐标和与最初位置点A （6，4）的坐标和相比，其数值是如何变化的？如果最初位置为点B(6，3)，结论还成立吗？
2．试一试：“马”跳两步，跳到点的坐标和如何变化？
如果不试验，你能够直接写出结果吗？3． 你能够直接写出一条“马”跳其他步数下的结论吗？
4． 尝试利用你发现的结论来解决下面的问题：（1）“马”的“步伐”为1×2时，它能够走遍棋盘吗？（2）“马”的“步伐”为1×4时，它能够走遍棋盘吗？
三 、“四基”“生长”化
“生长”即活动所获得的“四基”系学生根据自己已有知识基础、思维能力主动建构而获得，而不是由教师直接灌输得到。

染色图是一种比较重要的工具，活动中几处都要应用到，然而在原活动中，因为欠缺必要的铺垫，给人感觉知识、方法“从天而降”，于是在新活动中笔者试着增设了“活动1: ‘马’跳的特征”，试图通过下面的一系列问题，使得染色图是学生自行“生长”得到的。

1． 图1中，如果棋子“马”的最初位置为点A （6，4），只跳一步，可以跳到哪些点？（请用坐标来表示。

）
2． 从奇偶性角度考虑：
（1）这八个点的坐标和都是什么数？与最初位置A （6，4）的坐标和相比，其奇偶性是如何变化的？
（2）如果最初位置为点B （6，3），跳一步，所到点的坐标和都是什么数？与最初位置B （6，3）相比，奇偶性如何变化？
3． 现用红色和黑色来区分坐标和为奇偶数的点。

点A （6，4）涂成黑色。

（1）你觉得图1中点B （6，3）涂成什么颜色为好？点C （0，0）呢？
（2）按照这样的涂色方法来对图1中的点涂色，这时所涂颜色有何规律？（注：不必
图3图4
（1）图3中，“马”从标有数字1的位置出发，可不重不漏地跳遍网格图。

试一试，将跳法补完整（一种即可）。

跳法：1→6→—→—→—→—→—→—→—→—→—→—。

（2）经过试验，小明发现：图4中，“马”从点B（6，3）位置出发，不能不重不漏地跳遍己方半个棋盘。

请你帮他将理由补充完整。

(注：为便于区分，图4中红点用空心圆圈表示。

)
理由：（从两个角度来考察“马”跳过黑点的情况）假如“马”能够不重不漏地走遍。