广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试卷 理(1)

广东省汕头市金山中学2015届高三数学上学期期中试卷 理
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合}021|
{≤-+=x x x M ，}2
1
2|{>=x x N ，则M N I =（ ） A ．),1(+∞- B ．)2,1[- C ．)2,1(- D ．]2,1[- 2．已知,αβ角的终边均在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数周期为π，其图像的一条对称轴是3
x π
=，则此函数的解析式可以是（ ）
A ．sin 26y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．设a r 、b r 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||
a b a b +=r r
r
r r 成立的是（ ）
A ．2a b =r r
B ．//a b r r
C ．
13
a b =-r r
D ．a b ⊥r r
5．方程()()2
ln 10,0x x x
+-
=>的根存在的大致区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,e D ．()3,4
6．已知向量,a b r r 的夹角为45︒，且1a =r ，2a b -=r r ，则b =r
（ ）
A B ．2 C ． D ．7．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．()2,+∞ 8．设向量
)
,(21a a a =，
)
,(21b b b =，定义一种向量积：
),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．
已知向量)4,21(=m ，)0,6
(π
=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原
点），则()y f x =在区间]3,
6[
π
π上的最大值是（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ． 4
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分，共30分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数21
()log 1
f x x =
-的定义域为 。

10．图中阴影部分的面积等于 ．
11．已知函数()()314,1
log ,1
a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩在R 是单调函数．．．．．
，则实数a 的取值范围是 。

12．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r
g ，则AE BF u u u r u u u r g 的值是 ．
13．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()0,1内任取两个实数,p q ,且
p q ≠,若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为 。

（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）
14．（几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ,C 两点，
3,1PA PB ==，则PAB ∠= 。

15．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为
第12题图
第10题图
极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为424,
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的参数方程为122x cos y sin α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值
为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数)2
,0()sin()(π
ϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象
时，列表并填入的部分数据如下表：
x
1x
3
1
2x 37 3x
ϕω+x
0 2π
π
23π π2
)sin(ϕω+x A
3
3-
（1）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式； （2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小.
17．（本小题满分12分） 设函数.cos 2)3
42cos()(2x x x f +-
=π
（1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),22
f B C b c +=+=，求a 的最小值。

18．（本小题满分14分）
已知函数2
()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行。

（1）求(2)f 的值； （2）已知实数1
2
t ≥，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数()y f u t =+的最值。

19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)2
44,n S n n n N
*
=-+∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 中，令1,15,22
n n
n b a n =⎧⎪
=⎨+≥⎪
⎩，n T =1231232222n n b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T ；
（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列
{}n c 的变号数。

令n
n a a
c -
=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数．
20．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为3
π
的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点,O B ，且2AO BO ==。

（1）求圆M 和抛物线C 的方程；
（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM PF ⋅u u u u r u u u r
的最小值；
（3）过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为,S T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．
21．（本小题满分14分）
已知函数)ln ()(2
x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数． （1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；
（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围； （3）证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使'()(1)
()1
f e f f e ξ-=-．
汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试
理科数学 参考答案
（2）将
()f x 的图像沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()32
g x x π
=
……………………7分
因为P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，所以3),(3,3)P Q -…………………………8分 所
以
2,4,OP PQ == …………………………………………………………………………………9分
12,OQ = (1)
0分
2223
cos 2OQ PQ OP OQ QP θ+-∴==
⋅ …………………………………………………………………11分 所
以
6
π
θ=
……………………………………………………………………………………………12分
法2：60,60,30=30o
o
o
o
POx P QOx θ∠=∠=∠=可以得所以
法3
：利用数量积公式cos QP QO QP QO
θ⋅==
=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，=30o θ所以。

17．（本小题满分12分） 解：（1）)2cos 1()3
4sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-
=π
ππ 1)3
2cos(12sin 232cos 21++=+-=
π
x x x ……………………………………………………3分
)(x f 的最大值为
2 …………………………………………………………………………………4分
要使)(x f 取最大值，)(23
2,1)3
2cos(Z k k x x ∈=+
=+ππ
π
故
x
的
集
合
为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ……………………………………………………………6分
注：未写“Z k ∈”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分. （2）由题意，231]3
)(2cos[)(=
+++=+π
C B C B f ，即.2
1
)322cos(=+-ππA 化简得2
1
)3
2cos(=
-π
A ……………………………………………………………………………8分
()0A π∈Q ，，)3
5,3(3
2π
ππ
-
∈-
∴A ，只有3
3
2π
π
=
-
A ，.3
π
=
A (9)
分
在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3
cos 22222-+=-+=π
(10)
分 由2=+c
b 知1)2
(
2
=+≤c b bc ，即12≥a ，……………………………………………………11分
当1==c b 时，a 取最小值
.1………………………………………………………………………12分
注：不讨论角的范围扣1分.
18．（本小题满分14分）
解：（1）()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =- ……………………1分
(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1
'(1)1g x x -=
-
(3)
分 由
题
意
可
得
12
l l k k =， 即
1
2121
a a -=
=- ...............................................................4分 1a ∴= ， (5)
分
∴2
(),f x x x =-，2
(2)222f =-= ..................................................................6分 （2）ln u x x =，当[]1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， (7)
分 ∴
ln u x x
=在
[]
1,e 单调递增，
0,u e ≤≤ ………………………………………………………8分
22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122
t u -=
，抛物线开口向
上 …………………………10分 由
12
t ≥
有1202
t
u -=
≤，即函数在
[]
0,e 上单调递
增 ………………………………………11分
2min 0|u y y t t ===- ………………………………………………………………………………
12分
()22max 21y e t e t t =+-+- ……………………………………………………………………
13分
综上：当1
2
t ≥时，2min y t t =-；()22m 21ax y e t e t t =+-+- …………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）244n S n n =-+Q ，∴11S =………………………………………………………………1分
又当2n ≥时，
125n n n a S S n -=-=-………………………………………………………………3分
所以
11,1
25,2
n n n n a S S n n -=⎧⎪=-=⎨
-≥⎪⎩ ……………………………………………………………………4分（2）∵1,15,22
n n
n b a n =⎧⎪
=⎨+≥⎪
⎩，∴ n b n =， (5)
分
2312+22+32++2n n T n =⨯⨯⨯⨯L (6)
分
2341212+22+32++(-1)2+2n n n T n n +=⨯⨯⨯⨯⨯L ，∴ 1(1)22n n T n +=-+…………………9分
（3）解法一：由题设⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--=-=2,524
11,3n n n c n ……………………………………………………10分
∵3≥n 时，()()
032528
3245241>--=---=
-+n n n n c c n n ，
∴3≥n 时，数列{}n c 递增…………………………………………………………………………12分
∵0314<-=a ，由
505
241≥⇒>--n n ，可知054<⋅a a ，即3≥n 时，有且只有1个变号数；
又∵3,5,3321-==-=c c c ，即0,03221<⋅<⋅c c c c ，∴此处变号数有2个．……………13分
综上，数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

…………………………………………14分
解法二：由题设
⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2,5
24
11,3n n n c n ……………………………………………………………10分 2≥n 时，令
422
9
27252303272529201==⇒<<<<⇒<--⋅--⇒
<⋅+n n n n n n n n c c n n 或或；又
∵5,321=-=c c ，∴1=n 时也有021<⋅c c ． (13)
分
综上得：数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

…………………………………14分
20．（本小题满分14分）
21．（本小题满分14分） 解：（1）)1
1(2)(/x
a x x f ++=……………………………………………………………………1分
a f +=1)1(，a f 22)1(/
+= (2)
分
函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即
)12)(1(-+=x a y …………………………………………………………………………………
…4分 （2）①
0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，
0)ln ()(2>++=x x a x x f ………………………………………………………………………
…5分 ②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而
“
>∀x ，
)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成
立 ………………………………………………………………6分
③0<a 时，由0)ln ()(2
>++=x x a x x f 得
)ln 11(12x x x a +-<，
设)ln 1
1()(2x x
x x g +-=，x x
x x x g ln 2
1)(33/+-=
1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 1
1(12-<+-<x x
x a ，01<<-a ……………………………8分 综
上
所
述
，常数
a
的取值范围
01≤<-a …………………………………………………………9分
（
3
）
直
接
计
算
知
1
11)1()(-+
++=--e a
a e e f e f …………………………………………………10分 设
函
数
1
)1(21)1()()()(/--
++-=---
=e a
x a e x e f e f x f x g …………………………………11分 1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=
--+-=e e a
e e e a e a e e g 当2
)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，2
22)1(]
)1(][)1()2([)()1(-------
=e e e e a e e a e g g 0<， 因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即
) , 1(e ∈ξ，使
1
)
1()()(/--=
e f e f f ξ； (12)
分
当
22
)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2
e a
x ∈=时成立，所以)
(x g
有最小值1
)
1(2)1(2112222----+-=
--+-=e e a e a e e a a m ，且 01
)
3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，
此时存在) , 1(e ∈ξ（)2 , 1(a ∈ξ或) , 2
(e a
∈ξ）
，使0)(=ξg 。

…………………13分
综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1
)
1()()(/--=e f e f f ξ (14)
分。