2020年广东省深圳实验学校初中部九年级(上)月考数学试卷

月考数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.|-5|的相反数是（）
A. -5
B. 5
C.
D. -
2.如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（）
A. （a-b）2=a2-b2
B. x6÷x2=x3
C. 5a2b-2a2b=3
D. （2x2）3=8x6
4.若式子有意义，则实数m的取值范围是（）
A. m＞﹣2
B. m＞﹣2且m≠1
C. m≥﹣2
D. m≥﹣2且m≠1
5.如图，已知AC∥DE，∠B=24°，∠D=58°，则∠C=（）
A. 24°
B. 34°
C. 58°
D. 82°
6.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O
的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）
A.
B.
C. 2
D.
7.如图，正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的
两点，且AE=FC=4，BE=DF=3，则以EF为直径的圆的面积为
（）
A. π
B. π
C. π
D. π
8.如图，已知函数y=3x与y=的图象在第一象限交于点A
（m，y1），点B（m+1，y2）在y=的图象上，且点B在
以O点为圆心，OA为半径的⊙O上，则k的值为（）
A.
B. 1
C.
D. 2
9.某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书
时间进行了统计，统计数据如下表所示：
读书时间（小
7891011时）
学生人数610987
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）
A. 9，8
B. 9，9
C. 9.5，9
D. 9.5，8
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点
坐标为（-2，-9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a-b+c=0；
③若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，
则-5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四
个根的和为-4．其中正确的结论有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.因式分解：3x3-12x=______．
12.2018年5月13日，我国第一艘国产航母出海试航，这标志着我国从此进入“双航
母”时代，据估测，该航母的满载排水量与辽宁舰相当，约67500吨．将67500用科学记数法表示为______．
13.四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的
四边形是______．
14.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-2x与y=kx+b的图象
交于点P（m，2），则不等式kx+b＞-2x的解集为______．
15.某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm，水面宽AB
是16cm，则截面水深CD为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分
别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，
两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交
BC于点D，则CD的长是______．
17.如图，已知双曲线）经过矩形OABC边AB的
中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则
k=______．
18.有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正
方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是________．
19.等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且
BP=BA，则∠PBC的度数为______．
20.如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的
动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM
平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以
下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，
2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；
③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其
中正确结论的序号为______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.（1）计算：
（2）解方程：．
22.化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为
a的值代入求值．
23.如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，
OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．
24.如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴
交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据绝对值的定义，可得|-5|=5，
根据相反数的定义，可得5的相反数是-5．
故选：A．
根据绝对值、相反数的定义即可得出答案．
本题主要考查了绝对值和相反数的定义，比较简单．
2.【答案】B
【解析】【分析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
【解答】
解：从左面看易得右边有1个正方形，左边有2个正方形，如图所示：
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：A、（a-b）2=a2-2ab+b2，错误；
B、x6÷x2=x4，错误；
C、5a2b-2a2b=3a2b，错误；
D、（2x2）3=8x6，正确；
故选：D．
根据合并同类项法则，单项式的除法运算法则，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了整式的除法，单项式的除法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：
∴m≥-2且m≠1
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：∵AC∥DE，
∴∠DAC=∠D=58°，
∵∠DAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠DAC-∠B=58°-24°=34°，
故选B．
由平行线的性质可求得∠DAC，再利用三角形外角的性质可求得∠C．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD==．
故选：D．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．
7.【答案】A
【解析】解：如图，延长BE交CF于G，
∵AB=5，AE=4，BE=3，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得，△DFC是直角三角形，
∵AE=FC=4，BE=DF=3，AB=CD=5，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴∠CBG=∠BAE，
同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，
∴△ABE≌△BCG，
∴CG=BE=3，BG=AE=4，
∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，
∴EF=，
∴以EF为直径的圆的面积=π×（）2=，
故选：A．
先延长BE交CF于G，再根据全等三角形的性质，得出CG=BE=3，BG=AE=4，进而得到得出EG=1，GF=1，再根据勾股定理得出EF的长，即可得到以EF为直径的圆的面积．
此题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据全等三角形的性质得出EG=FG=1，再利用勾股定理计算．
8.【答案】A
【解析】解：由题意A（m，3m），
∵⊙O与反比例函数y=都是关于直线y=x对称，
∴A与B关于直线y=x对称，
∴B（3m，m），
∴3m=m+1，
∴m=，
∴A（，），
把点A坐标代入y=中，可得k=，
故选：A．
由题意A（m，3m），因为⊙O与反比例函数y=都是关于直线y=x对称，推出A与B
关于直线y=x对称，推出B（3m，m），可得3m=m+1，求出m即可解决问题；
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A，B关于直线y=x对称．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．【解答】
解：由表格可得，该班学生一周读书时间的众数为8，
总人数为6+10+9+8+7=40，则中位数为第20,21人阅读时间的平均数，
由表格可得第20,21人的阅读时间均为9小时，则该班学生一周读书时间的中位数为9 故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标（-2，-9a），
∴-=-2，=-9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a，
∴4a+2b+c=4a+8a-5a=7a＞0，故①正确，
5a-b+c=5a-4a-5a=-4a＜0，故②错误，
∵抛物线y=ax2+4ax-5a交x轴于（-5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则=-2，可得x1+x2=-4，
设方程ax2+bx+c=-1的两根分别为x3，x4，则=-2，可得x3+x4=-4，
所以这四个根的和为-8，故④错误，
故选：B．
根据二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3x（x+2）（x-2）
【解析】解：3x3-12x
=3x（x2-4）
=3x（x+2）（x-2）
故答案是：3x（x+2）（x-2）．
首先提公因式3x，然后利用平方差公式即可分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.【答案】6.75×104
【解析】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故答案为6.75×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】矩形
【解析】解：如图所示：AC⊥BD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG=AC，
同理，在△ABC中，EF∥AC且EF=AC，
∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
同理，HE∥DB；
又∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴▱EFGH是矩形；
故答案为：矩形．
利用三角形中位线定理可以推知四边形EFGH是平行四边形；然后由三角形中位线定理、已知条件“AC⊥BD”推知HE⊥HG；最后由矩形判定定理“有一内角为直角是平行四边形是矩形”可以证得▱EFGH是矩形．
本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定定理．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
14.【答案】x＞-1
【解析】解：当y=2时，-2x=2，
x=-1，
由图象得：不等式kx+b＞-2x的解集为：x＞-1，
故答案为：x＞-1．
先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞-1时，直线y=-2x 都在直线y=kx+b的下方，于是可得到不等式kx+b＞-2x的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）-2x的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在-2x上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15.【答案】4cm
【解析】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB=16cm，
∴BC=AB=×16=8cm，
在Rt△OBE中，
∵OB=10cm，BC=8cm，
∴OC===6（cm），
∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）
故答案为4cm．
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD=OD-OC即可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5-x）2，
解得x=，
∴CD=BC-DB=5-=，
故答案为．
连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17.【答案】2
【解析】解：设F（x，y），E（a，b），那么B（x，2y），
∵点E在反比例函数解析式上，
∴S△COE=ab=k，
∵点F在反比例函数解析式上，
∴S△AOF=xy=k，
∵S四边形OEBF=S矩形ABCO-S△COE-S△AOF，且S四边形OEBF=2，
∴2xy-k-xy=2，
∴2k-k-k=2，
∴k=2．
故答案为：2．
如果设F（x，y），表示点B坐标，再根据四边形OEBF的面积为2，列出方程，从而求出k的值．
本题的难点是根据点F的坐标得到其他点的坐标．在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
18.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键.直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案.
【解答】
解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．
故答案为.
19.【答案】30°或110°
【解析】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，
∴△ABC≌△BAP，
∴∠ABP=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°，
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，
∴∠P′BC=40°+70°=110°，
故答案为30°或110°．
分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质
等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.【答案】①②③
【解析】解：由题可得，AM=BE，
∴AB=EM=AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AD，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM=HM，故②正确；
当∠DHC=60°时，∠ADH=60°-45°=15°，
∴∠ADM=45°-15°=30°，
∴Rt△ADM中，DM=2AM，
即DM=2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC=45°，
∴∠CHM＞135°，故③正确；
故答案为：①②③．
先判定△MEH≌△DAH，即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°-45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点，且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】解：（1）原式=-2++2-1=2-1；
（2）去分母得：2-x-x-3=2x-6，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【解析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】解：原式=[-]÷
=（-）•
=•
=a+3，
∵a≠-3、2、3，
∴a=4或a=5，
则a=4时，原式=7．
【解析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式
有意义的a的值代入计算可得．
23.【答案】（1）证明：连接DO，如图，
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
∴OD⊥CE，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，
∴∠DCB=60°，
又BC⊥BE，
∴∠E=30°，
在Rt△ODE中，∵tan∠E=，
∴DE==4，
同理DC=OD=4，
∴S△OCE=•OD•CE=×4×8=16．
【解析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质．
（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则
根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得
∠CBO=90°，则∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先利用∠OCB=∠OCD=30°得到∠DCB=60°，则∠E=30°，再解直角三角形计算出
DE=4，DC=OD=4，然后根据三角形面积公式计算．
24.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=-x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则-x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=-2，
∴点B的坐标为（-2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（-8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8-4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，设N的坐标为（t，0）,
,
解得N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为（-8，0）、（8-4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
AB==2，BC=8-（-2）=10，AC==4，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵AC∥MN，
∴MN⊥AB．
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，
∵MN∥AC，
△BMN△BAC
∴=，
∴=，
BM==，
MN==，
AM=AB-BM=2-=
∵S△AMN=AM•MN
=××
=-（n-3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
【解析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC=10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，由MN∥AC，得△BMN△BAC根据三角形相似对应边成比例求得AM，MN，得到S△AMN，根据二次函数性质求得即可．
本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．。