第九章-力矩分配法原理

等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
4
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座
4i
1/2
铰支座
3i
0
定向支座
i
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？
MAB
MAB
θ MAB
1
8m
4m
4m
最后弯矩 0
86.6 －86.6 124.2 －124.2
15
§9-2 多结点的力矩分配
例9.2 力矩分配法计算并画M图。
A 15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
150kN ·m ∑MCg =－140 10kN
C
D
E
i=3
i=1
i=2
4m
8m
8m
2m
μ
Mg 40
3/7 4/7 ∑MBg =108 80
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB 习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度AiB
1
A
i
B
1
A
i
B
1
A
BB
2
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
解：1）求μ
μAB= 4/9 μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求Mg MABg= 50
MBAg= － 50
MADg=－ 80
∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50+－80－15= －45 kN·m
结点
B
4 4mm
70 65
40 110000kkNN 110000 BB i=1
AA1155kkNN·↓↓·m↓↓m4↓↓i↓0↓4=↓k0↓1↓kN↓↓N↓/↓m↓/↓m↓ DD
13
24kN/m
50kN
A
2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C2
D
令= EI/8=1
μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4
2EI 8m
EI 8m 1
4m 2EI 4m
∑MBg =－128 24kN/m ∑MCg =53
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
50kN
μCD=0.6
－128
128 －75
分配系数 固端弯矩
1解,3 :
2
1,3
1) 求分配2.系7 2数.5: 2)M求1 固 7端8弯.1－矩100:.92
0.5 0.4
.0S121323A1A212－102M1..3430.32407(.i.i9k.357－,N61306M.5.3.39m256.,.3.,147)686,213,S323BS33B12.23300－.64.324261371i38i...789268830359..,24.462,85,4
A
i
B
A
i
B
A
i
B
A
B
与近端支承形式无关
AB杆的线刚度 i 影响SAB的因素 （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）
AB杆的远端支承形式
3
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
C M远 M近
∴远端弯矩可表达为： MBA CAB M AB
－0.375 －15.38
7.13 A
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
15.38
0.78 2.36 2.36
CA CE CH
0.4C 0.4 0.2 3.75 －1.5 －1.5 －0.75
0.19 －0.08 －0.08 －0.03
2.36 －1.58 －0.78
H
0.75 0.03 0.78
C 1.58 1.58
－20
1/2
20 0
0
0
解2）：S求D1E）=M0 g求μ
MμBDACg==1(1/μ3D)E×=015×42
SμMBBAAA==Big3====/37(184/00μ6SkkB)BCNN×C==··mm1445×/7×i=442
MDSSECCgDB===2=－0－43××21－00ii==k×246N02·m
MABg
∑MA1g 0 M=15
A MADg MACg CC
80 i=2
MM图图（（kkNN.·mm) )
22mm
22mm
44mm
A
C
D
杆端
BA
AB
AD
AC
CA
DA
μ
4/9
3/9
2/9
Mg
－ 50
50
－ 80
分配与传递
10
20
15
10
－10
M
－ 40
70
－ 65
10
－ 10
10
§9-1 力矩分配法的基本概念
点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
M1 j 1 j M——近端获得的分配弯矩
7
§9-1 力矩分配法的基本概念
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S1B M S
θ
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1C M
S
C
b)传递弯矩
MA1=2i1Aθ=(1/2)M1A =C1AM1A
MABg
∑MBg ∑MCg
MBAg MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
+
∑MCg +MC传
3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点
M传
B又取得新的不平衡力矩
MB传
M分 M分 M传
+
MB传 －(∑MCg +MC传)
+ ·· 4、重复2、3步骤直至结果
M传 M分 M分
12
收敛。
5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
0.79 E
M图（kN.m)
7.13 0.79
－0.79 E
可不急传递
19
100kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
i=1.92 1 i=1.37 2 i=2.4
3
i=1
B
2.5m
3.5m
2m
4.8
μ
0.513 0.478 0.363 0.637
m
78.1 －102.0 102.0 －33.3
0. 4 0.6
10
力 矩 分
28 46.4 －1 －46.4 －61.6
1/2 1/2
56 84 －30.8
配
6.2
与 传
2.7 －1 －2.7 －3.5
递
0.4
1/2
12.3 18.5
1/2 －1.8
1/2
0.7 1.1
－0.1 －0.3
M 89.1 30.8 － 30.8
36.4 113.6
10
300
近端并传递到远端。
AA
SBA=4×3i=12i
－15
MBCg 120 －∑MBg =－6900
BB
CC
－30
M－图30（kN ·m)
SBC=3×4i=12i μBA=μBC= 12i/24i=1/2
3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。9 计算过程可列表进行。
例9.1 力矩分配法计算并画M图。
1,3 2
78.1
12.3 11.6 109.7 －31.2
5.8 5097.1 －62.342－.3109.3
1,3
16 15.2 1537.6 20.9
2
－5.2 －10.3－18.2
0.762 0.238 33.3 －288
129141.1.7 60.6 －51.4
41.7 13
－9.1 288
－∑MBg=102.86 0.4
－128
0.4 128
－0∑.67M5=Cg7=8.653 +25.6
M逐松B次结C Bg放点A324231282421
7766..88 10－2.6815.7
51.2 －15.7
最MM进配后CC行与递DB 弯ggCCB分传DBC矩20034..3146022481526014181280.174559089.7..6.444.6－－660－1.0..3335.78.76.6
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
确定转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）、远端看支5 承。
§9-1 力矩分配法的基本概念
问题：如下杆件转动刚度SAB=4i 的是（
）
√① A
i
B
√② A
i
B
√③ A
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i
6
§9-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理
1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法 计算对象：杆端弯矩 力矩分配法概述 计算方法：增量调整修正的方法 适用范围：连续梁和无侧移刚架
正负号规定—— 杆端转角规定顺时针为正； 杆端弯矩、固端弯矩规定对杆件顺时针转动为正；相应地对结
点逆时针转动为正。
1
§9-1 力矩分配法的基本概念
一、名词解释
－15
1/2200kN－30
20kN/m －30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
∑MBg=150－90=60kN·m
M－A1－50165
∑MBg
B 151020
－－12900
C
2）放松结点，
相当于在结点上施加反号
的即结单点结不点平结衡构力在矩结，点并力将 165
MBAg
它偶按作分用配下系的数力分矩配分给配各法个
§9-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S1B M S
M1B
M
θ
1 M1A
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S1C M
S
C M1C
∑M1= M1A+M1B+M1C－M=0
M
S
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1)
1 j
S1 j S
——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结
2255..66
－31.4 －－4∑7M.2 Cg= －78.6
3.2 －－311..34 －－417.9.2
0.2 －0.1 －0.1 132.24.2 －124.2 14
§9-2 多结点的力矩分配
124.2
86.6
24kN/m
50kN
A
B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
C
M图（kN·m)
8m
192
100
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M AB g

结2点00不 6平衡1力50kN 矩要8反号分配.
m μ
A
3i
3m
B 4i 3m1/2 1/2 6m
C
M BA g

20结0点 6不平15衡0k力N矩 m
=8固端弯矩之和
Mg －150
150∑M－B9g0
M BC g


20 62 8

90kN m
－10
40 100
－ 10 C
B
A
D
10
80
M图（kN ·m)
C
11
§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
=
1、加入刚臂，锁住刚结点， 由结点力矩平衡条件求结点
不平衡力矩∑MBg、∑MCg。
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传
μCE=0.4
3m
E
1.5m
Mg AG


20 1.52 3
15kN m
有侧移刚架?
MGAg

20 1.52 6

7.5kN
m
18
AC AG
0.5 A 0.5 －15
7.5 7.5
－0.75 0.375 0.375
7.13 －7.13
§9-2 多结点的力矩分配
G －7.5 －7.5
例9.3 力矩分配法计算并画M图。
20kN/m
↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓
2i
i
i
i
3m
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
4i
G
i !!
C
2i H
解：利用对称性取半刚架.
SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μAC=0.5 μCA=0.4 μCH=0.2
3m
i
i
i
MB1= 0= C1BM1B
MC1=－i1Cθ=(－ 1)M1C=C1CM1C
M j1 C1 j M1 j——传递弯矩：远端获得的由近端分配
弯矩传递而来的弯矩。
8
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 结点不平衡力矩
200kN
20kN/m
例9.1力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。
100kN AB AC15AkDN·m 40kN/m
B
4/9 2/9A 3/9 ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D
∑MAg = －45
MABg
M=15
－ 50
50
－ 80
10 1/2 20 10 15
A MADg
－ 40
70 10 － 65
70 65
－1
μCD=0.6 μCB=106 . 4
§9-2 多结点的力矩分配
A 15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
i=3
4m
150kN ·m
C
i=1
i=2
8m
8m
M 89.1
30.8 － 30.8
30.8
36.4 113.6
36.4