匀变速直线运动中的追及相遇问题精编版

汽车与自行车位移关系：x0＋x1＝x2 ………(1) 汽车的末速度vt=v1 …………………(2) 设经过时间t汽车的速度与自行车的速度相等,则有:
对自行车：v1t=x1
…………………(3)
对汽车：vt=v0+at
…………………(4)
对汽车：vt2-v02=2ax2 …………………(5)
联立方程(1)、(2)、(3)、(4)、(5)代入数据,
解题思路：
汽车的速度大于自行车的速度，
即二者之间的距离在不断减小，当距
离减到零时且汽车速度不比自行车速
度快，汽车就不会撞上自行车。临界
情况是二者速度相等。
汽
自
临界位置 x
0
x0
x1
解：设速度方向为正方向。汽车刹车时的加速度a＝ －6m/s2。关闭油门时汽车离自行车的距离为x0。
要使汽车恰好不碰上自行车，则有：
解1：（公式法）
当两车的速度速度相等时，
x汽
两车之间的距离最大。
△x
x自
v汽 at v自
t v自 6 s 2s
a3
xm

x自

x汽

v自t

1 2
at 2

6 2m
1 2
3 22 m

6m
解2：（图像法）
v-t图像的斜率表示物体的加速度 v/ms-1
6 tan 3
vt2 v02 2ax0
a vt2 v02 0 102 m / s2 0.5m / s2 2x0 2100
a 0.5m / s2
解4：（二次函数极值法）
若两车不相撞，其位移关系应为
v1t


1 2
at
2

v2t

x0
此处a为加速度的大小
代入数据得 1 at2 10t 100 0
匀变速直线运动中的追及问题
两种典型追击问题
（1）速度大者A（匀减速）追速度小者B（匀速）
讨论如下：
①当A匀减速至B速度时，A还未追上B，则A、B永 不相遇，此时两者速度相等时距离最小；
②当A匀减速至B速度时，A恰好追上B，则A、B相遇 一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；
③当A匀减速至B速度时，A已超过B，则A、B相遇两 次。之后当两者速度相等时距离最大。
（2）同地出发，速度小者A（初速度为零的匀加速） 追速度大者B（匀速）
①当A匀加速至与B速度相等前，A、B距离越来越大； 当A超过B速度后， A、B距离越来越小。
② 当 v1=2v2 A追上B。A追上B所用的时间等于 它们之间达到最大距离时间的两倍。
v
A
v1
v2
B
o
t0
2t0 t
例1.汽车正以10m/s的速度在平直 公路上前进，突然发现正前方有一 辆自行车以4m/s的速度做同方向 的匀速直线运动，汽车立即关闭油 门做加速度大小为6m/s2的匀减速 运动，汽车恰好不碰上自行车，求 关闭油门时汽车离自行车多远？
由A、B位移关系：
v1t

1 2
at 2

v2t

x0
a (v1 v2 )2 (20 10)2 m / s2 0.5m / s2
2x0
2 100
a 0.5m / s2
解2：（图像法）
根据速度时间图像图像面积的物理意义，两车位移 之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯 形与矩形的面积之差最大, 不能超过100 .
2
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
4 1 a 100 (10)2
2
0
4 1 a
2
a 0.5m / s2
把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。
例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮
时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在
这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从 后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在 追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？ 此时距离是多少？
t vt v0 0 (6) s 2s
a
3
vt2 v02 2as
s vt2 v02 0 (6)2 m 6m
2a
23
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车
的位移为向后6m.
例2. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司 机发现前方同轨道上相距100m处有另一列 火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立 即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要 使两车不相撞，a应满足什么条件？
解1：（公式法） 两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
由A、B 速度关系：
v1 at v2
得x0=3m 关闭油门时汽车离自行车的距离为3m.
相遇和追击问题的常用解题方法
（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗 透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据图 象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。
（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、 临界状态。 （4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式 （要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ 判别式求解。
1 2
(20 10)t0
100
t0 20 s
a tan 20 10 0.5
20
a 0.5m / s2
v/ms-1
20
A
10
o
t0
B t/s
解3：（相对运动法） 以B车为参照物。 A车的相对初速度为v0=v1-v2=10m/s， 以加速度a减速，行驶x=100m后“停下”， A车的相对 末速度为vt=0。B车为参考物时A也做匀减速运动。 对B车由初速度v0匀减速至0的过程：
t0
t0 2s
6
α
o
t0
汽车 自行车
t/s
当t=2s时两车的距离最大
xm

1 2
2 6m

6m
解3：（相对运动法）
选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正 方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0
对汽车
vt v0 at