3 用一元一次方程解决实际问题

1
（6）月利率＝年利率×
12
8.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两 位数的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a． 9.计费问题 相等关系：第一段费用+第二段费用+.......=总费用 10．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的 优劣性后下结论．
解：（1）设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为 1.5x千米/小时，根据题意得： 2（1.5x+x）=200×2， 解得：x=80， ∴1.5x=1.5×80=120．
（2）120×2-200=40（千米）． 答：当两车相遇时，甲车距B地的路程为40千米．
例 7.（2017 秋•邵阳县期末）星期日早晨，学校组织共青团员去参观雷锋纪念馆，小颖因 故迟到没有赶上旅游车，于是她乘坐一辆出租车前往追赶，出租车司机说：“若以每小时 80 千米的速度，则需要 1.5 小时才能追上；若以每小时 90 千米的速度，则 40 分钟就能追 上”．你知道出租车司机估计旅游车的速度是每小时多少千米吗？
例 9.小王乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用了 3 h，已知船在静 水中的平均速度是 8 km/h.水流速度为 2 km/h，甲、丙两地相距 2 km，求甲、乙两地之间 的距离.
例 10.某铁路桥长 1200m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用 50s， 整个火车完全在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度.
变式 1：一辆卡车从甲地匀速地开往乙地，出发 2 h 后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿 车的速度比卡车的速度每小时快 30 km.轿车行驶 1h 后突遇故障，修理 15min 后，又上路追
这辆卡车，但速度减小了 1 ，结果又用 2 h 才追上这辆卡车，求卡车的速度. 3
变式 2：（2017 秋•固始县期末）甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时 行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里． （1）慢车先开出 1 小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
解：设火车长为 x m.由题意得。
1200 x 1200 x
50
30
解得 x=300
所以 1200 x 1200 300 30
50
30
答：火车长为 300m，车速为 30m/s.
命题点五：销售问题
例 11.某校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件 80 元 的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备采取促 销措施，将剩下的衬衫降价销售． （1）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？ （2）在（1）的条件下，某公司给员工发福利，在该商场促销前购买了 20 件该品牌的衬衫 发给员工，后因为有新员工加入，又要购买 5 件该衬衫，购买这 5 件衬衫时恰好赶上该商 场进行促销活动，求该公司购买这 25 件衬衫的平均价格．
例 8.小明和他哥哥早晨起来沿长为 400 米的环形跑道练习跑步，小明跑 2 圈用的时间和他 哥哥跑 3 圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，经过 2 分 40 秒第一次相遇，若他们两 人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？
解：设小明的速度为2x米/秒，哥哥的速度为3x米/秒，由题意得 3x×160-2x×160=400 解得：x=2.5 2x=5，3x=7.5； 设两人同时同地反向出发，则经过y秒他们第一次相遇， 5y+7.5y=400 解得：y=32 答：经过32秒他们第一次相遇
命题点一：和、差、倍、分问题
例 1.（2018•黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子，A 型粽子 28 元/千克，B 型粽子 24 元/千克，若 B 型粽子的数量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克，购进两种 粽子共用了 2560 元，求两种型号粽子各多少千克．
解：设订购A型粽子x㎏，则B型粽子为（2x-20）kg，根据题意得 28x+24×（2x-20）=2560 解得 x=40 ∴ 2x-20=60
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助 画草图来分析．
3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 注意：两个或多个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量.
变式 1：（2018 春•香坊区期末）某文教店购进一批钢笔，按进价提高 40%后标价，为了增加 销量，文教店决定按标价打八折出售，这时每支钢笔的售价为 28 元． （1）求每支钢笔的进价为多少元； （2）该文教店卖出这批钢笔的一半后，决定将剩下的钢笔以每 3 支 80 元的价格出售，很 快销售完毕，销售这批钢笔文教店共获利 2800 元，求该文教店共购进这批钢笔多少支？
解：（1）设每件衬衫降价x元，根据题意可得： （120-80）×400+（500-400）（120-x-80）=80×500×45%， 解得：x=20， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标；
（2）由题意可得：[20×120+5×（120-20）]÷25=116（元）， 答：该公司购买这25件衬衫的平均价格是116元．
解：依题意得：4x-8=2（3x-10） 解得x=6， 所以2x-6=6，3x-10=8，4x-8=16， 答：支援甲、乙、丙处各有6人、8人，16人．
变式 1：（2018•合肥模拟）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问 开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是： 如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房．求 该店有客房多少间？房客多少人？
解：设规定加工零件的天数为x，由题意得 44x+20=50x-10， 解得：x=5． 50x-10=240（个） 答：规定加工零件的个数为240个．
例 5.一项工程,甲单独做 8 天完成,乙单独做 12 天,丙单独做 24 天完成,现在甲乙合作 3 天, 甲因事离去,剩下的工程由乙、丙合作完成,问：乙、丙还需要做几天才能完成任务?
解：设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，才能使 生产的螺栓和螺帽刚好配套，依题意有： 12x：18（28-x）=2：3， 解得x=14， 28-x=28-14=14． 答：应分配14人生产螺栓，14人生产螺帽，才能使生产的螺 栓和螺帽刚好配套．
例 3.（2016 秋•温州期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 6 人，在乙处植树的 有 10 人，在丙处植树的有 8 人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数 之比为 2：3：4．设支援后在甲处植树的总人数有 2x 人．已知支援丙处的人数是支援乙处 的人数的 2 倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？
工作时间
工作效率
工作量
甲
3
1
13
8
8
乙
3+x
1
1 3 x
12
12
丙
x
1
1x
24
24
命题点四：行程问题
例 6.（2018 春•农安县期末）A、B 两地之间路程是 200 千米，甲、乙两车同时从 A 地出发， 沿同一路线匀速行驶，前往 B 地，甲车行驶到 B 地后立即返回．已知甲车速度是乙车速度 的 1.5 倍，两车行驶 2 小时相遇． （1）求甲、乙两车的速度； （2）当两车相遇时，求甲车距 B 地的路程．
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题 分 抽析 象 方程 检 求验 解 解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 重点剖析： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的 关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程 两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去 即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
5. 日历中的问题 （1）涉及的公式：横行相邻的两个数相差 1，纵行相邻的两个数相差 7. （2）等量关系：根据所圈数的关系列方程
6．利润问题
（1）
利润率=
利润 进价
100%
（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）实际售价＝标价×打折率
（4）利润＝售价－的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几
折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
7．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12
解：设该店由x个人。
则可得方程7x+7=9(x-1)
解得：x=8
带入得房客有7×8+7=63（人） 答：该店由8间房，房客有63人。
命题点三：工程问题
例 4.某工厂在一定的时间内加工一批零件，如果每天加工 44 个，则比规定任务少加工 20 个；如果每天加工 50 个零件，则可超额完成 10 个，求规定加工零件的个数．
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
变式 1：修一条公路，第一次修建了它 2 后，规划部门又决定延长 3 千米，现在未建成部分 5
的长度是设计之初总长度的 4 ，问设计之初这段公路的总长度是多少千米？ 5
命题点二：配套问题
例 2.某车间有 28 名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓 12 个或螺帽 18 个，两个螺栓要配三个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的 螺栓和螺帽刚好配套？
例 12.某种商品的进价是 215 元，标价是 258 元，现要最低获得 14%的利润，这种商品应最 低打几折销售？
例 13.某商店有两个进价不同的计算器都卖 64 元，其中一个亏本 20%，另一个盈利 60%．请 你计算一下，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔？若赚，共赚了多少元？若赔，赔了多 少元？
要点二、常见列方程解应用题的几种类型
1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系： 增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量， 现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余 以及倍，增长率等．
2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．