【全国市级联考】广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟金卷(1)文科数学试题

一、选择题（题型注释）
1、已知集合，，则集合中元素的个数为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2、已知（为虚数单位），则复数=（）
A． B． C． D．
3、某中学初中部共有120名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）
A．128 B．144 C．174 D．167
4、已知，则的值为（）
A． B． C． D．
5、设满足约束条件，则的最小值是（）
A． B． C． D．
6、下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）
A． B．
C． D．
7、函数的图象大致是（）
A． B． C． D．
8、执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则判断框图可填入的条件是（）
A． B． C． D．
9、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若
,,则球的半径为（）
A． B． C． D．
10、设等比数列的公比，前项和为，则的值为（）
A． B． C． D．
11、若双曲线上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12、已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（题型注释）
13、已知向量，且，则实数的值是
__________．
14、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 .
15、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________．
16、在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，若存在实数使得时，平面平面，则__________．
三、解答题（题型注释）
17、某车间20名工人年龄数据如下表：
（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.
18、（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足
（1）求；
（2）当时，求的面积．
19、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面.
（1）求证:平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20、已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，
为椭圆短轴的端点，的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
21、已知为实数，函数.
（1）若是函数的一个极值点，求实数的取值；
（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.
22、选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标
方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．
23、选修4一5:不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（1）求的值；
（2）若存在实数解，求实数的取值范围.
参考答案1、D
2、B
3、B
4、A
5、B
6、A
7、B
8、C
9、C
10、A
11、C
12、A
13、
14、.
15、
16、
17、（1）30；（2）详见解析；（3）.
18、（1）；（2）．
19、(1)见解析,(2) .
20、(1) ,(2)直线与圆相切.
21、(1) ,(2) .
22、（Ⅰ）;（Ⅱ）或．
23、(1) ,(2) .
【解析】
1、由题意可得，集合A表示除以3之后余数为2的数，结合题意可得：
，
即集合中元素的个数为2.
本题选择D选项.
2、试题分析：，故选B.
考点：复数
3、女教师人数为：．
4、f（α）==﹣cosα，
则f（﹣π）=﹣cos（﹣π）=﹣cosπ）=．
点睛：f（α）解析式利用诱导公式化简，整理得到结果，把α=﹣π代入计算即可求出f
（﹣π）的值．
故选A．
5、试题分析：作出可行域：，并作出直线
，平移到经过点Ｅ(3,4)时，目标函数取得最小值为：
；故选B．
考点：线性规划．
6、对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.
考点：三角函数的性质.
7、由条件知，函数为奇函数，有定义域得,排除C；当趋向于
时，
趋向于．当趋向于时,趋向于．排除Ｄ；当趋向于时，趋向于．故答案为B．
8、试题分析：模拟执行程序框图，的值依次为，因此（此
时），因此可填，故选C.
考点：程序框图及循环结构.
9、试题分析：由已知条件可知直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面，且BC 和分别是两小圆的直径，则BC=5，设球的半径为R，则R
==,故选C.
考点：1.勾股定理；2.球的内接三棱柱的性质.
10、试题分析：由等比数列的前项和公式得，又，
.
考点：等比数列的通项公式、前项和公式及运算.
11、试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，
∴，∴，
又∵，∴．
考点：双曲线的离心率．
12、函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，
即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，
可令y=f（x），y=g（x）=m x﹣2，
分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，
A（0，﹣2），B（3，1），C（4， 0），
则g（x）的图象介于直线AB和AC之间，
介于k AB＜m＜k AC，可得＜m＜1．
故答案为：（，1）．
点睛:函数h（x）=f（x）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f（x）﹣mx+2=0有三个不同的实根，可令y=f（x），y=g（x）=mx﹣2，分别画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m的范围．
13、∵=（1，2），=（x，1），
则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），
=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），
∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=0，解得：x=．
点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x 的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣
a2b1=0．
14、试题分析：成等比数列，，即
，化简得,由得，联立得
，故.
考点：（1）等差数列的定义；（2）等比中项.
15、∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=0，在（﹣∞，0）内也是增函数
∴=＜0，即或
根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数,解得：x∈（﹣1，0）∪（0，1）
点睛:根据函数为奇函数求出f（1）=0，再将不等式x f（x）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．
16、
当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
理由如下：
当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．
∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，
D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．
点睛:当Q为CC1的中点时，QB∥PA，D1B∥PO，由此能求出平面D1BQ∥平面PAO．17、试题分析：（1）利用车间名工人年龄数据表能求出这名工人年龄的众数和平均数．
（2）利用车间名工人年龄数据表能作出茎叶图．
（3）记年龄为岁的三个人为；年龄为岁的三个人为，利用列举法能求出这人均是岁的概率．
试题解析：（1）由题意可知，这名工人年龄的众数是，
这名工人年龄的平均数为：
.
（2）这名工人年龄的茎叶图如图所示：
（3）记年龄为岁的三个人为；年龄为岁的三个人为，则从这人中随机抽取人的所有可能为：
，
，
共种.
满足题意的有种，
故所求的概率为.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18、试题分析：（1）因为正弦定理，所以化为
，因为三角形内角有，所以
即，所以；
（2）由余弦定理，得，而，，得
，即，因为三角形的边，所以，则
．
试题解析：（1）因为由正弦定理，得
，又，从而，由于所以
（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，
故面积为．
解法二：由正弦定理，得
从而又由知，所以
故，
所以面积为．
考点：1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．
19、试题分析：（I）连接AC，由条件证明EF为三角形CPA的中位线，可得
EF∥PA．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，由侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，可得PO垂直平面ABCD，且PO=1．再根据三棱锥P﹣BCD的体积V，运算求得结果．
（1）证明：连接，则是的中点，为的中点，故在中，，
且平面，平面，
∴平面.
(2)取的中点，连接，
∵，∴,∵,∴为直角三角形，∴.
又平面平面，平面平面，
∴平面，
∴.
点睛：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积．
20、试题分析：（1）椭圆的离心率为，；
的面积为2，；（2）写出直线的方程为
，圆心到直线的距离
．
解析：（1）由题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）直线与圆相切.证明如下：
设点的坐标分别为，其中.
因为，
所以，即，解得.
当时，，代入椭圆的方程，得，
故直线的方程为.
圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为.
即.
又，故
.
此时直线与圆相切.
点睛：利用向量垂直关系得两点的坐标关系，再求圆心到直先得距离恰为半径．
21、试题分析：（1）求出函数f（x）定义域，函数的导函数f′（x），假设存在实数a，使f（x）在x=3处取极值，则f′（3）=0，求出a，验证推出结果．
（2）由f （x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，记F（x）=x﹣lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，转化a≥，记G（x）=，
x∈[，e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．
解析：（1）函数定义域为，
.
∵是函数的一个极值点，∴，解得.
经检验时，是函数的一个极小值点，符合题意，
∴.
（2）由，得，
记，
∴，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递増.
∴，
∴，记，
∴.
∵，∴，
∴，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴，
∴.
故实数的取值范围为.
点睛：本题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，用到了变量集中的方法.
22、试题分析：（Ⅰ）首先，根据所给a的值，将圆的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为直角坐标方程，然后，根据圆的性质，将所求的最值转化为到圆心的距离；（Ⅱ）首先，得到原点普通方程，然后，结合圆的弦长公式，建立关系式求解a的值即可．
试题解析：
（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，
化为直角坐标方程为，即.
直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，
∵圆心与点的距离为，
∴的最大值为.
（Ⅱ）由，可化为，
∴圆的普通方程为.
∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，
∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，
∴，解得或．
23、试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；
（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．
解析：（1）由，得，即，
当时，，
所以，解得；
当时，，
所以无解.
所以.
(2)因为，
所以要使存在实数解，
只需，所以实数的取值范围是.
点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．。