弦切角定义

弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角
弦切角的性质：
弦切角等于其所对圆周角
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
弦切角定理：
定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明
证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，
则∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
∴,∠BOC=2∠TCB
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：.
证明：分三种情况：
（1）圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
（2）圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么.
（3）圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么
弦切角推论：
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在中, ∠C=Rt∠
∴∠BAC=30°
∵（弦切角定理）
∴∠AOB=60°
又∵AO=BO
∴为等边三角形
∴AO=AB=BO=2BC
∴BC=1/2a
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.。