重庆市万州区分水中学2014-2015学年高二3月月考数学(理)试题Word版含答案

数学
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共10道小题，每小题0分，共0分）
1.3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．
319 B ．316 C ．313 D ．3
10 2.函数2
1()ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为（ ） A ．)1,1(- B ．)1,(-∞ C ．)1,0( D ．),1(+∞
3.过曲线13
+=x y 上一点（1，0）且与该点处的切线垂直的直线方程是（ ） A 、33-=x y B 、3
131-=
x y C 、31
31+-=x y D 、33+-=x y
4.设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若b a ,与α所成角相等，则b a //
B ．若
βαβα//,//,//b a ，则b a //
C ．若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα//
D ．若
βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥
5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
A ．13 B
C ．1 D
6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为26
，则此双曲线的渐近线方程为
（ ）
A ．x 2y ±=
B ．x y 2±=
C ．x y 22±
= D ．x y 2
1±=
7.已知函数)(x f y =的图象在点（1，(1)f ）处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的
值是（ ）
A ．21
B ．1
C ． 23
D ．2
8.若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,43⎛⎫
⎪⎝⎭
上有极值点,则实数a 的取值范围是( )
A ．102,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9.函数3
()3f x x x =-+在区间2
(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、(1-
B 、(1,2)-
C 、(1,2]-
D 、(1,4)
10.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且
()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列()
{}()
f n
g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值 为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ． 9
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）
11.椭圆
116
252
2=+y x 的半焦距是___________。

12.过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线:2780l x y -+=上的圆的方程为 。

13.已知函数13
1)(23
+++=
x ax x x f 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 。

14.函数x x x f ln )(2
+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程 。

15.()[]322b f x =-x -ax +2bx -12a
在，上是增函数，求范围 —————。

三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3
题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）
16.(本小题满分13分) 已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值。

(1)求a,b 的值
(2)求f(x)在x ∈[-3,3]的最值
18.（本小题满分13分）如图所示，平面ABCD
⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，
四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==． （1）求证：//AF 平面CDE ；
（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．
19. (本小题满分12分) 已知函数f （x ）=x 2
（x －a ）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l ，求函数f （x ）在点（1 ,f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b =0，不等式2()f x x -1nx +1≥0对任意的1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
恒成立，求a 的取值范围.
20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，
椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；
21.、（本小题满分12 (Ⅰ)当1a =时，求曲线()f x 在(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性；
，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使
12()()f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.
试卷答案
1.D
难度:普通
知识点：2.导数的计算
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.2 导数的运算 2.C
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 3.C
难度:普通
知识点：1.变化率与导数
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.1 导数 4.D
难度:普通
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
关键字：数学 新人教B 版 必修2 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系 5.D
【解析】由三视图知：原几何体为三棱锥，三棱锥的底面为等腰三角形，底边长为2，底边
上的高为1，所以该几何体的体积为11=2132V ⨯
⨯⨯ 难度:普通
知识点：2.空间几何体的三视图和直观图 关键字：数学 北师大版 第一章 立体几何初步 3.1 简单组合体的三视图 必修2 3 三视图 6.C
难度:普通
知识点：2.双曲线 关键字：数学 新人教B 版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程
7.D
难度:普通
知识点：2.导数的计算
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.2 导数的运算 8.D
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 9.C
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值．
C 解析 ：解：由3
()3f x x x
=-+，得2
()33f x x ¢=-+， 令()f x ¢＞0，解得-1＜x ＜1；令()f x ¢＜0解得x ＜-1或x ＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故函数在x=-1处取到极小值-2，因为函数在2
(12,)a a -的端点处的函数值取不到，所以此极小值必是区间2
(12,)a a -上的最小值．
，又当x=2时，f （2）=-2，故有a ≤2
故选：C ．
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 10.
【知识点】导数的应用B12 A
∵()()x
f x a
g x =，∴
()
()
x f x a g x =，∵''()()()()f x g x f x g x >， ∴''''2
()()()()()()()ln 0()()
x x
f x f x
g x f x g x a a a g x g x -===>，即ln 0x a a >，∴1a >，
∵
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，∴152
a a -+=，∴2a =，∴
()2()x f x g x =，∴()
2()n f n g n =， ∴数列(){}()f n g n 为等比数列，∴12(12)
226212
n n n S +-==->-，∴16n +>，即5n >， 所以n 的最小值为6。

【思路点拨】先求数列(){}()f n g n 为等比数列，再12(12)
226212
n n n S +-==->-，∴16n +>，即5n >所以n 的最小值为6。

难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 11.3
难度:普通
知识点：1.椭圆
关键字：数学 新人教B 版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 12.
难度:普通
知识点：4.直线与圆的位置关系 关键字：数学 新人教B 版 13.),1()1,(+∞--∞
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 14.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11
320x y --= 解析：()1
2f x x x
¢=+；故()1213f ¢=+=； 故函数x x x f ln )(2
+=的图象在点)1,1(A 处的切线方程为：
()131y x -=-；即320x y --=；故答案为：320x y --=．
【思路点拨】由题意求导()
1
2f x x x
¢=+，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．
难度:普通
知识点：1.变化率与导数
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.1 导数 15.()
()--12+∞∞，，
略
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 北师大版 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值 选修1-1 16.
⑴323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即
⎩
⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a 。

………5分
(2))1)(1(333)(,3)(2
3
-+=-='-=x x x x f x x x f 。

令0)(='x f ，得1,1=-=x x 。

若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故
)(x f 在)1,(--∞上是增函数， )(x f 在),1(∞+上是增函数。

若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数。

所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值;最大.小值f(3)=18,f(-3)=-18………13分
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 17.
(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k(x －1)， 1分
则由 2分
从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0. 4分
(2)①当直线m 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，m 与圆的两个交点坐标为(1)和(1，
，这两点的距离为 6分
②当直线m 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线
的距离为d(d ＞0)，:则＝，得d ＝1， 7分
从而 8分
此时直线方程为3x －4y ＋5＝0， 9分
综上所述，所求直线m 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 10分 难度:普通
知识点：4.直线与圆的位置关系 关键字：数学 新人教A 版 18.
（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，
//BF CG 且BF CG =，
∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =．…………2分
四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，
//FG AD ∴且FG AD =，
∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．
DG ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，
//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分
（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，
////EP BC AD ，
∴A ，P ，E ，D 四点共面．
四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，
∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又CD CE C =，
EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，
又
平面ADE
平面BCEF EP =，
∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分
4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠=
=．
即平面ADE 与平面BCEF ．……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，
根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，
∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，
又
AB BF B =， BC ∴⊥平面ABP ，
∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥． 又
FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．
∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分
4DC CE ==，2BC BF ==，
∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =，
∴cos HE HEF EF ∠=
==
．
即直线EF 与平面ADE ……………………………14分 （法二）（1）
四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，
∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，
又
平面ABCD ⊥平面BCEF ，且
平面ABCD
平面BCEF BC =，
DC ∴⊥平面BCEF ．
以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ，
则(0,2,4)AF =-，(2,0,0)CB =． ………………2分
BC CD ⊥，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．
又
0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，
//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分
（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,
0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
(2,0,0)AD =-，(0,4,4)DE =-，
∴11120
440
x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n =． ……………………………6分 DC ⊥平面BCEF ，
∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，
设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，
则11
cos 4CD n CD n α
⋅=
=
=⨯⋅． 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值为2
．…………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，
(2,2,0)EF =-， 111
1
cos ,222EF n EF n EF n ⋅
∴<>=
=
=-⋅，………12分
设直线EF 与平面ADE 所成角为θ
，则1cos sin ,EF n θ=<>=
因此，直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值为
2
．………………………14分 难度:普通
知识点：5.直线、平面平行的判定及其性质
关键字：数学
新人教B 版
必修2 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系 19.
由于a=3，b=l
6分
14分
难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用 20.
（Ⅰ）由题意知12c e a ==，∴222222
14c a b e a a -===，即2
243a b =
又b ==22
43a b ==， 故椭圆的方程为22
143y x +=……………4分
（Ⅱ）解：由22:4
14
3l x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得：22(34)24360m y my +++= (6)
分
2220(24)436(34)04m m m ∆>⇒-⨯+>⇒>由
设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1212
222436
,3434
m y y y y m m +=-
=++………………8分 ∴()22
121212122212100116
(1)41643434
m OA OB x x y y m y y m y y m m -+⋅=+=++++==-+
++ ……10分 ∵24m >∴23416m +>， ∴13
(4)4OA OB ⋅∈-，
∴OA OB ⋅的取值范围是13
(4)4
-，．…………12分
难度:普通
知识点：1.椭圆
关键字：数学 新人教B 版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 21.
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，(Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，
∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =-
(Ⅱ，)(x f 的定义域为),0(+∞ 当0=a
时，，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0( 当0≠a 时，
(Ⅲ)若对于12[1,2],[0,1]x x ∀∈∃∈使12()()f x g x ≥成立⇔()g x 在[0,1]上的最小值不大于
此时1b >
综上所述，b 的取值范围是难度:普通
知识点：3.导数在研究函数中的应用
关键字：数学 新人教B 版 选修2-2 第一章 导数及应用 1.3 导数的应用。