关于人在雨中行走的数学模型

关于人在雨中行走的数学模型
摘要
本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为
v时，淋雨量最少。

m
对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，
雨滴下落的速度，角度，降雨强度
问题重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a =1.5m （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m .设跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m v =5s m /，雨速u =4s m /，降雨量w =2h cm /，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数θ,,,,,,w
a之间的关系，问速度v多大，
b
u
c
d
θ,0ο30时的总淋雨量。

总淋雨量最少。

计算=
=θ
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数α,
d
c
a之间的关系，问速度v多
u
b
,
,w
,
,
,
大，总淋雨量最少。

计算ο
α时的总淋雨量。

30
=
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？
问题分析
1. 若不考虑雨的方向，雨以降雨量w 均匀地淋遍全身。

将人体简化成长方体，求出人接收雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W 。

2.雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ如图1.所示。

根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向。

雨迎面吹来时，由于相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。

据此，推算出前后侧上单位时间内接收雨量。

同理，头顶部位接收雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。

分别计算出头顶侧与前后侧单位时间内接收的雨量，并分别乘以各自面积以及时间t d /，即得到头顶及两侧淋雨的总量。

在人体总的淋雨量。

据此可得W 与v 之间的关系，并能求出0=θ和ο30=θ时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2.所示。

左右方向上淋雨量为0。

头顶上单位时间内接收雨的量1w 与雨速垂直方向上的分量成正比，1W 为头顶面积bc 与时间m v d /以及1w 之积。

当θsin u v m <时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量2w 与人前进方向上人相对于雨的速度
（m v u -θsin ）成正比，据此推算出2W ；而当时，后θsin u v m <方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞山雨滴，即2w 与θsin u v m -成正比。

2W 为人体前面ab 和跑步时间m v d /头顶淋雨量以及2w 之积。

21W W W +=
据此可得W 与m v 之间的关系，并能求出ο30=α
模型假设
1. 人在奔跑过程中，m v 大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2. 对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3. 对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。

4. 假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，与苏均匀不变。

5. 假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6. 人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

符号说明
a 人体高度
b 人体宽度
c 人体厚度
d 跑步距离
u 雨速
w 降雨量
θ 雨迎面吹来时与人体的夹角 m v 跑步最大速度
W 总淋雨量
1s 头顶面积
2s 人前或后表面积
1u 雨点相对人头顶速度的垂直分量
2u 雨点相对人前后面速度的垂直分量
1w 头顶单位时间接收雨量
2w 前后面单位时间接收雨量
1W 头顶接收雨量
2W 人体前后面接收雨量
3W 人体左右面接收雨量
模型建立与求解
模型一：
不考虑雨的方向，因为降雨量w 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下：
m
v d w
bc ac ab W )22(++= 经计算得30024.0m W ≈
模型二
根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1u 、行走的时间有关。

求解如下：
头顶：
bc s u u ==11cos θ
假设降雨量w 与雨点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以： 11u w ∞
θcos 1w w =
θθcos cos 111m
m v bcdw v d bc
w t s w W === 正面：
u v v +=θsin 2
而
22v w ∞
w u
u v w w u w u v m m +=⇒=+θθsin sin 22 ab s =2
m
m v d wab u u v t s w W +=
=θsin 222 求解得：
当s m v /5=时，淋雨量W 最小；
当ο0=θ时，30012.0m W =
当ο30=θ时，30016.0m W = 模型三
根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前后两面）
头顶：
11v w ∞
αcos 1u v =Θ
αcos 1w w =∴
bc s =1
m
v d bc
w t s w W αcos 111== 正面：
当v u <αsin 时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面
22v w ∞
αsin 2u v v m -=Θ
w u
u v w m αsin 2-=∴ ab s =2
m
m v d wab u u v W αsin 2-= 当v u ≥θsin 时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨沾到人的后面
22v w ∞
w u
v u w v u v m m
-=∴-=ααsin sin 22Θ m m v d wab u v u W ab
s -=
=αsin 22 又因为21W W W += 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+⨯⨯-+⨯⨯=m m m m m m v d wab u u v v d bcw v d wab u v u v d bcw W ααααsin cos sin cos
当s m v m /2=时，总淋雨量最少；
雨线方向与人体方向夹角为ο30时，淋雨量为33.02405556.0m E -
模型评价
通过对本体的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

同时也存在不足之处就是我们没有考虑降雨密度的不均匀、风向不稳定等次要因素，因此本题的求解结果存在一定的误差，有待改进和提高。

参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：2003年8月第三版；
[2]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社.1987年4月第一版。