高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.1随机抽样课件理
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第二十三页，共51页。
典例2 (2018·河北模拟)总体由编号为 01,02，…，
19,20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，
选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由
左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为
()
7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 0198
解 由典例中解析易知编号构成首项为 10，公差为 16 的等差数列，易求得 a＝26，b＝58，故 a＋b＝84.
第三十二页，共51页。
[条件探究 2] 把典例中条件“若编号为 42 的产品在样 本中”改为“抽到产品的编号之和为 185”，则抽到的最小 编号是多少？
解 利用等差数列前 n 项和公式 S5＝5a1＋5·52－1·16 ＝185，得 a1＝5.
(4)要从 1002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量 为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公 平．( × )
第十一页，共51页。
2．教材衍化 (1)(必修 A3P64A 组 T3)某单位有职工 140 人，其中科技 人员 91 人，行政干部 28 人，职员 21 人，为了了解职工的 某种情况要从中抽取一个容量为 20 的样本．以下抽样方法 中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是( ) ①将 140 人从 1～140 编号，然后制出有编号 1～140 的 140 个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进 行均匀搅拌，并从中抽取 20 个号签，编号与签号相同的 20 人选出．
第二十九页，共51页。
题型 2 系统抽样
典例 (2017·徐州模拟)从编号为 0,1,2，…，79 的 80
件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本，
若编号为 42 的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号
为( )
A．8
B．10
C．12
D．16
确定分段间隔，再利用间隔不变解题．
第三十页，共51页。
第四页，共51页。
2．系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成 均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽 取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽 样． (2)系统抽样的操作步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本．
第五页，共51页。
①先将总体的 N 个个体编号； ②确定 分段间隔 k ，对编号进行分段，当Nn(n 是样本 容量)是整数时，取 k＝Nn；当Nn不是整数时，可随机地从总 体中剔除余数 x，取 k＝N－n x； ③在第 1 段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号 l(l≤k)；
4．如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除，可随机地 从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起 始编号的确定应用简单随机抽样的方法．
第三十五页，共51页。
冲关针对训练
(2018·广东肇庆模拟)一个总体中有 100 个个体，随机编
号为 0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08
B．07
C．02
D．01
随机数法．
第二十四页，共51页。
解析 选出的 5 个个体的编号依次是 08,02,14,07,01， 故选 D.
第二十五页，共51页。
方法技巧 1．简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的；(2)是逐个 抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点 都满足的抽样才是简单随机抽样． 2．抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法 适用于总体中个体数较多的情况．
解析 根据系统抽样的概念，所取的 4 个样本的编号 应成等差数列，故所求编号为 17.
第十九页，共51页。
经典(jīngdiǎn)题型冲 关
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题型 1 简单随机抽样 典例1 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个 数为( ) ①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本； ②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量 检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验 后再把它放回盒子里；
第二十一页，共51页。
③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验；
④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学
校组织的篮球赛．
A．0
B．1
C．2
D．3
应用简单随机抽样的定义进行判断．
第二十二页，共51页。
解析 ①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体 的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因 为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一 次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽 样．因为不是等可能抽样，故选 A.
A．90 C．180
B．100 D．300
根据抽样比列方程．
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
第十四页，共51页。
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270. 下列关于上述样本的结论正确的是( ) A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样
第八页，共51页。
第九页，共51页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先 后有关．( × ) (2) 系 统 抽 样 在 起 始 部 分 抽 样 时 采 用 简 单 随 机 抽 样．( √ )
第十页，共51页。
(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本， 分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能 抽样．( × )
解析 从 80 件产品中用系统抽样的方法抽取 5 件，则 可将这 80 件产品分成 5 组，每组 16 件，每组抽取 1 件， 而编号为 42 的产品在第 3 组，所以第 1 组所抽取产品的编 号为 42－16×2＝10，故选 B.
第三十一页，共51页。
[条件探究 1] 把典例中条件“若编号为 42 的产品在样 本中”改为“已知编号为 10，a,42，b,74 号在样本中”，求 a＋b.
第二十七页，共51页。
冲关针对训练
利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10
的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(
)
1
1
A.4
B.3
10
C.14
D.27
第二十八页，共51页。
解析 根据题意，n－9 1＝13，解得 n＝28.故每个个体被 抽到的概率为1208＝154.故选 C.
第三十三页，共51页。
方法技巧 系统抽样的注意点
1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也 较大．
2．若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差 数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故 问题可转化为等差数列问题解决．
第三十四页，共51页。
3．抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性 不变．
第二十六页，共51页。
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当 总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (3)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从 选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作 为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号 码的数字舍去．
第十七页，共51页。
解析 该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不 适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别 不大，故不适合按性别分层抽样．故选 C.
第十八页，共51页。
(2)(2018·长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为： 1,2,3，…，48 的 48 名学生，采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 4 的样本，已知 5 号，29 号，41 号学生在样本中， 则样本中还有一名学生的编号是___1_7____．
第三十七页，共51页。
题型 3 分层抽样
典例1 (2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师 的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教
师人数为( )
类别
人数
老年教师 中年教师 青年教师
合计
900 1800 1600 4300
第三十八页，共51页。
A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③②① 解析 从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的 操作步骤入手．故选 C.
第十三页，共51页。
(2)(必修 A3P64A 组 T4)某初级中学有 270 人，其中一年 级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统 抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将按一、 二、三年级依次统一编号为 1,2，…，270；使用系统抽样时， 将统一随机编号 1,2，…，270，并将整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四种情况：
第十五页，共51页。
解析 从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽 样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级 应按 4∶3∶3 的比例进行抽取，即 1～108 号抽取 4 人，109～ 189 号抽取 3 人，190～270 号应抽取 3 人．故选 D.
第十六页，共51页。
3．小题热身 (1)(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情 况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先 已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方 法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
第9章 统计(tǒngjì)与统计(tǒngjì) 案例
9.1 随机抽样
第一页，共51页。
第二页，共51页。
基础知识过关(guò〃 guān)
第三页，共51页。
[知识梳理] 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个 不放回地 抽取 n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取 时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等 ，就把这种抽 样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表 法．
次为 1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为 10
的样本，规定如果在第 1 组中随机抽取的号码为 m，那么在
第 k 组中抽取的号码的个位数字与 m＋k 的个位数字相
同．若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码是( )
A．63
B．64
C．65
D．66
第三十六页，共51页。
解析 由题设知，若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码 个位数字与 13 的个位数字相同，而第 7 组中数字编号依次 为 60,61,62,63，…，69，故在第 7 组中抽取的号码是 63. 故选 A.
第六页，共51页。
④按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得 到第 2 个个体编号 1＋k ，再加 k 得到第 3 个个体编号
1＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．
第七页，共51页。
3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉 的层，然 后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将 各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层 抽样． (2)应用范围：当总体是由 差异明显 的几个部分组成 时，往往选用分层抽样． 注：三种抽样方法的比较
第十二页，共51页。
②将 140 个人分成 20 组，每组 7 个人，并将每组 7 人 按 1～7 编号，在第一组中采用抽签的方法抽出 K 号 (1≤K≤7)，则其余各组 K 号也被抽到，20 个人被选出．
③按 20∶140＝1∶7 的比例，从科技人员中抽取 13 人， 从行政人员中抽取 4 人，从职员中抽取 3 人，从各类人员中 抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出 20 人．
典例2 (2018·河北模拟)总体由编号为 01,02，…，
19,20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，
选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由
左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为
()
7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 0198
解 由典例中解析易知编号构成首项为 10，公差为 16 的等差数列，易求得 a＝26，b＝58，故 a＋b＝84.
第三十二页，共51页。
[条件探究 2] 把典例中条件“若编号为 42 的产品在样 本中”改为“抽到产品的编号之和为 185”，则抽到的最小 编号是多少？
解 利用等差数列前 n 项和公式 S5＝5a1＋5·52－1·16 ＝185，得 a1＝5.
(4)要从 1002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量 为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公 平．( × )
第十一页，共51页。
2．教材衍化 (1)(必修 A3P64A 组 T3)某单位有职工 140 人，其中科技 人员 91 人，行政干部 28 人，职员 21 人，为了了解职工的 某种情况要从中抽取一个容量为 20 的样本．以下抽样方法 中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是( ) ①将 140 人从 1～140 编号，然后制出有编号 1～140 的 140 个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进 行均匀搅拌，并从中抽取 20 个号签，编号与签号相同的 20 人选出．
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题型 2 系统抽样
典例 (2017·徐州模拟)从编号为 0,1,2，…，79 的 80
件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本，
若编号为 42 的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号
为( )
A．8
B．10
C．12
D．16
确定分段间隔，再利用间隔不变解题．
第三十页，共51页。
第四页，共51页。
2．系统抽样 (1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成 均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽 取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽 样． (2)系统抽样的操作步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本．
第五页，共51页。
①先将总体的 N 个个体编号； ②确定 分段间隔 k ，对编号进行分段，当Nn(n 是样本 容量)是整数时，取 k＝Nn；当Nn不是整数时，可随机地从总 体中剔除余数 x，取 k＝N－n x； ③在第 1 段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号 l(l≤k)；
4．如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除，可随机地 从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起 始编号的确定应用简单随机抽样的方法．
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冲关针对训练
(2018·广东肇庆模拟)一个总体中有 100 个个体，随机编
号为 0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08
B．07
C．02
D．01
随机数法．
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解析 选出的 5 个个体的编号依次是 08,02,14,07,01， 故选 D.
第二十五页，共51页。
方法技巧 1．简单随机抽样的特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的；(2)是逐个 抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点 都满足的抽样才是简单随机抽样． 2．抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法 适用于总体中个体数较多的情况．
解析 根据系统抽样的概念，所取的 4 个样本的编号 应成等差数列，故所求编号为 17.
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经典(jīngdiǎn)题型冲 关
第二十页，共51页。
题型 1 简单随机抽样 典例1 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个 数为( ) ①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本； ②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量 检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验 后再把它放回盒子里；
第二十一页，共51页。
③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验；
④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学
校组织的篮球赛．
A．0
B．1
C．2
D．3
应用简单随机抽样的定义进行判断．
第二十二页，共51页。
解析 ①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体 的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因 为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一 次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽 样．因为不是等可能抽样，故选 A.
A．90 C．180
B．100 D．300
根据抽样比列方程．
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
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③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270. 下列关于上述样本的结论正确的是( ) A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样
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[诊断自测] 1．概念思辨 (1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先 后有关．( × ) (2) 系 统 抽 样 在 起 始 部 分 抽 样 时 采 用 简 单 随 机 抽 样．( √ )
第十页，共51页。
(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本， 分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能 抽样．( × )
解析 从 80 件产品中用系统抽样的方法抽取 5 件，则 可将这 80 件产品分成 5 组，每组 16 件，每组抽取 1 件， 而编号为 42 的产品在第 3 组，所以第 1 组所抽取产品的编 号为 42－16×2＝10，故选 B.
第三十一页，共51页。
[条件探究 1] 把典例中条件“若编号为 42 的产品在样 本中”改为“已知编号为 10，a,42，b,74 号在样本中”，求 a＋b.
第二十七页，共51页。
冲关针对训练
利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10
的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(
)
1
1
A.4
B.3
10
C.14
D.27
第二十八页，共51页。
解析 根据题意，n－9 1＝13，解得 n＝28.故每个个体被 抽到的概率为1208＝154.故选 C.
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方法技巧 系统抽样的注意点
1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也 较大．
2．若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差 数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故 问题可转化为等差数列问题解决．
第三十四页，共51页。
3．抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性 不变．
第二十六页，共51页。
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当 总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (3)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从 选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作 为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号 码的数字舍去．
第十七页，共51页。
解析 该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不 适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别 不大，故不适合按性别分层抽样．故选 C.
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(2)(2018·长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为： 1,2,3，…，48 的 48 名学生，采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 4 的样本，已知 5 号，29 号，41 号学生在样本中， 则样本中还有一名学生的编号是___1_7____．
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题型 3 分层抽样
典例1 (2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师 的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教
师人数为( )
类别
人数
老年教师 中年教师 青年教师
合计
900 1800 1600 4300
第三十八页，共51页。
A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③②① 解析 从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的 操作步骤入手．故选 C.
第十三页，共51页。
(2)(必修 A3P64A 组 T4)某初级中学有 270 人，其中一年 级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统 抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将按一、 二、三年级依次统一编号为 1,2，…，270；使用系统抽样时， 将统一随机编号 1,2，…，270，并将整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四种情况：
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解析 从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽 样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级 应按 4∶3∶3 的比例进行抽取，即 1～108 号抽取 4 人，109～ 189 号抽取 3 人，190～270 号应抽取 3 人．故选 D.
第十六页，共51页。
3．小题热身 (1)(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情 况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先 已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方 法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
第9章 统计(tǒngjì)与统计(tǒngjì) 案例
9.1 随机抽样
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基础知识过关(guò〃 guān)
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[知识梳理] 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个 不放回地 抽取 n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取 时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等 ，就把这种抽 样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表 法．
次为 1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为 10
的样本，规定如果在第 1 组中随机抽取的号码为 m，那么在
第 k 组中抽取的号码的个位数字与 m＋k 的个位数字相
同．若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码是( )
A．63
B．64
C．65
D．66
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解析 由题设知，若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码 个位数字与 13 的个位数字相同，而第 7 组中数字编号依次 为 60,61,62,63，…，69，故在第 7 组中抽取的号码是 63. 故选 A.
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④按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得 到第 2 个个体编号 1＋k ，再加 k 得到第 3 个个体编号
1＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．
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3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉 的层，然 后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将 各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层 抽样． (2)应用范围：当总体是由 差异明显 的几个部分组成 时，往往选用分层抽样． 注：三种抽样方法的比较
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②将 140 个人分成 20 组，每组 7 个人，并将每组 7 人 按 1～7 编号，在第一组中采用抽签的方法抽出 K 号 (1≤K≤7)，则其余各组 K 号也被抽到，20 个人被选出．
③按 20∶140＝1∶7 的比例，从科技人员中抽取 13 人， 从行政人员中抽取 4 人，从职员中抽取 3 人，从各类人员中 抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出 20 人．