五年级奥数.计算综合.裂项(B级).学生版

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(1) 能熟练运算常规裂和型题目;
(2) 复杂整数裂项运算;
(3) 分子隐蔽的裂和型运算。

(4) 通项归纳
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b ⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b
=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数,我们有:
1111[]()(2)2()()(2)
n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 考试要求
知识结构
裂项
3、 对于分子不是1的情况我们有:⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
()()()()()
21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()
31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦
()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k
n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦ ()()()
221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

三、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。

其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀:等差数列数,依次取几个。

所有积之和,裂项来求作。

后延减前伸,差数除以N 。

N 取什么值,两数相乘积。

公差要乘以,因个加上一。

需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。

对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。

四、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
(1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。

(1) 复杂整数裂项的特点及灵活运用
(2) 分子隐蔽的裂和型运算。

(3) 通项归纳及其
一、用裂项法求1()(2)
n n k n k ++型分数求和 【例 1】 111123234789
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L
重难点
例题精讲
【巩固】
1111...12323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 2】 计算:
1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L
【巩固】计算:1111232349899100
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L
二、用裂项法求2()(2)k
n n k n k ++型分数求和
分析:2()(2)k
n n k n k ++(n,k 均为自然数)
211()(2)()()(2)
k n n k n k n n k n k n k =-+++++
【例 3】 4444 (135357)
939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
444 (135357939597)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
三、用裂项法求
1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析:1()(2)(3)
n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例 4】 计算: 111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
11111123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
四、用裂项法求
3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和
分析:3()(2)(3)
k n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例 5】 计算:
333......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
333 (1234234521222324)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
五、复杂裂项
【例 6】 111111212312100++++++++++L L L
【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)
-
---⨯++⨯++++++⨯++++L L L ()
【例 7】 22222211111131517191111131
+++++=------ .
【巩固】计算:222222
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-
⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=L
【例 8】 计算:222222222231517119931199513151711993119951
++++++++++=-----L .
【巩固】计算:22222222222213243598100213141991
++++++++=----L .
【例 9】 计算:
22222222
3571512233478++++⨯⨯⨯⨯L
【巩固】计算:22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯L .
【例 10】 23501(12)(12)(123)(12349)(12350)+++⨯++⨯++++++⨯++++L L L
【巩固】
2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++L L L
1、 计算:
3245671255771111161622222929
++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
课堂检测
2、 22222222122318191920122318191920
++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯
3、 100
211321121111++++++++++ΛΛΛ
4、 999897112323434599100101
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L
5、 333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1、 计算:57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L .
2、 计算:5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L (

3、 计算:
3451212452356346710111314
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 家庭作业
4、 计算:1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L
5、 计算:
111112232342345234200
+++++++++++++++L L
学生对本次课的评价
教学反馈。

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