2024年中考数学一轮复习考点课件：解直角三角形及其应用

A ）
B. 4
C. 4.5
D. 4.8
第3题
4. （2023·广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外
框和3m高的支柱，则共需钢材约 21
m（结果保留整数，参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.
第4题
5. （2023·合肥庐阳一模）计算：6tan230°－ 3sin60°＋2tan45°.
典例1 （2023·芜湖镜湖一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
2，AB＝3，则cosB的值为（ D ）
A.
C.
5
2
3
2
B.
5
3
D.
2
3
典例1图
典例2 （2023·蚌埠蚌山模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网
格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的☉A与BC交于点F，则
（米），∠AFE＝63°，∠BNE＝48°.在Rt△AFE中，
∵ tan∠AFE ＝


， ∴ AE ＝ EF·tan∠AFE ＝
2×tan63°≈2×1.96 ＝ 3.92 （ 米 ） . 在 Rt△BNE 中 ， ∵
tan∠BNE ＝


， ∴
BE ＝ EN·tan∠BNE ＝
2.5×tan48°≈2.5×1.11＝2.775（米）.∴ AB＝AE－BE

∵ ∠ACD＝90°，∴ CF＝ AD＝FD.在Rt△ACD中，

由勾股定理，得AD＝ ＋ ＝ ＋ ＝
2 .
∴ CF＝ .∵ CF＝FD，FE⊥CD，∴

CE＝ CD＝

2.在Rt△EFC中，EF＝ − ＝ − ＝3，
∴



tan∠FBD＝ ＝ ＝ .
解：（1） ∵

AC⊥BD，cos∠ABC＝ ＝ ，BC＝

8，∴ AB＝10.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC＝
− ＝ − ＝6.
（2） tan∠FBD的值.
解：（2） 如图，连接CF，过点F作BD的垂线，垂
足为E.∵ BF为边AD上的中线，∴ F为AD的中点.
OA ＝ AR·sin∠ORA ＝ 40×sin24.2°≈40×0.41 ＝
16.4 （ m ） ， OR ＝ AR·cos∠ORA ＝
40×cos24.2°≈40×0.91 ＝ 36.4 （ m ） .∴ 在
Rt△BOR
中
，
OB
＝
OR·tan∠ORB
＝
36.4×tan36.9°≈36.4×0.75＝27.3（m）.∴ AB＝
典例12 （2023·安徽）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从点
O竖直上升到点A时，测得点A到点R的距离为40m，点R的俯角为24.2°，
无人机继续竖直上升到点B，测得点R的俯角为36.9°.求无人机从点A到点
B 的 上 升 高 度 AB （ 结 果 精 确 到 0.1m ， 参 考 数 据 ： sin24.2°≈0.41 ，
考数据： 3≈1.732， 2≈1.414）（ B ）
A. 58J
B. 159J
C. 1025J
D. 1732J
第2题
3. （2023·滁州来安一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别
4
是BC和AB上的点.已知DE⊥AB，sinB＝ ，AC＝8，CD＝2，则DE的长
5
为（
A. 3.2

100×
.∴ AE＝DF＝50 ≈86.6.∵ ∠ABC
＝70°，CE⊥AB，∴ ∠BCE＝90°－70°＝20°.在

Rt△CEB中，BC＝80，sin20°＝ ，

∴ BE＝BC·sin20°≈27.2.∴ AB＝AE＋BE≈114.∴
AB的长约为114.
典例9图答案
考点四
解直角三角形的实际应用
tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）.
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过
点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.易得四边形CDEF
是矩形，∴ EF＝CD＝10cm，DE＝CF.在Rt△ADE中，
∠A ＝ 53.3° ， AD ＝ 50cm ， ∴
.° .
AB＝AE＋EF－BF＝30＋10－16＝24（cm）.∴ 边AB的
长约为24cm.
典例10图答案
典例11 （2023·合肥庐阳三模）如图，从A地到B地的公路需经过C地，
AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市规划的需要，将在A，
B 两 地 之 间 修 建 一 条 笔 直 的 公 路 （ 结 果 精 确 到 0.1km ， 参 考 数 据 ：
DE ＝
AD·sin53.3°≈50×0.80 ＝ 40 （ cm ） ， AE ＝
AD·cos53.3°≈50×0.60 ＝ 30 （ cm ） .∴ CF ＝ DE ＝
40cm.∵ ∠ABC＝111.8°，∴ ∠CBF＝180°－∠ABC＝


68.2°.在Rt△BCF中，BF＝
≈ ＝16（cm），∴
典例10 （2023·合肥包河二模）“格物致知，叩问苍穹”，2023年中国
航天日活动于4月24日在安徽合肥隆重举行.受活动影响，某校航模社团
制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示，经测量，AD＝
50cm，CD＝10cm，∠A＝53.3°，∠ABC＝111.8°，AB∥DC，求边AB的
长 （ 结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： sin53.3°≈0.80 ， cos53.3°≈0.60 ，
解：原式＝6×



－ ×



＋2×1＝2－ ＋2＝



6. （2023·合肥蜀山三模）某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度
作为一次课外课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测量如
图所示的示意图，测得结果如下：站在与墙垂直的笔直小路上的点D处
利用测角仪（测角仪的高度为0.5米）测得窗户顶端A的仰角为63°，站
在点C处利用测角仪测得窗户底端B的仰角为48°，并用卷尺测得OD＝2
米，CD＝0.5米，请计算窗户的高度AB（结果精确到0.1米，参考数据：
tan48°≈1.11，tan63°≈1.96，sin48°≈0.74，sin63°≈0.89）.
解：如图，由题意知，△AFE和△BNE都是直角三角
形，EF＝OD＝2米，EN＝OC＝OD＋CD＝2＋0.5＝2.5
3≈1.732，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）.
（1） 求改直后的公路AB的长.
解：（1） 如图，过点C作CH⊥AB于点H.在
Rt△ACH中，∵ AC＝60km，∠CAB＝30°，
∴

CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin30°＝60× ＝30

（km），AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos30°＝
DF⊥CE于点F，则∠AEF＝∠DFC＝∠DFE＝90°.
又∵ ∠DAB＝90°，∴ 四边形AEFD是矩形.
∴ ∠ADF＝90°，AE＝DF.∵ ∠ADC＝120°，∴
∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝30°.在Rt△CDF中，

cos30°＝ ，CD＝100，∴ DF＝CD·cos30°＝


＝50
OB－OA＝27.3－16.4＝10.9（m）.∴ 无人机从点
A到点B的上升高度AB约为10.9m.
典例12图
[方法归纳] 解直角三角形实际应用题的一般方法
把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形模型，利用直角三
角形的边角关系，通过勾股定理或者锐角三角函数求解.
1. （2023·无为一模）如图，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均
tan∠DEF＝


.
典例2图
典例3 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.
若b2＝ac，则sinA的值为
−

.
考点二
含特殊角三角函数式子的计算
典例4 计算sin60°＋
A. 1
B. 2
3
的结果是（
2
C）
C. 3
D. 2
典例5 （2023·合肥一模）若0°＜α＜45°，且sin2α＝
60×

≈51.96（km）.在Rt△BCH中，∵

＝50°，∴
∠CBA



BH＝
＝
≈ ≈25.21
∠ ° .
（km）.∴ AB＝AH＋BH＝52.19＋25.21≈77.2
（km）.∴ 改直后的公路AB的长约为77.2km.
典例11图答案
（2） 公路改直后比原来缩短了多少千米？
+
典例8图答案
典例9 （2023·蚌埠二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，
∠ADC＝120°，∠ABC＝70°，BC＝80，CD＝100，求AB的长（结果保
留整数，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94， 3≈1.732）.
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作
角函数值.
考点三
解直角三角形
典例7 （2023·宿州萧县三模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，
3
sinB＝ ，则AC的长为（
5
B）
典例7图
A. 3
B. 13
C. 2 3
D. 4
典例8
4
如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝ ，
5
BF为边AD上的中线.求：
（1） AC的长.
第3题
A. 2 2
B. 4 2
1
2
3
4
5
D. 6 2
C. 3 5
6

8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度i
cos24.2°≈0.91 ， tan24.2°≈0.45 ， sin36.9°≈0.60 ， cos36.9°≈0.80 ，
tan36.9°≈0.75）.
典例12图
解：由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°.
在 Rt△AOR 中 ， AR ＝ 40m ， ∠ORA ＝ 24.2°， ∴
3
，则α＝
2
30° .
典例6 计算：
（1） 2sin30°＋3cos60°－4tan45°.




解：原式＝2× ＋3× －4×1＝1＋ －4＝－ .




（2） （2023·亳州涡阳模拟）2cos245°－1＋tan30°tan60°.
解：原式＝2×



－1＋

×

＝1－1＋1＝1.
[误区警示] 利用特殊角的三角函数值进行计算时，不能记错特殊角的三
解：（2） 在Rt△BCH中，∵
∴ BC ＝

°

sin∠CBH＝ ，

.∵ CH ＝ 30km ， ∴ BC ＝


≈
≈38.96（km）.∴
° .
AC＋BC－AB＝60
＋38.96－77.2≈21.8（km）.∴ 公路改直后比原
来缩短了约21.8km.
典例11图答案
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用
解直角三角形及其应用—解直角三角形的应用
概
念
仰角、
俯角
定
义
在视线与水平线所成的锐角中，视线
在水平线上方的角叫仰角，视线在水
平线下方的角叫俯角
坡度（坡 坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫
比）、 做坡度（坡比），用字母i表示；坡面
坡角
ℎ
与水平面的夹角α叫坡角，i＝tanα＝
平分线MN交AC于点D，交AB于点N，连接BD.若CD＝6，AD＝10，则
tanA的值为（ B ）
第2题
A.
1
3
B.
1
2
3
1
2
4
5
6
C.
2 5
5
7
8
9
10
11
D.
5
5
12
13
14
15
16
17
18
3. （2023·亳州模拟）如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝4，tanC＝
2，则边AB的长为（ B ）

图
形
概
念
定
义
一般指以观测者的位置为中心，将正北
或正南方向作为起始方向旋转到目标方
向线所成的角（一般指锐角），通常表
方向角
示成北（南）偏东（西）多少度，方向
角的角度在0°～90°之间.点A，B，C关于
点O的方向角分别是北偏东30°，南偏东
60°，北偏西45°（也称西北方向）
图
形
考点一
锐角三角函数的定义
＝3.92－2.775≈1.1（米）.∴ 窗户的高度AB约为1.1米
第6题答案
强化练习
1. （2023·天津）计算sin45°＋
1
2
3
4
B）
C. 3
B. 2
A. 1
2
的值为（
2
5
6
7
8
9
D. 2
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2. （2023·六安金寨一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直
在格点上，则sinB的值为（ C ）
A. 1
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
第1题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2. （2023·深圳）已知爬坡时坡面与水平面的夹角为α，且每爬1m耗能
（1.025－cosα）J.如图，某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参