高二数学之数学人教A版选修4-1课件：本讲整合1

D,点
D
在半径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OC
上的射影为
E.若
AB=3AD,则
������������ ������������
的值为_____.
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解析:设AD=2,则AB=6,
于是BD=4,OD=1.
如图,由射影定理得
CD2=AD·BD=8, 则 CD=2 2.
=
������������������������,
������������ ������������ ∴ ������������ = ������������.
而由题意知,AE=DE,
∴PQ=PB.
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专题三 平行线分线段的性质应用 平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线 段成比例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得 的线段所呈现的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计 算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法, 其中,平行线等分线段定理是线段的比为1的平行线分线段成比例 定理的特例.
在 Rt△OCD 中,
DE=
������������·������������ ������������
=
1×2 3
2 = 232,
则 CE= ������������2-������������2 =
因此 ������������
������������
=
8 3 1
=
8.
3
8-
8 9
=
8 3
,
������������
且
EB=2AE,AC
与
DE
交于点
F,则
△������������������的面积 △������������������的面积
=
_____.
解析:因为 ABCD 是平行四边形,所以 AB∥DC,且 AB=DC,
于是△CDF∽△AEF,且
������������ ������������
=
������������ ������������
线,且
BC=3PB,则
������������ ������������
=
______.
解析:由题意易知△PBA∽△PAC,
则得 ������������ = ������������ = ������������.
������������ ������������ ������������
所以 PA2=PB·PC,又 BC=3PB,
1 4
������������.
∴CF=
1 3
������������.
∵CF∥AB,∴
������������ ������������
=
������������ ������������
=
13.
∴BD=3CD,即 BC+CD=3CD.
∴BC=2CD.
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∴AE·AB=AC·AD=AH·AG.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
,
∴
������������∥BH.
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1(2015·湖北高考,理 15)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割
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证明:∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴PQ ∥AE.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,
∴△CPQ∽△CEA.∴
������������ ������������
=
������������������������.
同理可得
������������ ������������
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应用1如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC边的垂直平分线EM和 AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM.
求证:AM2=DM·EM.
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证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形, 所以CF=BD=AD. 而CF∥AD,连接AF, 所以ADCF是平行四边形,故CD=AF. 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC, 故△BCD∽△GBD.
.
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解析:∠C 与∠A 在同一个☉O 中,所对的弧都是 ������������ , 则∠C=∠A.
又 PE∥BC,∴∠C=∠PED. ∴∠A=∠PED. 又∠P=∠P,∴△PED∽△PAE,
������������ ������������ 则 ������������ = ������������,
所以 PA2=4PB2,即 PA=2PB,
故
������������ ������������
=
������������ ������������
=
1 2.
答案: 1
2
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2(2014·广东高考,理 15)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上,
专题二 利用相似三角形证明线段相等 证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三角形 的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法 证不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例 线段来解决.
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∴PE2=PA·PD.
又 PD=2DA=2,
∴PA=PD+DA=3, ∴PE2=3×2=6, ∴PE= 6.
答案: 6
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5(2012·课标全国高考,文22)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点, 直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.
提示:将
AM2=DM·EM
化为
������������ ������������
=
������������ ������������
,
只需证明△AMD∽△EMA
即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.
又∵∠BAM+∠MAC=90°,
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应用3如图,△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,以AB为边向外作 正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ ∥BC交AC于点Q.求 证:PQ=PB.
提示:要证明PQ=PB,可以通过证明有关的三角形相似得出比例 式,再由等式的性质证明其相等.
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∴∠E=∠BAM.
∵∠EMA=∠AMD,
∴△AMD∽△EMA.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
.
∴
������������2
=
������������·EM.
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应用 4 如图,在△ABC 中,M 是 AC 边的中点,E 是 AB 边上的一点,且
AE=
1 4
������������
,
连接������������并延长交������������的延长线于点������.
求证:
应用2如图,AD,CF是△ABC的两条高线,在AB上取一点P,使 AP=AD,再从点P引BC的平行线与AC交于点Q.
求证:PQ=CF. 提示:利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明.
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证明:∵AD,CF 是△ABC 的两条高线,
∴∠ADB=∠BFC.又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBF.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
.
又∵PQ
∥BC,
∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠ACB,
∴△APQ∽△ABC.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������
=
������������
−
������������
=
3
−
8 3
=
1 3
.
答案:8
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4(2013·陕西高考,理15(B))如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E
作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则
PE=
������������
=
2������������.
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证明:过点
C
作
CF∥AB
交
ED
于点
F.∴
������������ ������������
=
������������������������.
∵AM=CM,
∴CF=AE=
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专题一 证明等积线段或成比例线段 利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问 题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步: (1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似. (2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将 两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件.
=
3,
因此
△������������������的面积 △������������������的面积
=
������������ ������������
2
= 9.
答案:9
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3(2013·湖北高考,理 15)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为
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应用5如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC.求证:EG∥BH.
证明:∵DE∥BC,∴
������������ ������������
=
������������������������.
∵DH∥GC,∴
������������ ������������
=
������������������������.
,
即
������������ ������������
=
������������ ������������
.
∴
������������ ������������
=
������������ ������������.
又∵AP=AD,∴PQ=CF.
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