课件9：1.2.2 充要条件
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3．证明p是q的充要条件 证明：(1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. (2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p. 所以p是q的充要条件．
尝 试 应 用 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|. 答案：B
3．集合M∩N＝N是M∪N＝M的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M. 答案：C
4．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2. 答案：1<x<2
5．求关于x的二次方程x2－mx＋m2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件．
典 例 精 析 类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． (1)ห้องสมุดไป่ตู้：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根； (2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， B：c2＝(a2＋b2)r2.
2．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A. 答案：A
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图如图1所示．
迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
[点评] (1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”即q⇒p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p⇒q.
迁移体验3 求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0. 所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2. 由韦达定理，知x1x2＝1>0，所以x1与x2同号． 又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负实数， 即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
[分析] A是条件，B是结论． 若A⇒B，则A是B的充分条件， 若B⇒A，则A是B的必要条件， 借助方程和不等式及解析几何的知识来判断．
[点评] 对于涉及充要条件的判断问题，必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础，有些问题需要转化为等价命题后才容易判断．
类型二 充分、必要条件的传递性 [例2] 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ [分析] 解答此类题目最好根据题目叙述，画出关系简图，进行解答．
类型四 充要条件的探求 [例4] 已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件． [分析] 可以先求必要条件，再求充分条件，注意等比数列的定义及性质的应用．
[解] (1)先求必要条件： 当n＝1时，a1＝S1＝a＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(a≠0，且a≠1)， ∵数列{an}为等比数列，∴公比为a，且a－1＝a＋b. ∴b＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是b＝－1.
答案：A
类型三 充要条件的证明 [例3] 求证关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [分析] (1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性．(2)本题中的条件是ac<0，结论是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．(3)本题要借助于判别式和根与系数的关系的相关知识来证明．
(2)再求充分条件： 当b＝－1时，Sn＝an－1(a≠0，且a≠1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1. 当n＝1时，a1＝S1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1(a≠0，a≠1，n≥1)．
迁移体验4 (1)平面向量a，b共线的充要条件是( ) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个零向量 C．存在λ∈R，a＝λb D．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0 (2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
1.2.2 充要条件
1.会判断一个命题的充要条件； 2．会求一个命题的充要条件； 3．会证明p是q的充要条件.
新 知 视 界 1．充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
2．判断命题的充要关系的方法 (1)定义法． (2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈A⇔綈B的等价关系．对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
尝 试 应 用 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|. 答案：B
3．集合M∩N＝N是M∪N＝M的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：M∩N＝N⇔N⊆M⇔M∪N＝M. 答案：C
4．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2. 答案：1<x<2
5．求关于x的二次方程x2－mx＋m2－4＝0有两个不相等的正实根的充要条件．
典 例 精 析 类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． (1)ห้องสมุดไป่ตู้：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根； (2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， B：c2＝(a2＋b2)r2.
2．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A. 答案：A
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图如图1所示．
迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
[点评] (1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”即q⇒p；证明必要性时则以p为“已知条件”，即p⇒q.
迁移体验3 求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0. 所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2. 由韦达定理，知x1x2＝1>0，所以x1与x2同号． 又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负实数， 即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
[分析] A是条件，B是结论． 若A⇒B，则A是B的充分条件， 若B⇒A，则A是B的必要条件， 借助方程和不等式及解析几何的知识来判断．
[点评] 对于涉及充要条件的判断问题，必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础，有些问题需要转化为等价命题后才容易判断．
类型二 充分、必要条件的传递性 [例2] 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ [分析] 解答此类题目最好根据题目叙述，画出关系简图，进行解答．
类型四 充要条件的探求 [例4] 已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件． [分析] 可以先求必要条件，再求充分条件，注意等比数列的定义及性质的应用．
[解] (1)先求必要条件： 当n＝1时，a1＝S1＝a＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(a≠0，且a≠1)， ∵数列{an}为等比数列，∴公比为a，且a－1＝a＋b. ∴b＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是b＝－1.
答案：A
类型三 充要条件的证明 [例3] 求证关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [分析] (1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性．(2)本题中的条件是ac<0，结论是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．(3)本题要借助于判别式和根与系数的关系的相关知识来证明．
(2)再求充分条件： 当b＝－1时，Sn＝an－1(a≠0，且a≠1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1. 当n＝1时，a1＝S1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1(a≠0，a≠1，n≥1)．
迁移体验4 (1)平面向量a，b共线的充要条件是( ) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个零向量 C．存在λ∈R，a＝λb D．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0 (2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
1.2.2 充要条件
1.会判断一个命题的充要条件； 2．会求一个命题的充要条件； 3．会证明p是q的充要条件.
新 知 视 界 1．充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
2．判断命题的充要关系的方法 (1)定义法． (2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈A⇔綈B的等价关系．对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．