第六章 基于小波变换的故障诊断方法

从上例中可知，虽然傅里叶变换能够将信号的时域 特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和 频域进行观察，但却不能把两者有机地结合起来。
信号的时域波形中不包含任何频域信息；而其傅里叶 谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它 是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能， 完全不具备时域信息。
f

s
(x)

1 s
f (u) ( x u )du

s
其中，*表示卷积。
因此，Wf(s，x)关于x的傅里叶变换可以表示为：
Wˆ f (s,) fˆ()ˆ (s)
连续小波变换的定义
由定义13可知，小波变换Wf（s，x）是尺度s与 空间位置x的函数。小波变换通过ψ(x)在尺度上 的伸缩和空间域（时域）上的平移来分析信号。
短时傅里叶变换定义如下：
Fg f (, )
1 f (t)g (t )eit dt 2
其中，f(t)是待分析的信号； 函数 g()是 g() 的复共轭函数； g(t)是固定的紧支集函数，称为窗口函数。
随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移 动，使f(t)“逐渐”进行分析。
1992年，Daubechies的《小波10讲》系统论述 了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性， 介绍了离散小波变换和连续小波变换等。
到此，经典小波理论已基本成熟，1992年以后，在国 际上，重点转向小波的推广和应用。
在国内，由于对小波的研究起步较晚，20世纪90年 代以来，可以说小波的理论研究和应用研究几乎同时 开始。 1994年，形成国内的小波高潮。
定义8：
把希尔伯特空间（Hilbert space）中的可测的、 平方可积的两维函数构成的子空间记作：L2(R2)。
定义9： 函数f(x，y) ∈ L2(R2)的经典范数‖f(x，y)‖定义为：
f 2 f (x, y) 2 dxdy
定义10：
f(x，y) ∈ L2(R2)的傅里叶变换‖f(x，y)‖定义为：
从历史发展的角度来看，自从法国科学家J.Fourier 在1807年为了得到热传导方程简便解法而首次提出 著名的傅立叶分析技术以来，傅立叶变换首先在电 气工程领域得到成功应用，之后，傅立叶变换迅速 得到越来越广泛的应用，而且理论上也得到了深入 研究。
傅立叶变换最重要的意义是它引进了频率的概念， 他把一个函数展开成各种频率的谐波的线性叠加， 由此引出了一系列频谱分析的理论。 很多在时域中看不清的问题，在频域中却能一目 了然 。
1985年，Meyer构造了具有一定衰减性质的光滑
函数ψ，它的二进制伸缩与平移构成了L2(R)的规范
正交基，这一发展标志着小波热的开始。
1986年，Lemarie和Battle分别提出了具有指数 衰减的小波函数。
1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会 议。
1988年，Mallat与Meyer合作提出了多分辨分析 的框架。
第六章 基于小波变换的故障诊断方法
小波变换的基本原理 奇异性的检测 基于小波变换的原油管道泄漏检测
一、小波变换的基本原理
小波的由来
小波变换是由法国理论物理学家Grossmann与法国 数学家Morlet共同提出的。 小波分析是近20多年来发展起来的新兴学科，其 基础是平移和伸缩下的不变性，这使得能将一个信 号分解成对空间和尺度的独立贡献，同时又不丢失 原有信号的信息。
尺度s增大时，ψs在空间域（时域）上伸展，小波 变换的空间域分辨率降低； ψs(ω)在频域上收缩， 其中心频率降低，变换的频域分辨率升高。 反之，尺度s减小时， ψs在空间域（时域）上收 缩，小波变换的空间域分辨率升高； ψs(ω)在频 域上伸展，其中心频率升高，变换的频域分辨率降 低。
对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间 段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间 信息。 因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的 基函数来分析时变信号。
为了研究信号的局部特征，科学家们提出了一些对傅 里叶变换进行改进的算法，其中短时傅里叶变换 （Short Time Fourier Transform－STFT）就是 比较有代表性的一种。
上式中，各符号的含义：
g() 表示频域函数；
fg(())
表示对原函数f(t)的傅里叶变换； 表示对频域函数 g () 的傅里叶反变换。
从以上分析可知，经典的傅氏分析是一种纯频域 分析。
傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理 意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分 解成许多不同频率的正弦波的叠加和。
1988年，Daubechies构造了具有有限支集的正 交小波基。在美国Pure＆Appl.Math.发表一篇长达 87页的论文，被公认是小波分析的经典文献。
1989年，Mallat在多分辨率分析基础上，构造了 Mallat算法。为此，Mallat于1989年荣获IEEE论文 奖。
1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的 单正交小波函数。
小波与小波变换
定义12： 我们称满足条件
ˆ () 2
0 ˆ () 2
0

d

d C
的平方可积函数ψ(x)（即ψ(x) ∈L2(R)）为基本 小波，或小波母函数。
定义13： 函数f(x) ∈L2(R)的连续小波变换定义为：
Wf (s, x)
R表示实数集合。
若f(x)，g(x) ∈L2(R)，α，β 为常数，则αf(x) ＋βg(x) ∈L2(R)。因此，L2(R)构成了一个线 性空间。我们称其为平方可积函数空间。
定义2： 在L2(R)空间中的内积<f，g>定义为：

f , g f (x)g(x)dx
其中，g(x) 表示g(x)的共扼。
2
其中，权函数：
g () 1 f (t)eitdt
2
就是原来函数f(t)的傅里叶变换。
经过以上的变换，就将对 f (t) g() F 1{g ()}
的研究，转化为对权系数，即其傅氏变换

g () f () F{ f (t)} 的研究。
也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不知道这个 频率是在什么时侯产生的。 这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域 和频域的局部化矛盾。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处 理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。
如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、 电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。
可以说，短时傅里叶变换是具有单一分辨率的分析， 这对分析信号来说是很不利的。 因为，一般来说高频信号持续的时间比较短，低频信 号持续的时间比较长。 为了更好地分析信号，信号的高频成分需要窄的时间 窗，而信号的低频成分需要宽的时间窗。 而单一分辨率无法满足这种要求。
正是由于傅立叶分析理论存在上述缺陷，人们一直 在寻找更好的基来展开和描绘任意函数，经过多年 的探索和总结，逐渐发展成为小波分析理论。
小波变换是一种能够在时间－频率两域对信号进行 分析的方法，具有可以对信号在不同范围、不同的 时间区域内进行分析，对噪声不敏感，能够分析到 信号的任意细节等优点，在信号处理领域获得越来 越广泛的应用，被誉为“数学显微镜”。
小波分析和Fourier分析
傅立叶变换是一个十分重要的工具，无论是在一般 的科学研究中，还是在工程技术的应用中，它都发 挥着基本工具的作用。
1990年，Meyer等出版第一部小波系统性专著 《小波与算子》，共三卷。尤众、王耀东、邓东皋等 译校成中文本（共两册）。这套书详细研究了各种小 波基的构造，小波基与函数空间的关系，小波分析在 复分析、算子论、偏微分方程与分线性分析等方面的 应用。
1991年，邓东皋等在《数学进展》上发表“小波 分析”－国内第一篇小波论文。对国内小波的研究和 应用起了很大的推动作用。
短时傅里叶变换是一种折衷的信号时、频信息分析方 法，它是Dennis Gabor于1946年提出的。
短时傅里叶变换的基本思想是：通过给信号加一个小 窗，将信号划分为许多小的时间间隔，用傅里叶变换 来对每一个时间间隔内的信号进行分析，以便确定该 时间间隔内的频率信息。
它假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的这个短时间间 隔内是平稳的（伪平稳），并移动分析窗函数，使 f(t)g(t- τ )在不同的有限时间宽度内是平稳信号， 从而计算出各个不同时刻的功率谱。
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定义3： 在L2(R)空间，函数f(x)的范数‖f(x)‖定义为：
f (x) 2

f (x) f (x)dx
f (x) 2 dx


定义4： 在L2(R)空间，若：内积<f，g>＝0，则称函数f与 函数g正交。
定义5： 在L2(R)空间，两个函数f(x)与g(x)的卷积定义为：
为了得到更好的时频分析效果，希望δ和ε都非常小， 但是由海森堡测不准定理（Heisenberg Uncertainty Principle）可知， δ和ε是互相制约的， 两者不可能同时都任意小。
（事实上， δ·ε≥0.5，且仅当g(t)为高斯函数时，等 号成立。）
由此可见，短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了 标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也 存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后， 矩形窗口的形状就确定了， τ和ω只能改变窗口在相 平面上的位置，而不能改变窗口的形状。
fˆ (x ,y )

f (x, y)ei(xxy y)dxdy

定义11：
设f(t)为在R上定义的函数，我们称集合{t f (t) 0} 为函数f(t)的支集（即f(t) ≠0的点所构成的集合 的闭包）。
具有紧支集的函数就是在有限区间外恒等于零的函 数。
短时傅里叶变换 Fg f (, ) 大致反映了f(t)在时刻τ 时， 频率为ω 的“信号成分”的相对含量。
这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在
[ , ]、[ , ] 这一区域内的状态，
并把这一区域称为窗口， δ和ε分别称为窗口的时宽 和频宽，表示了时－频分析中的分辨率，窗宽越小则 分辨率越高。
小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思 想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。 它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征， 而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是 一种比较理想的信号处理方法。
小波变换理论发展过程中的重要阶段
1984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波 的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要 求，因而引入小波概念用于对信号进行分解。
从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波 及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。
例：假设一信号的主要频率成分是100Hz和400Hz， 如下图所示，通过傅里叶变换对其频率成分进行频域 分析。
上图为原始信号，从 图中看不出100Hz和 400Hz的任何频域信 息。 但从下图的信号频谱 分析中，可以明显看 出信号的频率特性。
因此，长期以来，Fourier分析理论不论在数学中 还是工程科学中一直占领着极其重要的地位。
傅立叶分析的实质在于将一个任意的函数f(t)表示 为具有不同频率的谐波函数的线性叠加。即一族 标准函数 {eit R} 的加权求和，从而将对原来函 数的研究转化为对这个叠加的权系数的研究：
f (t) 1 g ()eitd

f g(x) f (u)g(x u)du
定义6： 函数f(x)的傅里叶变换 fˆ ()定义为：
fˆ () f (x)eixdx
定义7：
对任意函数f(x)，其扩张函数fs(x)定义为：
fs (x)

1 s
f
(x) s
其中，s为尺度因子（scale factor），或简称为 尺度。
近十年来，小波理论一直在各个不同研究领域扮演着 重要的角色。主要集中在数学物理（如分形、混沌、 求解方程等）、图像与数据压缩、信号处理、神经网 络、故障诊断与检测、石油地质勘探等方面。
预备知识
定义1：
称满足

f (x) 2 dx 的函数f(x)为平方可积
函数，并把这类函数的集合记为L2(R)。其中，