高等数学第七章无穷级数.ppt

推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
时 ， 有固定变化趋势。
若 有上界，
若 无界，
定理 1. 正项级数 有界 .
第一节
第七章
无穷级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
收敛 部分和序列
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
二、比较审敛法
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且 对一切
有
那么
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因为对一切
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0, 从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时, 由于 lim qn
n
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
2). 若 q 1 , 则 当 q 1时, 当q 1时, 级数成为
因此级数发散 ;
因此 从而
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
同类范例：P281 例4
例3. 判定级数
的敛散性 .
解: 因为 1
4n3 3
1 4n3 3n3
而级数
收敛
根据比较审敛法可知, 所给级数收敛.
几何级数也是常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
例4. 判定级数
的敛散性 .
解: 因为
1 nn
1 2n
而级数
根据比较审敛法可知, 所给级数收敛.
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
定理２，结合前面的级数的二个性质，
1. 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 2. 级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.
ln
2
ln(n
1)
ln
n
ln(1
1 n
)
ln
2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
作业 P308
第二节
第七章
无穷级数的基本性质
性质1. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
性质1. 设有两个收敛级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若 p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
d
x
1 p 1
1 (n 1) p1
n
1
p1
考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (11) (11) 0 , 但
发散.
例2. 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
n sin 1 n
lim n 1 n n
1
n
而 1 发散, 根据比较审敛法的极限形式知 n1 n
sin
n1
1 n
发散
.
例6.
判别级数 ln1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)～
1 n2
解:
lim
n
ln 1
1
1 n2
lim
n
n2
ln 1
1 n2
n2
lim
n
n2
1 n2
1
而
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的通项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
收敛 ,
并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
发散 , 从而原级数发散 .
级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散. 同类范例：P278 例4
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
例3. 解:
判别级数
n1
1 n2
,根据比较审敛法的极限形式知
ln 1
n1
1 n2
收敛 .
三、比值审敛法
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
收敛。
定理3. (比较审敛法的极限形式)
设两正项级数 则有
满足
lim
n
un vn
l,
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证略：
例5.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
sin
1 n
～
1 n
解:
sin 1
lim
n
n 1
lim n
n un
例如, p – 级数
1
lim un1 n un
lim
n
(n1)
1 np
p
1
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
例7. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质1 表明收敛级数可逐项相加或减，例如：
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) 2ln n ln(n 1)
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln1 2ln 2 ln3] [ln 2 2ln3 ln 4] [ln3
2ln 4 ln5] [ln(n 1) 2ln n ln(n 1)]
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
1 (n 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
例10. 判断级数
的敛散性。
解:
n
un
n
na n n 1
由定理5可知：
当0 a 1时, 级数收敛 ; 当a 1时, 级数发散 ;
当a 1时, 根值审敛法失效，用其它方法讨论。
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
又如, 级数
作业 P308
内容小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Skn Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
例1. 设级数
的第n次部分和
Sn
n, 2n 1
判定级数
的敛散性。若数收敛，求它的和。
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
例9. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
lim n
n
un
,
则
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级 数, 且
lim n
n
un
,
则
证明提示:
lim n
n
un
,
对任意给定的正数
存在 N Z ,
n un
1 1
即
( )n un ( )n 1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
.
(2) 2n1 1 2 4 2n1 n1
公比 q 2, q 1, 2n1 . n1
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
解:
u1 u2
un
Sn
n 2n 1
的第n次部分和
u3 u4 un1 un2 Sn2 u1 u2
n2 2n 3
u1
u2
1 2
u1
u2
(n ）
所以级数
收敛，
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
数列极限性 质可转化为 级数性质
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变, 例如:
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
且
n1
1 3n
2n 5n
n1
1 3n
n1
2n 5n
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
性质2. 若级数