【数学】福建省莆田第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试(文)

福建省莆田第一中学2017-2018学年
高二上学期期末考试（文）
（满分 150分考试 120分）
一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1.命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( )
A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1
B ．∀x ∈R,2x －3>1
C ．∀x ∈R,2x －3≤1
D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1
2.已知双曲线的右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于
A. B. 3
C. 5
D.
3.若函数
满足
，则
的值为
A. 0
B. 2
C. 1
D.
4.已知点为抛物线
上一点若点 A 到该抛物线焦点的距离为 3，
则
A.
B. 2
C.
D. 4
5. 如图，把1,3,6,10,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是( )
A. 30
B. 29
C. 28
D. 27 6.“双曲线的渐近线互相垂直”是“双曲线离心率2 e ”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 7.设P 为曲线C ：
上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为，
则点P 横坐标的取值范围为
A.
B.
C.
D.
8.在一次实验中，测得的四组值分别是，则y 与x 之间
的线性回归方程为
A.
B. C.
D.
9.函数
在区间
内零点的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.设
分别是椭圆E ：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E 于
两点，
，若
，则椭圆E 的离心率为
A. B. C.
D.
11.函数
在
的图象大致是
A. B.
C. D.
12.已知抛物线的焦点为F ，设是抛物线上的两个动点，如满足
，则
的最大值 A. B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20分） 13.曲线
在点
处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是
__________________ ．
14.从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,则第)(*
N n n ∈个等式为
___________________________.
15.设满足以下两个条件的有穷数列{n a }称为n 阶“期待数列”),2(*N n n ∈≥： ①1230n a a a a +++
+=；②1231n a a a a ++++=.
命题P ：{n a }是单调递增等差数列；命题Q ：{n a }是7阶“期待数列”， 若为真命题Q P ∧，则
=_____________.
16.设函数()()()2
2
2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得()04
5
f x ≤
成立，则实数的值是____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为8．
Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ直线与椭圆相交于
两点，求弦长
．
18.（本小题满分12分） 已知
求的解集； 若，对
，恒有
成立，求实数x 的范围．
19.（本小题满分12分） 已知函数c 为常数
求
的值；
求函数的单调区间；
设函数，若函数
在区间
上单调递增，求实数c 的取值范围．
20.（本小题满分12分）
a
7
a x
为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：
（Ⅰ）试判断是否有的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；
附：
K2=
（Ⅱ）为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．
21.（本小题满分12分）
P，与抛物线的交点为Q，且．
求抛物线的方程；
如图所示，过F的直线l与抛物线相交于两点，与圆
相交于两点两点相邻，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求与的面积之积的最小值．
22.（本小题满分12分）
设，函数．
若无零点，求实数k的取值范围；
若有两个相异零点，求证：．
参考答案
1. C
2. A
3. A
4. C
5. C
6. A
7. D
8. D 9. B
10. D
11. B
12. B
13. ． 14.
2
)1()1()1(...16941)...321()
1()1( (169411)
211
21
n n n n n n n n n +-=-++-+-++++-=-++-+-----或
15.
4
1
4
1,61,121,0,121,61,41;4177=
---=a a 故 16. 5 17. 解：Ⅰ椭圆的中心在原点，焦点为
，
且长轴长为
，
故要求的椭圆的方程为．………………………5分
Ⅱ把直线代入椭圆的方程化简可得，
弦长
………………………10分．
18. 解：，
故时，，解得：， 时，，解得：， 时，
，解得：
，
故的解集为{x|或}………6分 因为，
当且仅当时等于号成立．………9分
由
解得x 的取值范围为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1413145-，………12分
19. 解：分
分
分
当 有
或，此时函数单调递增；
当
，有，此时函数
单调递减 单调递增区间为
和
单调递减区间为
………………………6分
在区间
上单调递增
恒成立………………………8分
设
，则
，……………………10分
故c 的取值范围是．………………………12分
20. 解：Ⅰ因为，
且，
所以没有
的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；………6分
Ⅱ用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，
则抽取女生为
人，
抽取男生为人；………8分
抽取的分别记为a、b、c、d、E、其中E、F为男生，
从中任取2人，共有15种情况：，
；
其中至少有1名是男生的事件为，
，有9种；
故所求的概率为．………12分
21. 解：由题意可知，丨QF丨，
由，则，解得：，
抛物线；………4分
设l：，
联立，整理得：，
则，………6分
由，求导，
直线MA：，即，
同理求得MD：，………8分
，解得：，则，
到l的距离，………10分
与的面积之积丨AB丨丨CD丨，丨AF丨丨DF丨，
，
，
当且仅当时取等号，
当时，与的面积之积的最小值1．………12分22. 解：函数的定义域为，
若时，则是区间上的增函数，
，
，函数在区间有唯一零点；
若有唯一零点；………3分
若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数k的取值范围是；………6分
证明：设的两个相异零点为，设，
，
，………7分
故欲证，只需证，
即，即证，
设，上式转化为，………9分
设，
，
在上单调递增，
，
．………12分。