2015-2016学年陕西省西安一中高一上学期期末数学试卷

2015-2016学年陕西省西安一中高一上学期期末数学试卷
一、选择题
1.已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）
A. ﹣3
B. ﹣6
C.
D.
2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）
A. 1个
B. 0个
C. 无数个
D. 1个或无数个
3.点（5，﹣3）到直线x+2=0的距离等于（）
A. 7
B. 5
C. 3
D. 2
4.有下列说法：
①梯形的四个顶点在同一个平面内；
②三条平行直线必共面；
③有三个公共点的两个平面必重合．
其中正确的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.在如图所示的空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则图中共有多少对线面平行关系？（）
A. 2对
B. 4对
C. 6对
D. 8对
6.两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）
A. 相离
B. 相交
C. 内切
D. 外切
7.已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）
A. 2
B. 4
C. 2
D. 2
8.下列说法正确的是（）
A. 底面是正多边形，侧面都是正三角形的棱锥是正棱锥
B. 各个侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
C. 对角面是全等的矩形的直棱柱是长方体
D. 两底面为相似多边形，且其余各面均为梯形的多面体必为棱台
9.将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）
A. ﹣3或7
B. ﹣2或8
C. 0或10
D. 1或11
10.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，给出下列结论：
（1）AC⊥BE；
（2）EF∥平面ABCD；
（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值；
（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．
其中错误的结论有（）
A. 0个
B. 1 个
C. 2个
D. 3个
11.如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）
A. 2
B. 6
C. 3
D. 2
12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+12
D. 60+12
二、填空题
13.若经过点（3，a）、（﹣2，0）的直线与经过点（3，﹣4）且斜率为的直线垂直，则a的值为________
14.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为________ cm3．
15.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．
16.三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC= ，则二面角A﹣PB﹣C的大小为________．
17.直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于________．
三、解答题
18.已知点m是直线l：x﹣y+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求V B﹣EFD．
20.已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
21.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别为PB，PC上的动点，求截面△AEF周长的最小值，并求出此时三棱锥P﹣AEF的体积．
答案解析部分
一、<b >选择题</b>
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】A
12.【答案】B
二、<b >填空题</b>
13.【答案】﹣10
14.【答案】32 π
15.【答案】3
16.【答案】60°
17.【答案】4
三、<b >解答题</b>
18.【答案】解：在方程x﹣y+3=0中，取y=0，得x=﹣．∴M（），
直线x﹣y+3=0的斜率为，则其倾斜角为60°，
直线l绕点M旋转30°，若是逆时针，则直线l′的倾斜角为90°，∴直线l′的方程为x=﹣；
若是顺时针，则直线l′的倾斜角为30°，
∴直线l′的斜率为，
∴直线l′的方程为y﹣0= （x+ ），即x﹣
19.【答案】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结EO，
因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，在三角形PAF中，EO是中位线，
所以PA∥EO，而EO⊂面EDB，且PA⊄面EDB，所以PA∥平面EDB
（2）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC
在底面正方形中，DC⊥BC，
所以BC⊥面PDC，而DE⊂面PDC，
所以BC⊥DE，
又PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，
所以DE⊥面PBC，而PB⊂面PBC，
所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD
（3）解：因为PD=DC=2，所以，，
因为，所以，
即，，
，DE= ，BF= = = ，所以V B﹣EFD= ×DE×EF×BF= × × = ．
20.【答案】解：设P，Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由OP⊥OQ可得：，即，
所以x1•x2+y1•y2=0．
由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+m=0
化简得：5y2﹣20y+12+m=0，
所以y1+y2=4，y1•y2= ．
所以x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2
=9﹣6×4+5× =m﹣3=0
解得：m=3
21.【答案】解：如图，沿棱AB，AC，PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图，
则AA1的长为△BEF的周长的最小值．
由平面几何知识可证△PAE≌△PA1F，于是PE=PF，
又PB=PC，故EF∥BC．
∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，
∴△ABE∽△PBC，
∴，
∴BE=2，
AE=A1F=4，PE=8﹣2=6．
由EF∥BC，有，
∴，
∴AA1=AE+EF+A1F=4+3+4=11，
∴△AEF周长的最小值是11，此时，即E，F分别在PB，PC的四等分点处．取BC中点G，连AG、PG，过P作PO⊥AG，垂足为O，则PO⊥平面ABC，
过A作AH⊥PG，垂足为H，则AH⊥平面PBC．
在Rt△PAO中，OA= ，
在Rt△PBG中，PG= ，又，
由等积原理可得，，
由于E、F是PB、PC的四等分点，
∴S△PEF= ，
∴= ．。