高考讲坛高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课后限时自测 理 苏教版-苏教版高三全册

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和
余弦定理课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练]
一、填空题
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.
[解析] 由正弦定理得3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝3
2，∴A ＝60°或120°.
[答案] 60°或120°
2．、(2014·某某高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．
[解析] 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4
sin B ，解得sin B ＝1，所
以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12
×42
－23
2
×23＝2 3.
[答案] 2 3
3．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
4
a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [解析] 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝3
2c .
又b －c ＝14a ，∴12c ＝1
4a ，即a ＝2c .由余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 2
2×32c 2＝－34c
23c 2＝－1
4
.
[答案] －1
4
4．(2013·某某高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos
C ＋c sin B cos A ＝12
b ，且a ＞b ，则∠B ＝________.
[解析] 由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C ·sin B cos A ＝1
2
sin B ，又因为 sin
B ≠0，所以 sin A cos
C ＋sin C cos A ＝1
2，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12
.因为a >b ，所以∠B
＝π6
. [答案]π6
5．(2013·某某高考改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形．
[解析] ∵b cos C ＋c cos B
＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 2
2ac
＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 2
2a
＝2a
2
2a
＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
2，即△ABC 是直角三角形．
[答案] 直角
6．如图3­6­1，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________.
图3­6­1
[解析] 在Rt △EAD 和Rt △EBC 中，易知ED ＝2，EC ＝5，在△DEC 中，由余弦定理
得cos ∠CED ＝ED 2＋EC 2－CD 22ED ·EC ＝2＋5－1
2×2×5
＝31010
.
∴sin ∠CED ＝
1010
. [答案]
1010
7．(2013·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin
A ＝5sin
B ，则角
C ＝________.
[解析] 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73
b ，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫73b 22×5
3
b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3
.
[答案]2π3
8．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值X 围是________．
[解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12＋22－c 22×1×2＝5－c 2
4
.
∵角C 是钝角，∴－1<cos C <0. ∴－1<5－c
2
4<0，∴5<c <3.
[答案]5<c <3 二、解答题
9．(2014·大纲全国卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B .
[解] 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C .
因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝1
2
.
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C
tan A tan C －1＝－1.即B ＝135°.
10．(2014·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，
c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ＝4
5，求△ABC 的面积．
[解] (1)由题意得
1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －3
2sin 2B ， 即
32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －1
2
cos 2B ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得
2A －π6＋2B －π
6＝π，
即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3
.
(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝8
5.
由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝3
5
，
故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋33
10，
所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋18
25
.
[B 级 能力提升练]
一、填空题
1．(2014·某某高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为
________．
[解析] 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →
|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面
积S ＝12|AB →|·|AC →
|sin π6＝12×23×12＝16
.
[答案]16
2．(2013·某某高考) 如图3­6­2，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠
BAC ＝
22
3
，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．
图
3­6­2
[解析] ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝22
3
， ∴在△ABD 中，有BD 2
＝AB 2
＋AD 2
－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2
＝18＋9－2×32×3×223＝3，
∴BD ＝ 3. [答案] 3 二、解答题
3．(2014·某某高考) 如图3­6­3，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－
714，sin ∠CBA ＝216
，求BC 的长．
图3­6­3
[解] (1)在△ADC 中，由余弦定理，
得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
，
故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝27
7.
(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－7
14.
所以sin ∠CAD ＝1－cos 2
∠CAD ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫2772
＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2
∠BAD ＝
1－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
7142＝32114.
于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )
＝sin ∠BAD ·cos∠CAD －cos ∠BAD ·sin∠CAD ＝
32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－714×217
＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝AC
sin ∠CBA
.
故BC ＝
AC ·sin α
sin ∠CBA
＝
7×32
216＝3.。