(典型题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为
（ ）
A ．(21):1+
B ．(221):1-
C ．2∶1
D ．5∶2 2．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．以上都不对 3．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，若将正方形AEFG 绕点A 旋转，则在旋转过程中，点,C
E 之间的最小距离为 （ ）
A ．3
B ．421-
C ．321-
D ．42 4．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =，F 是线段DE 上一点，连接AF 、CF ，4DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
6．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点．将ABG 沿AG 对折至AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3.5
D ．4
7．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，3AB =，2OA =，则AD 的长为（ ）
A ．5
B ．13
C ．10
D ．7
8．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10．下列四个命题中真命题是（）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形
11．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）
A．n B．n－1 C．（1
4
）n－1D．
1
4
n
12．如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（）
A．221B．421C．12 D．24
二、填空题
13．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是
_____cm．
14．如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=52，EC=7，
∠C=2∠DAE，则BD=__．
15．如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF
，则△OFF周长的最小值是________________；
16．如图，矩形ABCD 中AC 交BD 于点O ，120AOB ∠=，3AD =，则BD 的长为__________．
17．菱形ABCD 周长为52cm ，它的一条对角线长为10cm ，则另一条对角线长为__________cm ．
18．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
19．将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，D 、C 分别落在M 、N 的位置上，EM 与BF 交于点G ，若54EFG ∠=︒，则21∠-∠=___︒．
20．矩形的一条边长为2cm ，且两条对角线夹角为60︒，则矩形的周长为____．
三、解答题
21．已知矩形ABCD 中，点F 在AD 边上，四边形EDCF 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．
（1）在图1画出BCD △中DC 边上的中线BG ；
（2）在图2中画出线段AF 的垂直平分线．
22．如图，点E 为边长为3的正方形ABCD 的边CB 延长线上一点，1BE =，连接AE ，将ABE △绕着正方形的顶点A 旋转得到ADF ．
（1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数：
（2）连接EF ，求AEF 的面积：
（3）如图中，ADG 可以看作由BAE △先绕着正方形的顶点B 顺时针旋转90︒，再沿着BA 方向平移3个单位的二次基本运动所成，那么ADG 是否还可以看作由BAE △只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，若点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q 为点P 的“正轨点”，该正方形为点P 的“正轨正方形”如下图所示．
（1）已知点A 的坐标是（1，3）．
①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A 的“正轨点”的坐标是 ． ②若点A 的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A 的“正轨点”的坐标 ．
（2）若点B （1，0）的“正轨点”在直线y ＝2x ＋2上，求点B 的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C （m ，0），若直线y ＝2x ＋m 上存在点C 的“正轨点”，使得点C 的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m 的取值范围．
24．如图，在长方形ABCD 中，6AB CD cm ==，BC 10cm =，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：
（1）PC cm ．（用t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，ABP DCP ≅？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以v cm /秒的速度沿CD 向点D 运动，当点P 到达C 点或点Q 到达D 点时，P 、Q 运动停止，是否存在这样v 的值，使得ABP △与PQC △全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
25．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ．
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB ．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为：()0,3A 、()2,4B 、()3,2C 、()1,1D ，将正方形ABCD 沿y 轴对折得到正方形1111D C B A ．
（1）在图中作出正方形ABCD 关于y 轴的对称图形正方形1111D C B A ；
（2）请你直接写出点1A 、1B 、1C 、1D 的坐标；
（3）计算四边形11B BDD 的面积为___________．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．
【详解】 解：正方形ABCD ，
AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，
22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，
CF DG ⊥，
67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，
67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，
OCE ODG ∴∠=，
又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，
()DOG COE ASA ∴∆≅∆，
OG OE ∴=，
设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，
2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12
BCE S BE OC ∆=，OD OC =，
::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．
2．B
解析：B
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；
【详解】
如图，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，连接点E 、F 、G 、H ，
∵点E 、F 、G 、H ， 分别为各边的中点，
∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON 是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH 是矩形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；
【详解】
如图，连接CE 、AC ，
已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，
∴ AB=BC=4，AE=1，
由勾股定理得：222AC AB BC =+ ， ∴224442AC =+=
∵ CE≥AC -AE ，
∴CE≥421，
∴CE 的最小值为421，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD 最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．
【详解】
作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．
∵CD=2AD，
∴DD'=CD，
∴∠DCD'=∠DD'C．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED'是矩形，
∴DD'∥EC，D'E=AB=4，
∴∠D'CE=∠DD'C，
∴∠D'CE=∠DCD'．
∵∠DCB=60°，
∴∠D'CE=30°，
∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，
∴PC+PD的最小值为8．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P 点是解答本题的关键． 5．D
解析：D
【分析】
先证得DE 是△ABC 的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据90AFC ∠=︒证得AC=2EF 求出答案．
【详解】
∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=
12BC=8， ∵4DE DF =，
∴DF=2，EF=6，
∵90AFC ∠=︒，AE=CE ，
∴AC=2EF=12，
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
连接AE ，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ，在直角△ECG 中，根据勾股定理求出DE 的长．
【详解】
解：连接AE，
∵正方形ABCD中，6
AB=
∴AB=AD=BC=CD6=，∠B=∠D=90°，
由折叠的性质得：AB =AF6
=，∠B=∠AFG=90°，BG=GF ∴AD=AF，∠AFE=180°－∠AFG=90°=∠D
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
∵
AE AE AF AD
=
⎧
⎨
=
⎩
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，EC=6−x．
∵G是BC的中点
∴BG=CG=1
2
BC=3，
∴GF=BG=3
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2．
则DE=2
故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用．证明Rt△AFE≌Rt△ADE是解答本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据矩形的性质求得BD=4，利用勾股定理求出AD即可.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD=90，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，2222
437
BD AB
--=
故选：D.
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，熟记矩形的性质是解题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有
BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，
∵折叠正方形ABCD ，
∴△ADE ≌△FDE ，
∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；
∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴
BE =， ∴
AD AB AE ==
+，故②错误； 由图可直接判定③错误；
∵∠EFB=∠AOB=90°，
∴OA ∥EF ，
由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，
∴∠GFO=∠ABO=45°，
∴GF ∥AE ，
∴四边形AEFG 是平行四边形，
∵AE=AF ，
∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；
∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，
∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，
∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆=
=， ∴
OG =
∴2BE EF AE ===， ∴
2AB =，
∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；
∴正确的有三个；
故选B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．10．C
解析：C
【分析】
根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．
【详解】
A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；
B、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；
D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．
11．B
解析：B
【分析】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积
是正方形的面积的1
4
，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部
分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解．【详解】
如图作正方形边的垂线，
由ASA 可知同正方形中两三角形全等， 利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的14 ， 即是12214
⨯⨯=， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()111n n ⨯-=-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 12．A
解析：A
【分析】
连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122
OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出221AC =，求出菱形的面积，再由中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【详解】 解：连接AC 、BD ，如图所示：
菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，
5AB ∴=，122
OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，
22225221OA AB OB ∴=--
2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积1
1221442122
AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积12=菱形ABCD 的面积221；
故选：A ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
二、填空题
13．2【分析】连接BP 根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝AB•PE ＋BC•PE 把相应的值代入即可【详解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形
解析：2
【分析】
连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝
12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12
BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】
解：连接BP ，
∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2
∴AB ＝BC ＝
14
×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝
12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12
×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×
23
＝2（cm ）， 故答案为：2．
【点睛】
此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝1
2ABCD
S
菱形
是解题的关键．注意掌握辅助线
的作法和数形结合思想的应用．
14．13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出ABBE的长再利用勾股定理得出BD的长【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠C=90°AD∥BC∵∠C=2∠DAE∴∠DAE=45
解析：13
【分析】
直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，
∵∠C=2∠DAE，
∴∠DAE=45°，
∴AB=BE，
∵
，
∴AB=BE=5，
∵EC=7，
∴AD=BC=12，
∴．
故填：13．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB，BE的长是解题关键．
15．2+【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO∠AOB=90°对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF再根据AE=BF然后利用SAS证明△AOE和△BOF全等根据全等三角形对应角相等可得
解析：
【分析】
根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】
解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∵点E、F的速度相等，
∴AE=BF，
在△AOE和△BOF中，
OA BO OAE OBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOE ≌△BOF （SAS ），
∴∠AOE=∠BOF ，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠EOF=90°，
在Rt △BEF 中，设AE=x ，则BF=x ，BE=2-x ，
∴
， ∴当
x=1时，EF
． 由勾股定理得，OE=OF=2
EF =1． ∴
△OEF 周长的最小值
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，以及勾股定理等知识，熟记正方形的性质，找出三角形全等的条件是解题的关键．
16．6【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD 再求出∠AOD=60°然后判断出△AOD 是等边三角形根据等边三角形的性质求出OD 即可得出BD 的长【详解】解：在矩形ABCD 中OA=OC=ACOB
解析：6
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OD ，再求出∠AOD=60°，然后判断出△AOD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OD ，即可得出BD 的长．
【详解】
解：在矩形ABCD 中，OA=OC=
12AC ，OB=OD=12
BD ，AC=BD ， ∴OA=OD ，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOD 是等边三角形，
∴OD=AD=3，
∴BD=2OD=6；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质，证出△AOD 是等边
三角形是解题的关键．
17．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD中BD=10∴AC⊥BD∵菱形的周长为
52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这
解析：24
【分析】
根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．
【详解】
如图，菱形ABCD中，BD=10，
∴AC⊥BD，
∵菱形的周长为52，BD=10，
∴AB=52÷4=13，BO=5，
∴22
13512
∴AC=24．
则这个菱形的另一条对角线长为24cm．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
18．【分析】先证明四边形BDEC是菱形然后求出∠ABD的度数再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD然后求解即可【详解】∵CD与BE互相垂直平分∴四边形BD
解析：【分析】
先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
【详解】
∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD=
00 18070
2
=55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
19．36【分析】根据平行线的性质求得∠DEF 再根据折叠性质求得∠GED 然后利用平角性质和平行线的性质求得∠1和∠2进而可求得∠2﹣∠1的值【详解】∵在矩形中AD ∥BC ∴∠DEF=∠EFG=54º∠2=∠
解析：36
【分析】
根据平行线的性质求得∠DEF ，再根据折叠性质求得∠GED ，然后利用平角性质和平行线的性质求得∠1和∠2，进而可求得∠2﹣∠1的值．
【详解】
∵在矩形中，AD ∥BC
∴∠DEF=∠EFG=54º，∠2=∠GED
由折叠性质，得：∠GEF=∠DEF=54º
∴∠GED=2∠DEF=108º
∴∠2=108º，∠1=180º-∠GED=180º-108º=72º
∴∠2﹣∠1=108º﹣72º=36º
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，正确理解题意，熟练掌握平行线的性质和折叠性质，能够根据性质找到相等的角是解答的关键．
20．或【分析】由矩形的性质得出证明是等边三角形然后分AB=2cm 和AD=2cm 分别计算相应边长可得周长【详解】解：如图所示：四边形是矩形是等边三角形当AB=2cm 时OA=OB=2cm 则AC=BD=4cm
解析：4)cm +或4)cm 【分析】
由矩形的性质得出OA OB =，证明AOB ∆是等边三角形，然后分AB=2cm 和AD=2cm 分别计算相应边长，可得周长．
【详解】
解：如图所示：
四边形ABCD 是矩形， AB CD ∴=，AD BC =，90ABC ∠=︒，12OA AC =，12
OB BD =，AC BD =， OA OB ∴=，
60AOB ∠=︒，
AOB ∴∆是等边三角形，
∴当AB=2cm 时，OA=OB=2cm ，
则AC=BD=4cm ，
∴
，
则矩形ABCD 的周长2()443()AB BC cm =+=+，
当AD 2cm =时，
设AB=CD=x ，∵∠CAD=90°-60°=30°，
∴AC=BD=2x ，
则()22222x x =+，
解得：x=23， ∴AB=CD=23， 则矩形ABCD 的周长434()cm =+， 故答案为：443()cm +或434()cm +
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析 （2）见解析
【分析】
（1）（1）延长EF 交BC 于H ，连结DH ，交CF 于N ，连结AH ，FB 交于M ，过M 、N 作直线交DC 于G,连结BG 即可；
（2）连接AH ，
BF ，相交于M ，连接BE 并交AD 于N ，由四边形EDCF 是平行四边形，矩形ABCD ，可得EF=CD=AB ，EF ∥CD ∥AB ，可证△ANB ≌△FNE （AAS ），可得AN=FN
过M 、N 作直线l 即可．
【详解】
解：（1）如图，延长EF 交BC 于H ，连结DH ，交CF 于N ，连结AH ，FB 交于M 过M 、N 作直线交DC 于G
连结BG
如图1，线段BG 即为所求作；
（2）如图，连接AH，BF，相交于M，连接BE并交AD于N，
∵四边形EDCF是平行四边形，矩形ABCD
∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB
∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE
∴△ANB≌△FNE（AAS）
∴AN=FN
过M、N作直线l
如图2，直线l即为所求作．
【点睛】
本题考查的是利用无刻度的直尺作图，平行四边形的性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，三角形的中线的概念，线段垂直平分线，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，
△绕点O顺时针旋转90°得到ADG
BAE
【分析】
（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最S=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论；
后利用AEF
（3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论．
【详解】
△到ADF的旋转方向为逆时针旋转，
解：（1）由图易知：由ABE
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAD=90°
即旋转角为90°
综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；
BE
（2）∵正方形ABCD的边长为3，1
∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1
∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2∴
AEF
S=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF
=1
2
DC（AD＋EC）－
1
2
AD·DF－
1
2
EC·CF
=1
2
×3×（3＋4）－
1
2
×3×1－
1
2
×4×2
=10.5 1.54
--
=5；
（3）可以，
∵在BAE
△和ADG中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G
∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由BAE
△到ADG，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转
连接OA、OB，则∠BOA=90°
即旋转角为90°
综上：BAE
△绕点O顺时针旋转90°得到ADG．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键．
23．（1）①（-3，-1）或（2，2）；②（-1，1）；（2）
14
,
33
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或（-3，-4）；（3）
22
m
-<<且0
m≠
【分析】
（1）①根据题中“正轨点”的定义求解即可；
②根据题中“正轨点”的定义，写出一个点A的“正轨点”的坐标，验证即可；
（2）根据点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，列出方程组即可得出结果；
（3）分情况讨论①若H在C的右上方；②若H在C的左上方；③若H在C的左下方；
④若H在C的右下方，解得即可．
【详解】
解：（1）①由图得点A 与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A 的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；
②（-1，1），∵(3-1)×[]1(1)--=4，
∴（-1，1）符合要求；
（2）∵点B （1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，
∴221y x y x =+⎧⎨=-+⎩或221y x y x =+⎧⎨=-⎩
． ∴1343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或34x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点B 的“正轨点”的坐标是14,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
，（-3，-4） （3）设C 的“正轨点”为H(n,2n+m)，
①若H 在C 的右上方，此时m ＜0，
则n-m=2n+m ，n=-2m ，
∴H(-2m ，-3m)，
∵(-2m-m)(-3m-0)＜4，
∴9m²＜4，m²＜
49， ∴-2233
m <<， ∴203-
<<m ；
②若H 在C 的左上方，此时m ＞0，
m-n=2n+m ，3n=0,n=0，
∴H(0，m)，而C(m ，0)，
∴m×n ＜4，
∴-2＜m ＜2，
∴02m <<；
③若H 在C 的左下方，此时m ＞0，
m-n=0-(2n+m)，n=-2m ，
∴H(-2m,-3m)，而C(m ，0)，
∴(m+2m)(0+3m)＜4，
∴9m²＜4，m²＜49
， ∴-
2233
m <<， ∴203m <<； ④若H 在C 的右下方，此时m ＜0，
n-m=0-(2n+m)，n=0，∴H(0，m)，而C(m,0)，
∴(0-m)(0-m)＜4，m²＜4，
∴-2＜m ＜2，
∴-2＜m ＜0；
综上所述：22m -<<且0m ≠．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用，正方形的性质以及一次函数解析式，解题的关键是：运用分类讨论的思想解决问题．
24．（1）102PC t =-；（2）t=2.5，理由见解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.
【分析】
(1)根据S=vt 计算线段BP=2t ，利用BP+PC=BC 求PC 即可；
(2)根据三角形全等，得BP=PC=5，所以t=52
秒； (3)分BP CQ =和BA CQ =两种情形讨论求解.
【详解】
（1）点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒， ∴2BP t =，
∴102PC t =-．
（2）当 2.5t =时，ABP DCP ≅. 理由：当 2.5t =时， 2.525BP =⨯=
∴1055PC =-=
在ABP △和DCP 中
90AB DC B C BP CP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴()ABP DCP SAS ≅；
（3）①当BP CQ =时，AB PC =时，ABP DCP ≅；
6AB =，
∴6PC =，
∴1064BP =-=，
∴24t =，
解得2t =，
∴4CQ BP ==，
所以24v = ，
2v =；
②当BA CQ =， PB PC =时，ABP DCP ≅；
PB PC =， ∴152
PB PC BC ===， ∴25t =，
解得 2.5t =，
6CQ BA ==，
解得 2.4v =；
综上所述，当 2.4v =或者2v =时ABP △与DCP .
【点睛】
本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键. 25．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出DF ∥BE ，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF 为平行四边形，再加上条件∠DEB=90，即可判定矩形；
（2）根据矩形的性质求出∠BFC=90°，根据勾股定理求出BC ，求出AD=DF ，推出∠DAF=∠DFA ，求出∠DAF=∠BAF ，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，即DF ∥BE ，
又∵DF=BE ，
∴四边形DEBF 为平行四边形
又∵DE ⊥AB ，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF 为矩形；
（2）∵四边形DEBF 为矩形，
∴∠BFC=90°，
RtΔBCF 中 CF=9，BF=12，
∴
，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA ，
∵AB ∥CD ，
∴∠FAB=∠DFA ，
∴∠FAB=∠DAF ，
∴AF 平分∠DAB ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
26．（1）作图见解析；（2）1(0,3)A ，1(2,4)B -，1(3,2)C -，1(1,1)D -；（3）9．
【分析】
（1）先利用关于y 轴的对称的图形的特点作出正方形1111D C B A 即可；
（2）直接写成点1A 、1B 、1C 、1D 的坐标即可；
（3）直接利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图：正方形1111D C B A 即为所求；
（2）如图可得：1(0,3)A ，1(2,4)B -，1(3,2)C -，1(1,1)D -；
（3）四边形11B BDD 的面积为()12432
⨯+⨯=9．
．
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换和正方形的性质，正确画出正方形1111D C B A 成为解答本题的关键．。