《大学物理》矢量运算

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一、矢量和标量的定义及表示
1.标量:只有大小和正负而无方向的量,如质量、时间、 温度、功、能量。 表示:一般字母:m、t、T, 运算法则:代数法则
2.矢量:既有大小又有方向的量,如位移、加速度、电场强度
表示:粗体字母A 或 A ,其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
(3) A B Ax B x A y B y Az Bz
(4)引入矢量标积后,功就可以表示为 W F s Fcos s
3.矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘,其乘积称为矢积(叉积)
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面, 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示? 2. 矢量减法满足什么规律(请附图说明)?
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作?
5. 已知: a与b 夹角为45 , a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2




Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4.矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B,(如图)求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解:先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解,其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
E
A
F
B
F
c
(2)多边形法则: 平移后首尾相接。
(3)交换律 结合律
A B B A A ( B C ) ( A B) C
2.矢量的减法
A B A (- B)
B
C A B
A
B
矢量减法规律(自己总结)
矢量解析法把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量分矢量的量值都是标量方向沿xyz在同一坐标轴上的分矢量就可用代数法则运算可用正负的数值表示分矢量只有两个指向从而使问题简化
补充知识:矢量运算
目的及要求:
1.掌握矢量、矢量运算法则;
2.理解单位矢量的定义,掌握矢量解析法;
3.从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
矢量的非法运算
1 A
ln B
C
e
D
A 2B 15cm
10cm 2 B
*矢量与标量不能相等 !!!
Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。 这个过程的总效果相当于???
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C A B
2.矢量的积分 若
dA dAx dAy dAz i j k dt dt dt dt
x
z
dA B( t ) B x ( t ) i B y (t ) j B z ( t ) k dt
•环流 •通量

Ax i A y j Az k
C
Ay
α
Bx
B
Ax
By
x
故 而 所以
C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
(由图 可得出)
C Cxi C y j
C x Ax Bx
C y Ay B y
方向
2 2 大小 C C x Cy
arctan
A0 叫做单位矢量;
A
A 也叫做模。
1单位
矢量相等 :大小相等、方向相同的两矢量相等。 矢量平移后保持不变。
二、矢量的加减法(几何法)
1.矢量的加法
已知:A 、B ,求 A B
A
平行四边形法则 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线 就是合矢量
C A B
A B( t )d t B x ( t )d ti B y (t )d tj B z ( t )d tk
dl A A ds
Reviewing
1、矢量定义 不对!有 2、矢量表示法 方向且方 大小相同且 3、零矢量 1 、 向为任意 AB 长度为零 具有大小和 方向相同的 4、矢量相等 方向相同 2 、 方向 a 的矢量为 矢量叫相等 方向的量 或相反的 5、共线矢量 矢量(或同 3 、 a 零矢量 非零矢量 6、零矢量无方向对吗? 一矢量
Cy Cx
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。 如图: W Fcos s
F θ
s
1. 矢量的数乘
大小
B mA
mA
。 方向 m 0, B与A的方向一致;否则相反
2.矢量的点乘 标积
两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘,其乘积称为标积(点积)

A B AB cos
c
B

A B Ax Bx源自 i j k
Ay By
Az Bz
A ( B C ) A B A C
A
讨论:
(1)结合律 (2)
A B ( B A)
M r F

A A 0
Fsin r
r F 的方向

C


O

B Acos
Asin
大小: C

A 2 B 2 2 AB cos
Asin B Acos
arctan 方向:
矢量加法的其他法则 (1)多矢量相加时,可依次相加。
A B C E C F
c
A
B
r

F
(3) 力矩定义:
五、矢量的导数和积分
1.矢量的导数
t A2 ( t t ) 如图,当 A1 ( t )
对应A
y
A1 ( t )
当△t→0时,有
ΔA dA lim Δt 0 Δt dt
O
A
A2 ( t t )
可以证明
k
3
3. 矢量的正交分解(坐标表示)
y
在直角坐标系中,常用 i 、j 、k
Ay
A

β j α O
γ
i
表示x、y、z 方向的单位矢量。

A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
A
矢量减法规律: 起点相同的两个矢量的差,就是从减矢量的 末端指向被减矢量的末端的矢量。
三、矢量合成的解析法(矢量投影 ,代数运算,问题简化)
1.矢量的合成和分解
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成,反之叫矢量分解。 注:当一矢量分解为两分矢量时,有无限多组解,若先限定了两矢量的 方向,则解答才是唯一的。因此,常将一矢量进行正交分解。



6. 矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处? 试举例说明(比如加减、乘法、微分及积分等)。
作业5 、已知 a与b 夹角为45, 求 a 6, b 2 2 , a 2b a 3b



解: a 2b a 3b

a a 3a b 2a b 6b b a a a b 6b b
a ab cos 45 6b
2 2


36 6 2 2
2 2
68
24
练习题
矢量
已知 a 4, b 3 , 当且仅当k为何值时,
相互垂直? a kb 与 1 k a b
解: a kb 与 1 a b 相互垂直的充要条件是: k
1 (a kb ) ( k a b ) 0 1 即: k a a kb b 0 2 2 将a a a 16 和 b b b 9 代入 得: 16 9k 0 4 k

、 A 式中θ为两矢量 、 B的夹角。






A B 等于B 在

A 方向上的分量 B cos 与A 的模的乘积或等于 A 在 B 方向上

的分量 A cos 与 B 的模的乘积。
讨论:
标积满足交换律、分配律 (1) (2)特别注意: A A A2 0
A B B A A ( B C ) A B A C
2.矢量解析法 把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量,分矢量的 量值都是标量、方向沿x、y、z,在同一坐标轴上的分矢量就可 用代数法则运算(可用正、负的数值表示分矢量,只有两个指 向),从而使问题简化。 若A A A0,则A0叫做A方向上的单位矢量, 其大小 A0 1,方向与A的方向一致。
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