学而思七年级数学培优讲义全年级章节培优绝对经典

第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A ． －18%
B ． －8%
C ． ＋2%
D ． ＋8%
02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A ． －5吨
B ． ＋5吨
C ． －3吨
D ． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____
【例２】在－227
，π，0.033.
3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝
3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227
是分数0.033.
3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．
【变式题组】
01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置
15，－19，215，－138
，0.1．－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16
，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所
以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007
. 【变式题组】
01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .
02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则填____.
03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2
的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反
数，本题m 2
＝－4,m ＝－8 【变式题组】
01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
A ．5
B ． 15
C ． －5
D ． －15
02．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分
别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，
则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )
A ． － 1 ,2，0
B ． 0，－2，1
C ． －2，0，1
D ． 2，1，0
【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( )
A ． b ＜－a ＜a ＜－b
B ． –a ＜b ＜a ＜－b
C ． –b ＜a ＜－a ＜b
D ． –a ＜a ＜－b ＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝
0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴
标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．
【变式题组】
01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ . 03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|
的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab
的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a
－4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38
【变式题组】
01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．
02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )
A ． －4
B ． －1
C ． 0
D ． 4
03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值
【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．
【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O
∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m
∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0
∴m ＋n ＝O ①
又∵|2m －n －2|＝0
∴2m －n －2＝0 ②
由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49
【变式题组】
01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．
02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142
…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 1110
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A ． 6
B ． －6
C ． 16
D ． －16
03．在－227,π,8..
0.3四个数中，有理数的个数为( )
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )
A ． a －b
B ． b －a
C ． –a ＋b
D ． –a －b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A ． 0和6
B ． 0和－6
C ． 3和－3
D ． 0和3
06．若－a 不是负数，则a( )
A ． 是正数
B ． 不是负数
C ． 是负数
D ． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )
①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|
③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝b
A ． ①②
B ． ③④
C ． ①④
D ． ②③
08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )
A ． |b|＞a ＞－a ＞b
B ． |b| ＞b ＞a ＞－a
C ． a ＞|b|＞b ＞－a
D ． a ＞|b|＞－a ＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.
10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.
11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b a
的形式，试求a 、b 的值.
13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．
14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a －b|??当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况:
①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b －a ＝|a －b|；
②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －(－a)＝|a －b|； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －（－a ）＝|a －b|； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|＝|a －b|．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3
，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4
；
⑵数轴上表示x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1| ，
如果|AB|＝2，那么x ＝ 1或3；
⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，相应的x 的取值范围是 7
．
培优升级·奥赛检测
01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919
的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )
A ． 1998
B ． 1999
C ． 2000
D ． 2001
02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc |abc|
的所有可能的值为（ ）
A ． －1
B ． 1或－1
C ． 2或－2
D ． 0或－2
04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )
A ． －1
B ． 1
C ． 2m －3
D ． 3－ 2m
05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )
A ． 30
B ． 0
C ． 15
D ． 一个与p 有关的代数式
06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .
07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 .
08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组
09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|
＝ . 10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.
11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.
12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.
13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l 台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小并求出调出电脑的最少总台数.
第02讲 有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A 开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（ ）
A ．0.3元
B ．16.2元
C ．16.8元
D ．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相
加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）
A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；
⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－2.5）＋（－31
2）＋（－1
3
4）＋（－1
1
4）
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋31
4＋（－3
1
8）＋11
2
3＋（－0.25）
【例３】计算
1111 12233420082009 ++++
⨯⨯⨯⨯
L
【解法指导】依
111
(1)1
n n n n
=-
++
进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
1111111 (1)()()()
2233420082009 -+-+-++-
L
＝
1111111 1
2233420082009 -+-+-++-
L
＝
1
1
2009
-
＝
2008
2009
【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2的长方形，
接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1
4的正方形等分成两
个面积为1
8的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.
【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－a ＞b ＞－b
C ．b ＞a ＞－b ＞－a
D ．－a ＞b ＞－b ＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和
又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |
将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a
【变式题组】
01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞n |，则m ＋n ________ 0.
（填＞、＜号）
02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小
【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－218
11）
【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811
＝4.4＋1.6＋（33311＋218
11）＝6＋55＝61
【变式题组】
01．21511()()()()(1)3
2632--+---+-+ 02．434－（＋3.85）－（－31
4）＋（－3.15）
03．178－87.21－（－43221）＋15319
21－12.79
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少第n个数是多少
⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数
⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1
故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－1
2＝
1
2，2－
2
5＝
8
5，3－
3
10＝
27
10，4－
4
17＝
64
17…依你发现的规律，解答下列问题.
⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20
⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；
⑵当这个等式的右边等于2008时求n.
【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求1
2＋（
1
3＋
2
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4）＋（
1
5＋
2
5＋
3
5＋
4
5）＋…＋（1
50＋
2
50＋…＋
48
50＋
49
50）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝1
2＋（
1
3＋
2
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4）＋…＋（
1
50＋
2
50＋…＋
48
50＋
49
50）
则有S＝1
2＋（
2
3＋
1
3）＋（
3
4＋
2
4＋
1
4）＋…＋（
49
50＋
48
50＋…＋
2
50＋
1
50）
将原式和倒序再相加得
2S＝1
2＋
1
2＋（
1
3＋
2
3＋
2
3＋
1
3）＋（
1
4＋
2
4＋
3
4＋
3
4＋
2
4＋
1
4）＋…＋（
1
50＋
2
50
＋…＋48
50＋
49
50＋
49
50＋
48
50＋…＋
2
50＋
1
50）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)
2
⨯+
＝1225
∴S＝1225 2
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．（第8届希望杯试题）计算（1－1
2－
1
3－…－
1
2003）（
1
2＋
1
3＋
1
4＋…＋
1
2003＋
1
2004）－（1－1
2－
1
3－…－
1
2004）（
1
2＋
1
3＋
1
4＋…＋
1
2003）
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（）
A．可能是负数B．不可能是负数
C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数
02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）
A．两数一定都是正数B．两数都不为0
C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（）
A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃
07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则||||
2
x x
x
-
值为（）
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________
10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________
⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________
⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________
11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－31
4＋2.75－7
1
2⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－
23
10|
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5
⑴问收工时距离A地多远
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克
14．将1997减去它的1
2，再减去余下的
1
3，再减去余下的
1
4，再减去余下的
1
5……以此类
推，直到最后减去余下的
1
1997，最后的得数是多少
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与
众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如1
3＋
1
15来表示
2
5，用
1
4＋
1
7＋
1
28表示
3
7
等等.现有90个埃及分数：1
2，
1
3，
1
4，
1
5，…
1
90，
1
91，你能从中挑出10个，加上正、
负号，使它们的和等于－1吗培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）
12341415
24682830
-+-+-+
-+-+-+-
L
L等于（）
A．1
4B．
1
4
-
C．
1
2D．
1
2
-
02．自然数a、b、c、d满足
2
1
a＋2
1
b＋2
1
c＋2
1
d＝1，则3
1
a＋4
1
b＋5
1
c＋6
1
d等于（）
A．1
8B．
3
16C．
7
32D．
15
64
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（）
A．30 B．32 C．34 D．36
04．（第7届希望杯试题）若a＝19951995
19961996，b＝
19961996
19971997，c＝
19971997
19981998，则a、b、c
大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
05．
11111
(1)(1)(1)(1)(1)
1324351998200019992001
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯
L
的值得整数部分为
53433
3
2313（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）
A ．－22003
B ．22003
C ．－22004
D ．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________
08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋59
60）＝__________ 09．
1919197676
7676761919-
＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．
13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (1
1000－1)
14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.
第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.
4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析 【例１】计算
⑴11()
2
4⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713
()()(1)()
5
697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二
是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
解：⑴11111()()2
4248⨯-=-⨯=-
⑵
11111
()24248⨯=⨯=
⑶
11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=
⑷250000
⨯=
⑸
3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-
【变式题组】
01．⑴(5)(6)
-⨯-
⑵
11
()1
24
-⨯
⑶
(8)(3.76)(0.125)
-⨯⨯-
⑷(3)(1)2(6)0(2)
-⨯-⨯⨯-⨯⨯-
⑸
1111
12(2111)
42612
-⨯-+-
02．
24
(9)50
25
-⨯
3．
1111
(2345)()
2345
⨯⨯⨯⨯---
04．
111 (5)323(6)3
333 -⨯+⨯+-⨯
【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大
【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．
【变式题组】
01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）
A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0
02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.
03．(山东烟台)如果a＋b＜0，
b
a
>
，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0
C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算
⑴(72)(18)
-÷-
⑵
1
1(2)
3
÷-
⑶
13
()()
1025
-÷
⑷
0(7)
÷-
【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再
确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=
⑵
1733 1(2)1()1()
3377÷-=÷-=⨯-=-
⑶
131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-
⑷0(7)0÷-=
【变式题组】
01．⑴(32)(8)
-÷-
⑵
11
2(1)
36
÷-
⑶
1
0(2)
3
÷-
⑷
13
()(1)
78
÷-
02．⑴
1
293
3
÷⨯
⑵
311
()(3)(1)3
524
-⨯-÷-÷
⑶
53
0()
35
÷-⨯
03．113
()(10.2)(3) 245
÷-+-÷⨯-
【例４】（茂名）若实数a、b满足
a b
a b
+=
，则
ab
ab
＝___________.
【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.
解：当ab＞0，
2(0,0)
2(0,0)
a b
a b
a b
a b
>>
⎧
+=⎨
-<<
⎩；
当ab＜0，
a b
a b
+=
，∴ab＜0，从而
ab
ab
＝－1.
【变式题组】
01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）
A．正数 B．0 C．负数 D．非负数
02．若A．b都是非零有理数，那么
ab
a b
a b ab
++
的值是多少
03．如果
x y
x y
+=
，试比较
x
y
-
与
xy
的大小.
【例５】已知
223
(2),1 x y
=-=-
⑴求
2008
xy
的值；⑵求
3
2008
x
y的值.
【解法指导】
n
a表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂
都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵
223
(2),1 x y
=-=-
⑴当
2,1
x y
==-
时，
20082008
2(1)2
xy=-=
当
2,1
x y
=-=-
时，
20082008
(2)(1)2
xy=-⨯-=-
⑵当
2,1
x y
==-
时，
33
20082008
2
8
(1)
x
y
==
-
当
2,1
x y
=-=-
时，
33
20082008
(2)
8
(1)
x
y
-
==-
-
【变式题组】
01．（北京）若
2
(2)0
m n m
-+-=
，则
n
m的值是___________.
02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求()n n
x y
--
的值，这里n是正整数.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）
A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．
【变式题组】
01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（）A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×103
02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）
A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107亩
【例７】（上海竞赛）
【解法指导】找出
21005000
k k
-+的通项公式＝22
(50)50
k-+
原式＝
2222
22222222 1299 (150)50(250)50(50)50(9950)50
k
k
++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
-+-+-+-+
＝
2222
22222222
199298
[][] (150)50(9950)50(250)50(9850)50
++++⋅⋅⋅+ -+-+-+-+
＝
49222+1
++⋅⋅⋅+1442443个
＝99
【变式题组】
A ．31003
B ．31004
C ．1334
D ．11000
02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求11111111
2581120411101640---+--++
的值.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A ．互为相反数
B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C ．都是负数
D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）
A ．b ＜0，c ＞0
B ．b ＞0，c ＜0
C ．b ＜0，c ＜0
D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）
A ．ab ＞0
B ．ab ≥0
C ．a ＜0，b ＜0
D ．ab ＜0
05．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b
m cd m +-+
的值为
（ ）
A ．－3
B ．1
C ．±3
D ．－3或1
06．若a ＞1
a ，则a 的取值范围（ ）
A ．a ＞1
B ．0＜a ＜1
C ．a ＞－1
D ．－1＜a ＜0或a ＞1
07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a
b =-，
其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
08．若ab≠0，则
a b a b
+的取值不可能为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－2
09．1110(2)(2)-+-的值为（ ）
A ．－2
B ．(－2)21
C ．0
D ．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A ．2.89×107
B ．2.89×106
C ．2.89×105
D ．2.89×104
11．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.
12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.
13．如果2
x
y x
y
+
=，试比较
x
y -
与xy 的大小.
14．若a 、b 、c 为有理数且
1a b c
a b c
++=-，求
abc abc
的值.
15．若a 、b 、c 均为整数，且3
2
1
a b c a -+-=.求
a c c
b b a
-+-+-的值.
培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,
x y y z z x
y z z x x y ------中负数的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个或2个
02．计算
12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测2010
2
1-的个位数字是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．5 03．已知23
45
0ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）
A ．abcde ＜0
B ．ab2cd4e ＜0
C ．ab2cde ＜0
D ．abcd4e ＜0
04．若有理数x 、y 使得
,,,
x
x y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）
A ．12-
B ．0
C ．12
D ．3
2
05．若A ＝
248163264
(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）
A ．0
B ．1
C ．7
D ．9
06．如果
20012002
()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1
07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c ＞d
B ．a ＞b ＞d ＞c
C ．b ＞a ＞c ＞d
D ．a ＞d ＞b ＞c
08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abc
a b c abc
+++
的最大值为m，最小值为n，则
2005
()
m n
+
＝___________.
09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.
第一组：
1
5,3,4.25,5.75
3
-
第二组：
11 2,
315 -
第三组：
5 2.25,,4
12
-
10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少
11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：1
1，
1
2，
2
1，
1
3，
2
2，
3
1，
1
4，
2
3，
3 2，4
1，
1
5，
2
4，
2
3，
4
2，
5
1，
1
6，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)
＝
1
2001时，求m的值和这m个数的积.
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11
,,1,2,4,8,16,32,64
42填入
方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且
证明：⑴
11
,;
22
m n
A B
m n
++ ==
⑵
1
26
A B
-=
，求m、n的值.
第04讲整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数
.
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数. 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；
⑷是，它的系数为3
2
，次数为3.
【变式题组】
01．判断下列代数式是否是单项式
02．说出下列单项式的系数与次数
【例２】 如果与都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n 的值.
【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x 或y 或x 、y 等是有区别的，该题是针对x 与y 而言的，因此单项式的次数指x 、
y 的指数之和，与字母m 无关，此时将m 看成一个要求的已知数. 解：由题意得
【变式题组】
01．一个含有x 、y 的五次单项式，x 的指数为3.且当x ＝2,y ＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式. 02．（毕节）写出含有字母x 、y 的五次单项式______________________. 【例３】 已知多项式 ⑴这个多项式是几次几项式
⑵这个多项式最高次项是多少二次项系数是什么常数项是什么
【解法指导】 n 个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.
解：⑴这个多项式是七次四项式； (2)最高次项是
,二次项系数为－1，常数项是1.
【变式题组】
01．指出下列多项式的项和次数
⑴ (2)
02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项
⑴ (2)
【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值
【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.
解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数
为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.
【变式题组】
01．多项式是四次三项式，则m的值为（）
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
02．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.
03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.
【例５】已知代数式的值是8,求的值.
【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法. 解：由得由
（3
【变式题组】
01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－32
02．（同山）若,则的值为_______________.
03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.
【例６】证明代数式的值与m的取值无关.
【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.
证明：原式＝
∴无论m的值为何，原式值都为4.
∴原式的值与m的取值无关.
【变式题组】
01．已知,且的值与x无关，求a的值.
02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.
【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个
A．4 B．12 C．15 D．25
【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.
解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z
＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x ＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．
【变式题组】
01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.
02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.
演练巩固·反馈提高
01．下列说法正确的是（）
A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）
A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b
03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）
A．2 B．17 C．－7 D．7
04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）
A． B． C． D．
05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.
07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.
08．若,则代数式xy+mn值为________.
09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.
10．(河北)有一串单项式
(1)请你写出第100个单项式；
⑵请你写出第n个单项式.
11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.
12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少
13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.
14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.
A：计时制：0.05元/分
B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.
此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.
⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.
培优升级·奥赛检测
01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）
A．2007 B．2 C． D．－1
02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）
①②
③④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）
A． B． C． D．
04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m 米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 大小关系（ ） A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不能确定 05．（广安）已知
_____________.
06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a 元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b 元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.
07．已知
＝_____________.
08．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是
______________. 09．已知
＝______________.
10．（全国初中数学竞赛）设a 、b 、c 的平均数为M,a 、b 的平均数为N,又N 、c 的平均数为P ，若a ＞b ＞c ，则M 与P 大小关系______________.
11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CA 至点A1，B1，C1，使得A1B ＝2AB ，B1C ＝2BC ，C1A ＝2CA ，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________195 ． 12．（安徽）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有122种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；
当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有12，252五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2+3＝5. 观察图形，填写下表：
写出(n －1)×(n－1)和n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3)对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式. 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
钉子数(n ×n) S 值 2×2 2 3×3 2+3
4×4
2＋3＋( ) 5×5
( )
n =2
n =3
n =4
n =5。