第二章_直杆的拉伸和压缩

F
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN2 A2
20103 152 106
89106Pa 89MPa
2.1.3 应变的概念
绝对变形ΔL， 相对变形或线应变：
L
L
伸长时ε为正，缩短时ε为负
2.2 拉伸和压缩时材料的力学性能
2.2.1 拉伸和压缩试验及材料的力学性能
1、强度校核：
max
N A
2、设计截面：
A
N
3、确定许可载荷： NA
目录
塑性材料 ：以材料的屈服极限作为确定许用应力的基础。 变形特征：当杆内的最大工作应力达到材料的屈服极限时，沿 整个杆的横截面将同时发生塑性变形，影响杆的正常工作。 许 用内力的表示为：
对于一般构件的设计，ns规定为1.5到2.0 脆性材料 ：以材料的断裂极限作为确定许用应力的基础。 变形特征：直到拉断也不发生明显的塑性变形，而且只有断裂 时才丧失工作能力。许用内力的表示为：
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1 A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N 1 P A P B P C P D 0
N 1 5 P 8 P 4 P P 0N1 2P
N2
BC
D
PB 同理，求得AB、BC、 CD段内力分别为：
N2= –3P N3= 5P N4= P
2.1.3 拉伸和压缩时横截面上的应力
FN F
AA
应力集中：在截面突变处应力局部增大的 现象
应力集中系数：k=σmax/σ
例题 图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为
A
15×15的方截面杆。
1
解：1、计算各杆件的轴力。
（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
OA,比例极限σP, Q235-A 200MPa
E P E L AL
L PL EA
E 弹性模量，低碳钢 E=(2.0-2.1) ×105MPa
EA 抗拉刚度
横向线应变
d d1 d
dd
横向变形系数（或泊松比μ）
μ 或 μ
（2）屈服阶段、屈服极限σS
滑移线或剪切线 Q235-A σS=235MPa 名义屈服极限σ0.2：0.2%的塑 性应变所对应的应力
P Nmax28.1kN 3.35
同理，钢索1允许的最大拉力是： Y ma x A 1 2.5 9 kN
代入（b）式得相应的吊重为：
P Tmax 17kN 1.74
比较，可知起重机的许可吊重应为17kN。
例题
D=350mm，p=1MPa。螺栓 [σ]=40MPa，求直径。
解： 油缸盖受到的力
pD
塑性材料和脆性材料机械性能的主要区别
塑性材料在断裂时有明显的塑性变形；而脆性 材料在断裂时变形很小；
塑性材料在拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极 限和弹性模量都相同，它的抗拉和抗压强度相 同。而脆性材料的抗压强度远高于抗拉强度， 因此，脆性材料通常用来制造受压零件。
2.3 拉伸和压缩的强度条件
4、许可载荷
FN1F/sin2F
F F i m 5 i.6 n k 71 N 7 m 6 5 in .. 6 k 7N k
F N2F N 1co s 3F
感谢您的关注
THANK YOU
F π D2 p 4
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为
FN
F 6
π D2p 24
根据强度条件
max
FN A
得
A
FN
即
d 2
4
D2 p
24
螺栓的直径为 d D 6 2p 6 0. 3425 01 16 60 02.2 6103m22.6mm
例题
AC为50×50×5的等边角钢，
AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。
压缩212内力的概念内力的概念构件在外力作用下发生构件在外力作用下发生变形变形其内部各质点其内部各质点间的相对位置相对位置要发生要发生改变改变伴随这种改变各伴随这种改变各质点间原有的质点间原有的相互作用力相互作用力也必然发生改变
第二章_直杆的拉伸和压缩
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轴向拉压的概念及实例
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆 的轴线重合。
§2-3 拉伸和压缩时的内力 截面法
m
内力的求解—截面法
F
F
m
切: 假想沿m-m横截面将杆切开
F FN
FN
留: 留下左半段或右半段
代: 将抛掉部分对留下部分
F 的作用用内力代替
Fx 0 FN F0 平: 对留下部分写平衡方程求
FN F
出内力的值
目录
轴力：横截面上的内力
由于外力的作用线与杆件 的轴线重合，内力的作用 线也与杆件的轴线重合。 所以称为轴力。
试
件 和
常
实
温
验 条
、 静
件
载
低 碳 钢 的 拉 伸
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
P — 比例极限 E
e — 弹性极限 E tan
e
2、屈服阶段bc（失去抵
b
f
抗变形的能力）
b
s — 屈服极限
e P
a c s
3、强化阶段ce（恢复抵抗
变形的能力）
b — 强度极限
o
4、局部颈缩阶段ef
（1）弹性变形阶段、虎克定律
安全系数和许用应力
工作应力 N A
塑性材料 lim（ S 0.2）
极限应力 脆性材料 lim（ bt b） c
lim n —安全系数 —许用应力。
n
塑性材料的许用应力 s ns 脆性材料的许用应力 bt nb
n0s.2
nbbc
强度条件
max
N A
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
对于一般构件的设计，nb规定为2.0到5.0
例 矩形截面的阶梯轴，AD段和DB段的横截面积为 BC段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之 比h/b=1.4，材料的许用应力[σ]=160MPa。选择 截面尺寸h和b
A1N 11.875 10 4m2
A3 N 31.25 10 4m2
A 1:A 32:1
拉
伸
时
的 力
0.2
学
性
o
能
0.2%
目录
塑
性
材
料
（
低
碳
钢
）
的
压
缩 p — 比例极限 e — 弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
S — 屈服极限 E --- 弹性模量
bt
脆性材料的抗拉与
o 抗压性质不完全相同
脆
性
材 料
bc
（
铸
铁
）
的
压
缩
压缩时的强度极限远大 于拉伸时的强度极限
bcbt
A 12A 32 .5 0 1 4 0 m 2
b 1 b 2 1 .4 m 3 h m 1 h 2 1 .7 m 8 m
由h/b=1.4
b39.5mm h31.3 3 mm
例 悬臂起重机撑杆AB为中空钢管，外径105mm，内径 95mm。钢索1和2互相平行，且设钢索1可作为相当于 直径d=25mm的圆钢计算。材料[σ]=60MPa，确定许 可吊重。
X 0 T 1 T 2 P s3 in 0 0 N c1 o0 5 s0 Y 0 N s1 i0 n 5 P c3 o0 0 s0
钢索2的拉力T2=P，带入方程组解 N3.35P
(a)
得：
T1 1.74P
(b)
而撑杆AB允许的最大轴力为：
N ma x A 9.2 4 kN
带入（a）式得相应的吊重为：
PC
PD
N3
C
PC N4
轴力图如右图 N
2P + –
3P
5P
+
P
D PD D PD
x
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
8kN – 3kN
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;
（3）强化阶段、强度极限σb
Q235-A σb =375-500MPa
0
两个塑性指标:
延伸率:
l1 l0 100%
l0
截面收缩率: A0 A1 10% 0
A0
低碳钢的 2— 03% 0
铸铁：1%
低碳钢：60%
5%为塑性材料 5%为脆性材料
目录
卸载定律及冷作硬化
e
d
b
b
e P
a c s
即材料在卸载过程中 应力和应变是线性关系， 这就是卸载定律。
x
2、绘制轴力图。
2.1.3 拉伸和压缩时横截面上的应力
问题提出：
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
应力的概念：由外力引起的内力集度。
平均应力：
P pm A
应力单位：Pa或MPa
1 M P 16 a 0 P a1 N /m2m
对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力 应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现 象，试件突然拉断。延伸率约为0.5%。为典
型的脆性材料。
b
o
σb—拉伸强度极限。它是衡量脆性材料（铸 铁）拉伸的唯一强度指标，为205MPa。
对于没有明
显屈服阶段的塑
其 它
性材料，用名义 屈服极限σ0.2来
材
表示。
料
1kg/cf m 2190.8 m N 02m0.1MPa
应力：
p lim P A0 A
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
位于截面内的应力称为“剪应力” (ShearБайду номын сангаасStress)。
F
F
F
现象：横向线1-1与2-2仍为直线，且仍然垂直于杆件轴线，只 是间距增大，分别平移至图示1‘-1’与2‘-2’位置。 平面假设：杆件变形前为平面的横截面在变形后仍为平面，且 仍然垂直于变形后的轴线 推论：当杆件受到轴向拉伸(压缩)时，自杆件表面到内部所有 纵向纤维的伸长(缩短)都相同 结论：应力在横截面上是均匀分布的(即横截面上各点的应力大 小相等)，应力的方向与横截面垂直，即为正应力
试画出图示杆件的轴力图。
A
F1 F1 F1
FNkN
1 B 2 C 3D
解：1、计算各段的轴力。
1 F2
2 F3 3 F4 AB段
FN1
Fx 0
FN1F110kN
FN2
F2 FN3
10
10
BC段
Fx 0 FN2F2 F1
FN2 F1F2
F4
102010kN
25 CD段
Fx 0
FN3F425kN
F11 2A11 212010624.8104
57 .6103N57 .6kN
3、根据水平杆的强度，求许可载荷
FN1
FN 2 α
查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2
FN2A2
y
A
x
F213A21.7 131 22106021.2 7 41 0 4
17.7 6130N17.7k 6N
F
45° B 用截面法取节点B为研究对象
C
2
FN1
F
y
X0 F N 1co4s5 F N20
F N 2 45° B x
Y0 FN1si4 n5F0
F
FN1 28.3kN FN2 20kN
FN1 28.3kN FN2 20kN
A
2、计算各杆件的应力。
1
45° B
C
2
FN1
F
y
F N 2 45° B x
N N<0
2、轴力图—— N (x) 的图象表示，即用图线表示的不同横截 面上轴力的变化规律。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
强度计算提供依据。
x
[例] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、 8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
轴力正负号：拉为正、压 为负。
轴力图：轴力沿杆件轴线 的变化。
例如： 截面法求N。
截开： 代替：
平衡：取左半段时，可得: 取右半段时，则有：
轴力及轴力图
1、轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
轴力的正负规定:
N
N
N>0
N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N N 与外法线反向,为负轴力(压力)
f
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
反映材料力学性能的主要指标：
强度性能：抵抗破坏的能力，用σs和σb表示 弹性性能：抵抗弹性变形的能力，用E表示 塑性性能：塑性变形的能力，用延伸率δ和截面
收缩率ψ表示
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸 缩，伴随横向 缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
拉伸
F
F
F
压缩
F
2.1.2拉伸和压缩时横截面上的内力
内力的概念 构件在外力作用下发生变形，其内部各质点
间的相对位置要发生改变，伴随这种改变，各 质点间原有的相互作用力也必然发生改变。 这种由于外力作用而引起的各质点间相互作 用力的改变量，称为“附加内力”，简称内力。
求F。
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平 杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象
Fx 0 FN1co sFN20
FN1
FN 2 α
y
Ax
Fy 0 FN1sinF0
FN1F/sin2F
F N2F N 1co s 3F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷
F
F N 1A 1
查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2