2018版高考一轮总复习数学(理)习题第7章 立体几何7-4含答案

(时间:40分钟）
1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α,“m∥β"是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β错误!α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α,所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β"的必要而不充分条件．2．设l，m，n表示不同的直线，α,β，γ表示不同的平面,给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m,γ∩α＝n,则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是( ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案B
解析对①,两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②,直线l可能在平面α内，故②错误;对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点,故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上,①④正确，故选B。

3．下列命题正确的是（)
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
答案C
解析若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交，所以A错；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行,也可
以相交，故D错；故选项C正确．
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过Β点的所有直线中（)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
答案A
解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线,故选A。

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a，M，N分别为A1B 和AC上的点，若A1M＝AN＝错误!,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ）
A．相交B．平行
C．垂直D．不能确定
答案B
解析连接CD1，在CD1上取点P,使D1P＝错误!，
∴MP∥BC，PN∥AD1.
∵AD1∥BC1，∴PN∥BC1.
∴MP∥面BB1C1C，PN∥面BB1C1C.
∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.
6．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m,n⊂γ,且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
可以填入的条件有( ）
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
答案C
解析由面面平行的性质定理可知①正确；当n∥β，m⊂γ时,n 和m在同一平面内,且没有公共点，所以平行，③正确．7．设a，b为不重合的两条直线,α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若a⊂α,b⊄α，a，b是异面直线，那么b∥α;
②若a∥α且b∥α，则a∥b；
③若a⊂α,b∥α，a，b共面,那么a∥b;
④若α∥β，a⊂α，则a∥β.
上面命题中，所有真命题的序号是________．
答案③④
解析①中的直线b与平面α也可能相交，故不正确；②中的直线a，b可能平行、相交或异面，故不正确;由线面平行的性质得③正确；由面面平行的性质可得④正确．
8．如图所示，在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD，△BCD
的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABC、平面ABD
解析
连接AM并延长，交CD于E,连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,连接MN,由错误!＝错误!＝错误!，得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
9．
如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°,AB＝2，DE＝EF＝1。

(1)求证:BC∥EF;
(2)求三棱锥B－DEF的体积．
解（1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF,∴BC∥平面ADEF.
又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，
∴BC∥EF。

（2)过点B作BH⊥AD于点H.
∵DE⊥平面ABCD,
BH⊂平面ABCD，
∴DE⊥BH.
∵AD⊂平面ADEF，
DE⊂平面ADEF，
AD∩DE＝D，
∴BH⊥平面ADEF.
∴BH是三棱锥B－DEF的高．
在Rt △ABH 中，∠BAD ＝60°,AB ＝2,故BH ＝错误!。

∵DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
∴DE ⊥AD 。

由（1）知BC ∥EF ,且AD ∥BC ，
∴AD ∥EF ，∴DE ⊥EF 。

∴三棱锥B －DEF 的体积
V ＝13
×S △DEF ×BH ＝错误!×错误!×1×1×错误!＝错误!。

10．如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，D 是BC 的中点．
(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ；
（2)求点A 1到平面AB 1D 的距离．
解 (1）证明：连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 。

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴四边形ABB1A1是平行四边形，
∴O是A1B的中点．
又D是BC的中点，
∴OD∥A1C，
∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D。

(2)由（1）知O是A1B的中点，
∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC,
∴平面BCC1B1⊥平面ABC.
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D.
设点B到平面AB1D的距离为d，
∵V B
1－ABD ＝V B－AB
1D
，
∴S△ABD·BB1＝S△AB
1D
·d，
∴d＝错误!＝错误!＝错误!
＝错误!，
∴点A1到平面AB1D的距离为错误!。

（时间：20分钟）
11．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( ）
A．m∥β且l1∥αB．l1∥α且l2∥α
C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2
答案D
解析m∥l1，且n∥l2⇒α∥β,但α∥β错误!m∥l1且n∥l2，∴“m ∥l1，且n∥l2”是“α∥β"的一个充分不必要条件．
12．已知m,n是两条不同直线,α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面,则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案D
解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故C错误;D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为________cm2。

答案错误!
解析如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF,其中F为AC与BD的交点，
∴E为DD1的中点，
∴S△ACE＝错误!×错误!×错误!＝错误!（cm2)．
14．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝错误!，AB＝1，CD＝3，M为PC上一点,且MC＝2PM.
（1)证明:BM∥平面PAD；
（2)若AD＝2,PD＝3,求点D到平面PBC的距离．
解
(1)证明：如上图,过点M作ME∥CD，交PD于点E，连接AE。

因为AB∥CD,故AB∥EM。

又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ,
故错误!＝错误!＝错误!，解得EM ＝1.
由已知AB ＝1,得EM 綊AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM ∥AE ，
又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ,
所以BM ∥平面PAD 。

（2)连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝π3，
可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos∠BAD ＝3，
即DB ＝ 3.
因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形,
且∠ABD ＝错误!。

因为AB ∥CD ,故∠BDC ＝∠ABD ＝错误!。

因为DC ＝3,故BC ＝错误!＝2错误!.
由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，
故PB ＝错误!＝2错误!，PC ＝错误!＝3错误!,
则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，
其面积为S △PBC ＝错误!·PC ·错误!＝错误!×3错误!× 错误!＝错误!。

设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三棱锥D －PBC 的体积为V
＝错误!·S△PBC·h＝错误!h.
三棱锥D－PBC
而直角三角形BDC的面积为
S△BDC＝错误!·DC·DB＝错误!×3×错误!＝错误!，
三棱锥P－BDC的体积为
V三棱锥P－BDC＝错误!·S△BCD·PD＝错误!×错误!×3＝错误!.
因为V三棱锥D－PBC＝V三棱锥P－BDC，即错误!h＝错误!,故h＝错误!。

所以点D到平面PBC的距离为错误!.。