青海省海东市平安一中2015-2016学年高一上学期9月质检数学试卷 含解析

2015-2016学年青海省海东市平安一中高一（上）9月质检数学
试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=｛1，2，3，4}，集合A={1，2，4｝，B={2，3，4｝,则∁U（A∩B）=(）A．{2，4｝B．｛1,3}C．｛1，2,3，4}D．∅
2．设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x｜1＜x＜3},则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．｛x｜﹣2≤x＜1}B．｛x｜﹣2≤x≤2｝C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2｝
3．设A、B是两个非空集合,定义A×B={x｜x∈A∪B且x∉A∩B｝，已知A={x|y=}，
B=｛y｜y=2x，x＞0}，则A×B=(）
A．［0，1］∪（2，+∞) B．［0，1）∪（2，+∞）C．［0，1］D．［0，2］
4．已知函数y=f（x）的定义域为(﹣1,3），则在同一坐标系中，函数f（x）的图象与直线
x=2的交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．0个或多个
5．的值是（）
A．B．C．D．
6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x)，且在［0，1］上单调递增，设a=f（3），b=f（1.2），c=f（2），则a，b,c大小关系是（）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．已知函数f（x）=，则f（3)的值等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
8．已知函数f（x）的定义域是（0,1），那么f(2x)的定义域是（）
A．（0,1）B．(﹣∞，1) C．（﹣∞，0）D．(0，+∞）
9．f (x）=+的奇偶性是（)
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
10．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（)
A．B．C．D．
11．已知f （x）=ax5+bx﹣+2，f （2）=4，则f(﹣2）=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知函数y=f （x）是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：
①y=f（|x|)为偶函数；
②y=f(x)+f（﹣x）为非奇非偶函数；
③y=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数；
④y=［f(x）]2为偶函数．
其中正确判断的个数有（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分。

13．满足｛0，1，2}⊊A⊆{0，1,2，3，4，5｝的集合A的个数是个．
14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．
15．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1)．若f（a）=﹣2,则实数a=．16．已知是（﹣∞，+∞)上的减函数,则a的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．已知集合A=｛x｜(x﹣2）［x﹣（3a+1）]＜0｝，B={x|2a＜x＜a2+1}．
(Ⅰ)当a=2时,求A∩B;
(Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．
18．已知+=3，求的值．
19．求函数y=的定义域、值域和单调区间．
20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如
果对于0＜x＜y,都有f(x）＞f（y），
(1)求f（1）；
（2）解不等式f(﹣x）+f(3﹣x）≥﹣2．
21．设a是实数，f(x）=a﹣(x∈R）
（1）已知f(x）是奇函数，求a
（2）用定义证明：对于任意a，f （x)在R上为增函数．
22．对定义在[0，1］上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈［0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0,x1+x2≤1时,总有f（x1+x2）≥f（x1)+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1］上的函数．
（1）试问函数g(x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．
2015—2016学年青海省海东市平安一中高一（上）9月
质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U={1，2，3,4｝，集合A=｛1,2，4｝，B={2,3，4｝，则∁U(A∩B）=(）A．｛2，4}B．｛1，3｝C．{1,2，3，4}D．∅
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由A与B,求出两集合的交集，根据全集U求出交集的补集即可．
【解答】解：∵A=｛1，2，4}，B={2，3，4}，
∴A∩B=｛2,4}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∩B）=｛1，3｝．
故选B
2．设全集U是实数集R，M={x｜x2＞4},N=｛x｜1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是()
A．｛x|﹣2≤x＜1}B．{x｜﹣2≤x≤2｝C．｛x｜1＜x≤2} D．｛x|x＜2}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的,即N∩C U M．【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩C U M,
又C U M={x|x2≤4｝={x|﹣2≤x≤2｝，
∴N∩C U M={x｜1＜x≤2｝．
故选：C．
3．设A、B是两个非空集合,定义A×B={x｜x∈A∪B且x∉A∩B｝，已知A=｛x|y=}，
B={y|y=2x，x＞0}，则A×B=()
A．［0，1］∪(2,+∞） B．［0，1)∪（2，+∞）C．［0,1]D．［0,2]
【考点】函数的定义域及其求法;交、并、补集的混合运算；函数的值域．
【分析】根据根式有意义的条件,分别求出结合A和B,然后根据新定义A×B={x|x∈A∪B 且x∉A∩B｝，进行求解．
【解答】解：∵集合A、B是非空集合,定义A×B={x｜x∈A∪B且x∉A∩B｝,
A=｛x｜y=｝={x|0≤x≤2｝
B={y|y=2x,x＞0}={y｜y＞1｝
∴A∪B=[0，+∞），A∩B=(1，2]
因此A×B=［0，1]∪（2，+∞）．
故选A．
4．已知函数y=f（x）的定义域为（﹣1,3），则在同一坐标系中，函数f（x）的图象与直线x=2的交点个数为(）
A．0个B．1个C．2个D．0个或多个
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】直接利用函数的定义，判断选项即可．
【解答】解：函数y=f（x)的定义域为（﹣1,3)，则在同一坐标系中，函数f（x）的图象与直线x=2的交点个数为1个．
故选：B．
5．的值是（)
A．B．C．D．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【分析】直接利用指数的运算法则，求出表达式的值即可．
【解答】解：因为==．
故选B．
6．定义在R上的偶函数f(x）满足f（x+2）=f（x），且在[0，1］上单调递增，设a=f（3)，b=f(1.2）,c=f（2），则a，b,c大小关系是（）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由条件可得函数的周期为2，再根据a=f(3）=f（﹣1)=f（1），b=f（1.2）=f（﹣0.8）=f（0.8），c=f（2）=f（0），0＜0.8＜1，且函数f（x）在［0，1]上单调递增,可得a，b,c大小关系．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f(x+2）=f（x)，∴函数的周期为2．
由于a=f（3）=f(﹣1）=f（1),b=f（1.2）=f（﹣0.8）=f（0.8），c=f（2)=f(0），
0＜0.8＜1，且函数f（x）在[0，1］上单调递增，
∴a＞b＞c，
故选：C．
7．已知函数f（x)=，则f（3）的值等于（)
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】函数的值．
【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可．
【解答】解:由分段函数可知，f(3)=f（2）﹣f(1），
而f（2）=f（1)﹣f（0），
∴f（3）=f(2)﹣f（1）=f（1）﹣f(0）﹣f（1）=﹣f(0）=﹣1，
故选：B．
8．已知函数f（x）的定义域是(0，1），那么f（2x）的定义域是(）
A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数f（x）的定义域是（0,1）,而2x相当于f(x）中的x，因此得到0＜2x＜1，利用指数函数的单调性即可求得结果．
【解答】解:∵函数f(x）的定义域是（0,1)，
∴0＜2x＜1，
解得x＜0，
故选C．
9．f （x）=+的奇偶性是（）
A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】由条件求得定义域为{x|x=±｝，且满足f（x）=0，可得函数f(x)为即是奇函数又是偶函数．
【解答】解：的定义域为｛x|x=±}，
且满足f（x）=0，故函数f（x）为即是奇函数又是偶函数,
故选:C．
10．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（)x的图象可能是（）A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据二次函数的对称轴首先排除BD,再结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．
【解答】解:根据指数函数y=（)x可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx+c的对称轴﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，排除B，D
因为4个选项中指数函数均为减函数，故，
当ab同时为负数，则a＜b＜0，二次函数的开口向下，对称轴＜﹣＜0, 当ab同时为正数，则0＜b＜a，二次函数的开口向上，对称轴＜﹣＜0，
故排除C
故选：A．
11．已知f （x）=ax5+bx﹣+2，f (2）=4，则f（﹣2）=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数的值．
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可．
【解答】解：∵，
∴f（x）﹣2=ax5+bx﹣为奇函数，
则f（2）﹣2=a•25+2b﹣，
f(﹣2）﹣2=﹣a•25﹣2b+，
两式相加得f（﹣2）﹣2+f(2）﹣2=0，
即f（﹣2）=2+2﹣f（2）=4﹣4=0，
故选:A．
12．已知函数y=f （x）是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：
①y=f（|x|）为偶函数；
②y=f（x）+f（﹣x)为非奇非偶函数;
③y=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数；
④y=[f（x）]2为偶函数．
其中正确判断的个数有（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．
【分析】利用奇函数、偶函数的性质及定义进行判断．
【解答】解:由函数y=f (x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，知:
在①中，y=f(|x|）=f（｜﹣x|），为偶函数，故①正确；
在②中,y=f（x）+f（﹣x）=f（﹣x)+f（﹣(﹣x），为偶函数，故②错误；
在③中，y=f（x）﹣f（﹣x）=﹣[f(﹣x）﹣f（﹣（﹣x）］为奇函数，故③正确;
④y=[f（x）]2≠±［f（x）］2，为非奇非偶函数，故④错误．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

13．满足｛0，1,2}⊊A⊆｛0，1，2，3，4，5｝的集合A的个数是6个．
【考点】子集与真子集．
【分析】由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，问题转化为求{3，4，5｝的子集，根据非空子集的公式,写出结果．
【解答】解：由题意知集合A中一定含有0，1，2三个元素，
∴问题转化为求｛3，4,5}的子集，
∵并且是求非空子集，
∴有23﹣1=7个，
故答案为：7
14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有(10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30,解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人，
由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人,
故答案为:12．
15．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x(x+1)．若f（a）=﹣2,则实数a=﹣1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题设知，当x≥0时，f（x）不可能为负，故应求出x＜0时的解析式，代入f（a）=﹣2,求a的值．
【解答】解：令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x）,
又f(x）为奇函数，所以当x＜0时有f(x）=x(1﹣x），
令f（a）=a（1﹣a)=﹣2，得a2﹣a﹣2=0,
解得a=﹣1或a=2（舍去）．
故应埴﹣1
16．已知是（﹣∞,+∞）上的减函数，则a的取值范围是
［,）．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=是(﹣∞，+∞）上的减函数，
∴解得≤a＜．
故答案为：[，）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知集合A=｛x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）］＜0｝，B={x|2a＜x＜a2+1｝．
（Ⅰ)当a=2时，求A∩B；
（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．
【考点】交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．
【分析】（Ⅰ）直接求出A,B,然后求解A∩B．
（Ⅱ)通过当a＜时，当a=时，当a＞时，分别求出A,利用B⊆A，求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，A=(2，7),B=（4，5）,
∴A∩B=（4，5）．
(Ⅱ）∵B=(2a,a2+1)，
当a＜时,A=(3a+1,2），要使B⊆A，必须，此时a=﹣1；
当a=时,A=∅，使B⊆A的a不存在;
当a＞时，A=（2，3a+1)，要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3;
综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围［1，3］∪｛﹣1}．
18．已知+=3，求的值．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】由已知条件求出x+=7，化简原式代入即可．
【解答】解：∵+=3，
∴（+）2=9,
即x+=7，
∴===2．
19．求函数y=的定义域、值域和单调区间．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据题意，定义域的求解易知为（﹣∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x﹣x2换成u,通过二次函数的知识求得u的范围为（﹣∞，4］，再根据指数函数y=3u的单调性即可求解
利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性,再判断外层函数单调性,在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x1,x2,且x1＜x2,比较f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）则是增函数;反之则为减函数）证明即可
【解答】解:根据题意，函数的定义域显然为（﹣∞，+∞)．
令u=f（x）=3+2x﹣x2=4﹣（x﹣1)2≤4．
∴y=3u是u的增函数,
当x=1时，y max=f(1）=81，而y=＞0．
∴0＜3u≤34，即值域为（0,81］．
（3）当x≤1时，u=f(x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（﹣∞，1］；
其证明如下：
任取x1，x2∈（﹣∞，1]且令x1＜x2
则=÷
===
∵x1＜x2，x1，x2∈（﹣∞,1］
∴x1﹣x2＜0，2﹣x1﹣x2＞0
∴（x1﹣x2）（2﹣x1﹣x2）＜0
∴＜1
∴f（x1)＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（﹣∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．
20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞）,且满足f(xy）=f（x）+f（y），f（）=1，如果
对于0＜x＜y,都有f（x)＞f（y），
（1）求f（1)；
(2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（1）用赋值法令x=y=1 f（1）=0
（2)由，将﹣2表示为f（4）,再将f(﹣x)+f（3﹣x）转化为f［x（x﹣3）]，
原不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．转化为f[x（x﹣3)］，≥f（4），再利单调性定义求解．【解答】解：（1)令x=y=1得f(1）=f（1）+f(1）⇒f(1）=0
（2)由f(）=1，f（1）=0,
结合题意，可得
f(4）=f（2)+f（2）=﹣2∴f（﹣x）+f（3﹣x)=f[x(x﹣3）］≥f（4）
又f（x）为(0，+∞）上的减函数
∴
解得﹣1≤x＜0
∴原不等式的解集为［﹣1,0）．
21．设a是实数,f（x）=a﹣（x∈R）
（1）已知f（x）是奇函数，求a
(2）用定义证明：对于任意a,f （x）在R上为增函数．
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明．
【分析】(1）根据奇函数在零处有意义可得f（0)=0，建立等量关系,求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号,最后下结论即可．
【解答】解：(1）∵f(x）为奇函数
∴f(0）=0,解得a=1;
（2）证明：设x1,x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）
=
=
=，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，
且x1＜x2,所以即，
又由2x＞0,得，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．
22．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈［0，1],总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0,x1+x2≤1时，总有f（x1+x2)≥f(x1）+f(x2）成立．已知函数g（x）=x2与h(x）=2x﹣b是定义在[0，1］上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数?并说明理由;
(2）若函数h（x)是G函数,求实数b组成的集合．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】(1)根据G函数的定义,验证函数g（x）是否满足条件．即可
（2）若函数h（x）是G函数根据条件结合函数的单调性进行判断求解即可．
【解答】解:(1)是,理由如下：
当x∈[0,1]时，总有g(x）=x2≥0，满足①，
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时,
g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足②…
（2）h（x）=2x﹣b为增函数，h（x)≥h（0)=1﹣b≥0,
∴b≤1，
由h（x1+x2）≥h(x1）+h（x2），﹣b+﹣b，
即b≥1﹣（﹣1)（﹣1），
∵x1≥0,x2≥0，x1+x2≤1，
∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1
∴0≤（﹣1）（﹣1)＜1；
∴0＜1﹣（﹣1)（﹣1)≤1，
当x1=x2=0时,1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；
∴b≥1，则b=1,
综合上述:b∈{1｝…
2016年11月22日。