山东省淄博市高三数学上学期期末考试 理(含解析)新人教A版

山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．全集U=R ，集合{}
02|2≥+=x x x A ，则[U A= A ．[]0,2-
B ．()0,2-
C ．(][)+∞⋃-∞-,02,
D ．[]2,0
【答案】B
【解析】{}
2
|20{02}A x x x x x x =+≥=><-或，所以{20}U A x x =-<<ð，所以选
B.
2．已知
,5
4
cos ,23,
-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∈αππα则)4tan(απ-等于 A ．7
B ．
7
1
C ．7
1-
D ．7-
【答案】B 【解析】因为
,54cos ,23,-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈αππα所以3s i n 5α
=-，3tan 4
α=。

所以3
tan
tan 1144tan()3471tan tan 144
π
α
παπα--
-==
=++，选B. 3．如果等差数列{}n a 中，15765=++a a a ，那么943...a a a +++等于
A ．21
B ．30
C ．35
D ．40
【答案】C
【解析】由15765=++a a a 得663155a a ==，。

所以3496...77535a a a a +++==⨯=，选C.
4．要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位
C ．向左平移
32
个单位 D ．向右平移
3
2
个单位 【答案】D
【解析】因为2
sin(32)sin 3()3y x x =-=-，所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移3
2个单位，即可得到)23sin(-=x y 的图象，选D.
5．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当210m -=，即12
m =
时，两直线方程为4x =-和1
3302x y ++=，此时两直
线不垂直。

当0m =时，两直线方程为2y =和1x =-，此时两直线垂直。

当0m ≠且1
2
m ≠
时，两直线方程为21212m y x m m =+--和33
y x m m =--，两直线的斜率为
3,12m m m --，要使两直线垂直，则有3
()112m m m
⨯-=--，解得1-=m ，所以直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”则有1-=m 或0m =，所以1-=m 是两直线垂直的充分而不必要条件，选A.
6．设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．//,////,//m n m n αβαβ且则 B ．,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥
C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥
D ．,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则
//αβ
【答案】B
【解析】根据面面垂直的性质和判断可知B 正确。

7．函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是
【答案】A
【解析】因为函数()sin y f x x x ==为偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以排除 D.
()sin 02222
f ππππ
==>,排除B. ()sin 0f πππ==,排除C,所以选A. 8．已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线
x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
A ．2
B ．3
C ．2
D ．23
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为。

双曲线的右焦点为(,0)c ，则c =b
y x a
=±
，因为一条渐近线的斜率为2，所以
b
a
=，即b =，所以
2222
2b a c a ==-，即223c a =，即23,e e == B.
9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角
三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是
A ．π12
B ．π24
C ．π32
D ．π48
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长
为4的正方形，高为44=，
即球的半径为2448ππ=。

选D.
10．若()
()()()()()92311
2
012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则
1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为
A ．0
B ．5-
C ．5
D ．255
【答案】C
【解析】令2x =，则290(21)(23)5a =+-=-。

令3x =，则01110a a a ++⋅⋅⋅+=，所以
1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=，选C.
11．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、
“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是
A ．48
B ．24
C ．36
D ．64
【答案】C
【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有42
4248A A =种，把“民俗调查”安排在周一，有323212A A =，所以满足条件的不同安排方法的种数为481236-=，选C.
12．已知函数⎩
⎨
⎧>≤+=0,10
,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k
的取值范围是
A ．2k ≤
B ．10k -<<
C ．21k -≤<-
D ．2k ≤-
【答案】D
【解析】由()0y f x k =+=得()0f x k =-≥，所以0k ≤，做出函数()y f x =的图
象，
，要使y k =-与函数()y f x =有三个交点，
则有2k -≥，即2k ≤-，选D.
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．将第II 卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知向量(1,1),(2,0)a b ==，则2a b +等于 。

【答案】【解析】22(1,1)(2,0)(4,2)a b +=+=
，所以224a b +=
+==
14．已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 。

【答案】16
【解析】设三角形的边长为,,a b c 其中460b B ==，,则2
2
2
2cos60b a c ac =+-，即
2216a c ac =+-，所以22
162a c ac ac ac ac =+-≥-=，即16ac ≤，当且仅当4
a c ==时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.
15．已知y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-033010
1y x y x y x ，则y x -2的最大值为 。

【答案】2
【解析】设2z x y =-，则2y x z =-，做出不等式对应的平面区域如图BCD,平移直线
2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-经过点C (1,0)时，直线2y x z =-的截距最小，
此时z 最大，把C (1,0)代入直线2z x y =-得2z =，所以y x -2的最大值为为
2.
16．若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ，对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成
立，则称)(x f 为m 函数，现给出下列函数： ①x
y 1
=
； ②x y 2=； ③x y sin =； ④nx y 1=
其中为m 函数的序号是 。

（把你认为所有正确的序号都填上）
【答案】②③
【解析】①若1
()f x x
=
，则由()()()
f x m
f x f m +=+得111
x m x m
=++，即111()
m m x m x x x m -=-=++，所以不存在常数m 使()()()f x m f x f m +=+成立，所以①不是m 函数。

②若()2f x x =，由()()()f x m f x f m +=+得，2()22x m x m +=+，此时恒成立，所以②x y 2=是m 函数。

③若()sin f x x =，由()()()f x m f x f m +=+得sin()sin sin x m x m +=+，所以当m π=时，()()()
f x m f x f m +=+成立，所以③x y sin =是m 函数。

④若()1f x n x =，则由()()()f x m f x f m +=+得
ln()ln ln x m x m +=+，即ln()ln x m mx +=，所以x m m x +=，要使x m m x +=成立则
有1
m m =⎧⎨
=⎩，所以方程无解，所以④nx y 1=不是m 函数。

所以为m 函数的序号是②③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知函数),0(sin )6
cos()6cos()(R x x x x x f ∈>--++
=ωωπ
ωπ
ω的最小正周期为π2。

（I ）求函数)(x f 的对称轴方程；
（II ）若3
6
)(=
θf ，求sin(2)3πθ+的值。

18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 为等差数列，且9,553==a a ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2=+n n b S 。

（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）若()+∈=
N n b a c n
n
n ，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T 。

19．（本小题满分12分）
如图，五面体中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥面ABEF ，且DA=1，AB//EF ，
2,222
1
====
BE AF EF AB ，P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点。

（I ）求证：PQ//平面BCE ； （II ）求证：AM ⊥平面ADF ；
（III ）求二面角，A —DF —E 的余弦值。

20．（本小题满分12分）
M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．
（I ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（II ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．
21．（本小题满分14分）
函数()R a x ax nx x x f ∈--=21)(。

（I ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值；
（II ）若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方，求a 的取值范围； （III ）求证：2012
201320132012<．
21．（本小题满分12分）
已知两定点(
)),E F ，动点P 满足0PE PF ⋅=，由点P 向x 轴作垂线PQ ，
垂足为Q ，点M 满足()21PM MQ =-，点M 的轨迹为C ．
（I ）求曲线C 的方程；
（II ）若线段AB 是曲线C 的一条动弦，且2AB =，求坐标原点O 到动弦AB 距离的最
大值．。