上海市长宁区区第一学期高三年级质量调研(数学).doc

长宁区2010学年第一学期高三数学检测试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．
1、已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ．
2、若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 ．
3、（理）函数x a y π2sin =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

（文）函数x a y π2cos =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

4、若71(2)x x
-的二项展开式中的第5项的系数是 （用数字表示）。

5、已知α为第三象限的角，53cos -=α,则)4
tan(απ+= . 6、不等式09
3114
212≥-x x 的解集为_______________。

7、给出下面4个命题:
(1)x y tan =在第一象限是增函数； (2)奇函数的图象一定过原点； (3)f -1(x)是f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点 必在直线y=x 上； (4)"a>b>1"是"log a b<2"的充分但不必要条件.其中正确的
命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上
8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ．
9、无穷等比数列{}n a 中，公比为q ，且所有项的和为23
1a 的范围是_________
10、设函数()[)()
⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 . 11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ．
12、（理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()2
21a b c bc
-+=-，且 4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .
（文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若0120
=∠A ，且4AC AB ⋅=-
则ABC ∆的面积等于 . 13、（理）已知函数f (x )=x 2＋2︱x ︱－15，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[－15,0]， 则满足条件的整数对),(b a 有 对．
（文）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大
值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数),0(,sin 2sin )(π∈+=x x
x x f 的“下确界”为____。

14、（理）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____。

（文）直线1y =与曲线2y x x a
=-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
二、选择题.（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
15、“m<14
”是“一元二次方程x 2+x+m=0)(R m ∈有实数解”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、充分必要条件
C 、必要非充分条件
D 、非充分非必要条件
16、（理）函数f (x )=sin(2x+φ)+3cos(2x +φ)的图像关于原点对称的充要条件是（ ）
A 、φ=2k π－π6 ，k ∈Z
B 、φ=k π－π6 ，k ∈Z
C 、φ=2k π－π3 ，k ∈Z
D 、φ=k π－π3 ，k ∈Z （文）函数)32sin(2)(π
ϕ++=x x f 的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）
A 、φ=2k π－π6 ，k ∈Z
B 、φ=k π－π6 ，k ∈Z
C 、φ=2k π－π3 ，k ∈Z
D 、φ=k π－π3 ，k ∈Z
17、（理）如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111C B A ∆，又111C B A ∆的各边中点得到一个新的222C B A ∆，如此无限继续下去，得到一
系列三角形，111C B A ∆，222C B A ∆，333C B A ∆，, 这一系
列三角形趋向于一个点M 。

已知()()()2,2,0,3,0,0C B A ，则点M 的坐标是（ ） Ａ、)32,35( Ｂ、)1,35( Ｃ、)1,32(Ｄ、)3
2,1( （文）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为
A 、17
B 、7
1- C 、16- D 、16
18、（理）已知函数()2log f x x =，正实数m,n 满足m n <，且()()f m f n =，若()
f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m 、n 的值分别为 （ ）
A
、2、1,24 C 、1,22
D 、1,44 （文）如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111C B A ∆，又111C B A ∆的各边中点得到一个新的222C B A ∆，如此无限继续下去，得到一系列三角形，111C B A ∆，222C B A ∆，333C B A ∆，, 这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知()()()2,2,0,3,0,0C B A ，则点M 的坐标是（ ） Ａ、)32,35( Ｂ、)1,35( Ｃ、)1,32(Ｄ、)3
2,1(
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
19、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 若四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD (如图)，
且PA =
（1）求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．
20、（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）
设复数θθsin 2cos 3i z +-=
(1)当πθ3
4=时，求z 的值； A B C
D P
(2)若复数z 所对应的点在直线03=+y x 上，求)
4sin(21
2cos 22
π
θθ+-的值。

21、（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分） 为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：
cm ）满足关系：()()01035
k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
22、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（理）已知点),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n n n b a P （n 为正整数）都在函数)1,0(≠>=a a a y x 的图像上，其中}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n b 是等比数列；
（2）设数列}{n b 的前n 项的和n S ，求1lim
+∞→n n n S S ； （3）设)0,(n n a Q ，当3
2=a 时，问n n Q OP ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（文）设()x x ax x f +--=11log 2
1
为奇函数，a 为常数。

（1）求a 的值； （2）判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间[]4,3上的每一个x 值，不等式()m x f x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛>21恒成立，求实数m 取值范围。

23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
.（理）已知函数21a a x
-1f(x)=2+，实数a R ∈且0a ≠。

（1）设0mn >，判断函数)(x f 在[,]m n 上的单调性，并说明理由；
（2）设0m n <<且0a >时，f(x)的定义域和值域都是[,]m n ，求n m -的最大值；
（3） 若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求a 的范围；
（文）已知点),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n n n b a P （n 为正整数）都在函数)1,0(≠>=a a a y x 的图像上，其中}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n b 是等比数列；
（2）设数列}{n b 的前n 项的和n S ，求1lim
+∞→n n n S S ； （3）设)0,(n n a Q ，当3
2=a 时，问n n Q OP ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
2010年第一学期高三数学检测试卷参考答案
一、填空题（共14题，每题4分，共56分）
1、]0,(-∞
2、2
3、2
1 4、280 5、7- 6、),2[]3,(+∞⋃--∞ 7、（4） 8、36 9、)34,32()32,0(⋃ 10、0，1 11、4
3 12、32 13、（理）7 ，（文）3 14、（理）0，（文）)4
5,1( 二、选择题（共4题，每题5分，共20分）
15、A 16、D 17、（理）A （文）B 18、（理）C （文）A
三、解答题
19、（本题满分12分，每小题6分）
解：（1）BC AD || ，PDA ∠∴的大小即为异面直线PD 与BC 所成角的大小。

…………………………………………………. 2分
ABCD PA 平面⊥ ，AD PA ⊥∴，由2,32==AD PA ，3tan =∠∴PDA ，
…………………………………………………. 4分
060=∠∴PAD ，故异面直线PD 与BC 所成角的大小为060。

…………………………………………………. 6分
（2）ABCD PA 平面⊥ ，3
3832231312=⨯⨯=⋅=∴-PA S V ABCD ABCD P 。

…………………………………………………. 12分
20、（本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）
解：（1）i i z 32
334sin 234cos 3,34-=+-=∴=πππθ ， …………………………………………………. 2分
2
21)3()23(||22=-+=∴z 。

…………………………………………………. 5分
（2）由条件得，2
1tan ,0)sin 2(3cos 3=∴=+-θθθ。

…………………………………………………. 9分
原式=3
21tan 1cos sin cos =+=+θθθθ。

…………………………………………………. 13分
21、（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分）
解：（1）当0=x 时，8=c ，40=∴k ，
…………………………………………………. 2分
5340)(+=∴x x C ，)100(5
380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f 。

…………………………………………………. 6分
（2）105
3800)53(2)(-+++=x x x f ， …………………………………………………. 8分
设]35,5[,53∈=+t t x ，701080022108002=-⋅≥-+=∴t
t t t y ， …………………………………………………. 10分 当且仅当时等号成立。

即20,8002==t t
t 这时5=x ，因此70)(最小值为x f 。

…………………………………………………. 12分
所以，隔热层修建cm 5厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元．
…………………………………………………. 13分
22、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分） （理）解：（1）12-=n a n ，（)*∈N n ，
…………………………………………………. 2分
12-==n a n a a b n ，（定值）21a b b n
n =∴+，{}n b 数列∴是等比数列。

…………………………………………………. 4分
(2)因为{}n b 是等比数列，且公比12
≠a ，221)1(a a a S n n --=∴，222111++--=n n
n n a a S S 。

…………………………………………………. 6分
当10<<a 时，1lim 1
=+∞→n n n S S ； …………………………………………………. 7分
当1>a 时，222222211111lim 11lim lim a a a a a a S S n
n n n n n n n n =--=--=∞→+∞→+∞→。

…………………………………………………. 9分 因此，⎪⎩⎪⎨⎧><<=+∞→1,110,1lim 2
1a a a S S n n n 。

…………………………………………………. 10分
（3）12)32(-=n n b ，12)3
2()12(21-∆⋅-⋅=n n S ， ………………………………………………….12分 设12)32()12(21-⋅-⋅=n n n c ，当n c 最大时，则⎩⎨⎧≥≥+-11n n
n n
c c c c ， …………………………………………………. 14分
解得⎩⎨⎧≥≤3
.13.2n n ，*∈N n ，2=∴n 。

…………………………………………………. 16分
所以2=n 时n c 取得最大值94，因此n n Q OP ∆的面积存在最大值9
4。

…………………………………………………. 18分
（文）解：（1）由条件得：0)()(=+-x f x f ，011log 11log 2
121
=--+--+∴x ax x ax ，化简得0)1(22=-x a ，因此1,012±==-a a ，但1=a 不符合题意，因此1-=a 。

（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）
…………………………………………………. 4分
（2）x x x x x x f +-+=+-+=)121(log 11log )(2
121
， …………………………………………………. 6分
当),1(+∞∈x 时，12-x 单调递减，因此)121(log 2
1-+x 单调递增，)(x f ∴单调递增。

（也可以利用单调性的定义判断，对照给分）
…………………………………………………. 10分
（3）不等式为x x f m )21()(-<恒成立，min ])2
1()([x x f m -<∴。

………………………………………………….12分
)(x f 在]4,3[∈x 上单调递增，x )2
1(在]4,3[∈x 上单调递减， x x f )2
1()(-∴在]4,3[∈x 上单调递增， …………………………………………………. 16分
当3=x 时取得最小值为815，)8
15,(-∞∈∴m 。

…………………………………………………. 18分
23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（理）解：（1）设n x x m ≤<≤21，则2
122122122111)()(x x a x x x a x a x f x f -=+-=-， …………………………………………………. 2分
,0>mn n x x m ≤<≤21，0,02121<->∴x x x x ，0)()(21<-∴x f x f ， 即)()(21x f x f <，因此函数)(x f 在[,]m n 上的单调递增。

…………………………………………………. 4分
（2）由（1）及)(x f 的定义域和值域都是[,]m n 得n n f m m f ==)(,)(， 因此n m ,是方程x x
a a =-+2112的两个不相等的正数根， …………………………………………………. 6分
等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不等的正数根， 即010204)2(22122212
22>=>+=+>-+=∆a x x a a a x x a a a 且且， 解得2
1>a ， …………………………………………………. 8分
316)321(3344122+--=-+=
-∴a a a a m n ， ),21(+∞∈a ，2
3=∴a 时，m n -最大值为334。

…………………………………………………. 10分
（3）221()2a f x a a x
=+-,则不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，即21222x a a x x -≤+-≤即不等式22122122a a x x a a x x +≤++≥-⎧⎪⎨⎪⎩,对1x ≥恒成立,
…………………………………………………. 12分
令h(x)=12x x +,易证h(x)在[1,)+∞递增，同理1()2g x x x
=-[1,)+∞递减。

…………………………………………………. 14分
min max ()(1)3,()(1)1h x h g x g ∴====-，
…………………………………………………. 16分
∴{222321a a a a +≤+≥-∴3
12a ∴-≤≤。

…………………………………………………. 18分
（文）解：（1）12-=n a n ，（)*∈N n ，
…………………………………………………. 2分
12-==n a n a a b n ，（定值）21a b b n
n =∴+，{}n b 数列∴是等比数列。

…………………………………………………. 4分
(2)因为{}n b 是等比数列，且公比12
≠a ，221)1(a a a S n n --=∴，222111++--=n n
n n a a S S 。

…………………………………………………. 6分
当10<<a 时，1lim 1
=+∞→n n n S S ； …………………………………………………. 7分
当1>a 时，222222211111lim 11lim lim a a a a a a S S n
n n n n n n n n =--=--=∞→+∞→+∞→。

…………………………………………………. 9分 因此，⎪⎩⎪⎨⎧><<=+∞→1,110,1lim 2
1a a a S S n n n 。

…………………………………………………. 10分
（3）12)32(-=n n b ，12)3
2()12(21-∆⋅-⋅=n n S ， ………………………………………………….12分 设12)32()12(21-⋅-⋅=n n n c ，当n c 最大时，则⎩⎨⎧≥≥+-11n n
n n c c c c ， …………………………………………………. 14分
解得⎩⎨⎧≥≤3
.13.2n n ，*∈N n ，2=∴n 。

…………………………………………………. 16分 所以2=n 时n c 取得最大值94，因此n n Q OP ∆的面积存在最大值9
4。

…………………………………………………. 18分
2019年10月15日整理第11 页/ 共11 页。