广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题 含答案

2014届高三六校第一次联考
理科数学 试题
命题学校：深圳实验学校
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. “1x ≥"是“2x >”的( ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2. 已知2(,)a i b i a b R i
+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b +＝（ )
A.－1 B ．1 C ．2 D ．3
3。

若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ）
A ．x x x 2lg 2
1>> B ．2
1lg 2x
x x
>>
C ．x x
x lg 22
1
>>
D ．x x x
lg 2
2
1>>
4.下列四个命题中，正确的是( ）
A ．已知ξ服从正态分布()2
,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξP
B ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2
>+-∈∀x x R x q ．则命题“q p ⌝∧”
是假命题
C ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位
D ．已知直线013:1=-+y ax l
,01:2=++by x l ，则21l l ⊥的充要条件是
b
a =—3
5. 已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 夹角为（ ）
A ．4
π B ．6
π C ．3
π
D ．23π
6。

若动圆的圆心在抛物线2
12x y =上，且与直线30y +=相切,则此圆恒
过定点( ）
A 。

(0,2) B.(0,3)- C.(0,3) D 。

(0,6)
7。

设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >,0b >）
的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）
A 。

3(0,]2
B 。

3(0,)2
C.
3
[,)2
+∞
D 。

(0,)+∞
8. 记集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}T =，
M=}4,3,2,1,|10
101010{44
33221=∈+++i T a a a a a i ,将M 中
23410101010+++ D 。

43210
1101010+++
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题： 本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分
（一)必做题（9～13题)
9． 在()7
a x +展开式中4
x 的系数为35,则实数a 的值为 。

10
．计算定积分)
120
x dx =⎰。

11.已知双曲线C
的焦点、实轴端点恰好是椭圆22
12516
x y +=的长轴端点、
焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.
12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ,3
25=b ，
4
π
=
A ,则=
B cos .
13．将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20,
为“梯形数”。

根据
图形的构成,数
列第6项6
a = ;第n 项n
a = .
(二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题) 14。

(坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中,直线6
πθ=(R ρ∈)截圆
2cos()
6
πρθ=-所得弦长是 .
15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）AB
是圆O 的直
径,过A 、B 的两条弦AD 和BE 相交于点C ,
若圆O 的半径
是3，那么AC AD BC BE ⋅+⋅的值等于________________. 2
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. （本小题满分12分）
图1
E
D
C B
A
俯视图
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

最
终，商定以抛硬币的方式决定结果。

规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分,先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议。

记所需抛币次数为ξ。

⑴求ξ=6的概率；
⑵求ξ的分布列和期望.
17．（本小题满分12分)
已知函数()sin2sin2cos2
66
f x x x x a
ππ
⎛⎫⎛⎫
=++--+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(,
a R a
∈为常数）．
（1）求函数()
f x的最小正周期和单调增区间；
(2）若函数()
f x的图像向左平移()0
m m>个单位后,得到函数()
g x的图像关于y轴对称,求实数m的最小值。

18．(本小题满分14分)
设函数()2ln.
a
f x ax x
x
=--ks5u
（Ⅰ）若()f x在2
x=时有极值，求实数a的值和()f x的单调区间；（Ⅱ）若()f x在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．19．（本小题满分14分)
已知几何体A—BCED
三角形，正视图为直角梯形．
(1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得
AQ⊥BQ并说明理由。

20．（本小题满分14分）
如图，椭圆22:13620
x y C +=直线l 的方程为9x =，N 为l AN 与椭圆交于M 点。

（1）若M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥（2)过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ 的范围。

21.(本小题满分14分)
设2
1081207M a
a =++，2P a =+，Q=262a -;若将lg M
，lgQ,lgP 适当排序
后可构成公差为1的等差数列{}n
a 的前三项。

(1)试比较M 、P 、Q 的大小； （2）求a 的值及{}n
a 的通项；
（3)记函数2
12()2(*)n
n n f x a x
a x a n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为n
b ，
设122311()4
n n n T b b b b b b -=++
+(2)n ≥，求n T ，并证明1
2342n n T T T T n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>。

2014届高三六校第一次联考 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,满分40分．
学必求其心得，业必贵于专精
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1； 10. 13
; 11。

430x y ±=; 12．
232
; 13.35，()()142
n n ++； 14。

2; 15。

36。

三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. （本小题满分12分)
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊
觅秋，丙表示随意。

最
终，商定以抛硬币的方式决定结果。

规则是：由丙抛掷硬币若干次,
若正面朝上则甲得一
分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜,三人
均执行胜者的提议. 记所需抛币次数为ξ。

⑴求ξ=6的概率；
⑵求ξ的分布列和期望。

16。

解:
（1)()3
2
3511156222216
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………4分
(2）分布列为:
……………………10分
∴
115593
456784161616
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
………………………
12分
17．(本小题满分12分）
已知函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
（,a R a ∈为常数)．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
(2）若函数()f x 的图像向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值。

17。

解:(1）()sin(2)sin(2)cos266
f x x x x a ππ
=++--+
2cos22sin(2).6
x x a x a π
-+=-+ ………………………4分
∴
()
f x 的
最
小
正
周
期
为
22
ππ= ………………………5分
当222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ,即()63
k x k k ππ
ππ-≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递增，故所
求
单
调
增
区
间
为
[,]().
63
k k k π
π
ππ-
+∈Z ………………………8分
（2)函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6g x x m a π=+-+，
…
……………………9分
要
使
()
g x 的图像关于
y
轴对称,只需2()
62
m k K Z π
π
π-
=+∈ ………………………11分
即
()23
k m k Z ππ
=
+∈，
所
以
m
的
最
小
值
为
3
π． ………………………12分
18．(本小题满分14分）
设函数()2ln .
a f x ax x x
=--
（Ⅰ）若()f x 在2x =时有极值，求实数a 的值和()f x 的单调区间;
（Ⅱ)若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围． 18。

解：（Ⅰ）
()
f x 在
2
x =时有极值，
∴
有
()'20f =，
………………………2分
又()22'a f x a x x =+-,∴有104
a
a +-=，∴
45a = ………………………
4分
∴有()2442'55f x x x =
+-()222
2525x x x
=-+，
由
()'0
f x =有
121
, 22
x x =
=， ………………………6分
又0x >∴()(),',x f x f x 关系有下表
∴
()
f x 的递增区间为
10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
和 [)2,+∞, 递减区间为
1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
……………………9分
（Ⅱ)若()
f x 在定义域上是增函数,则
()'0
f x ≥在
x >时恒成
A
B C D
E
F
E
D
C
B
A
俯视图
立，…………………10分
()222
22'a ax x a
f x a x x x
-+=+-=， ∴需0x >时220ax x a -+≥恒成立，
化为2
21
x
a x ≥
+恒成立
,2
22
111x x x x
=≤++， ∴1a ≥。

……
…………………14分
19．（本小题满分14分)
已知几何体A —BCED 三角形,正视图为直角梯形．
（1)求此几何体的体积V 的大小；
（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；
（3）试探究在DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ 并说明理由.
19. 解：（1)由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴1(41)4102
BCED
S
=⨯+⨯=梯形 ∴1140
104333
BCED V S AC =⋅⋅=⨯⨯=梯形．
即该几何体的体积V 为403．—————-——-—-—————-——————-—-—----———3分
（2）解法1:过点B 作BF//ED 交EC 于F,连结AF ，
则∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．——----
x
A —5分
在△BAF 中，∵
AB=BF=AF=5=．
∴
222cos 2BF AB AF ABF BF AB +-∠==
⋅ 即异面直线
DE 与AB 所成的角的余弦值为
． ………………………7分
解法2：以C 为原点，以CA ，CB,CE 轴建立空间
直角坐标系．
则A(4，0,0），B(0，4，0)，D(0，4，4） ∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，∴2cos ,DE AB <>=-
∴异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为5
．
（3)解法
1：
在
DE
上存在点
Q ，使得
AQ ⊥BQ.
……………………8分
取BC 中点O,过点O 作OQ ⊥DE 于点Q ，则点Q 满足题设. 连结EO 、OD ，在Rt △ECO 和Rt △OBD 中
∵2EC OB CO
OD
== ∴Rt ECO ∆∽Rt OBD ∆ CEO DOB ∴∠=∠
∵90EOC CEO ∠+∠= ∴90EOC DOB ∠+∠= ∴
90
EOD ∠=． ………
……………11分 ∵OE =
=OD ==
学必求其心得，业必贵于专精
O
Q
A
B
C
D
E
∴25
OE OD OQ ED ⋅=== ∴以O 为圆心、以BC 为直径的圆与DE 相切．切点为Q
∴BQ CQ ⊥ ∵AC ⊥面BCED ,BQ ⊂面CEDB ∴BQ AC ⊥ ∴BQ ⊥面ACQ —————
——-—13分
∵AQ ⊂面ACQ ∴
BQ AQ ⊥．
……………
…………14分
解法2： 以C 为原点，以CA ，CB,CE 所在直线为x ，y,z 轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q 存在,其坐标为(0，m ，n ），则
(4,,),(0,4,)AQ m n BQ m n =-=-
(0,,4)EQ m n =-,(0,4,1)QD m n =--
∵AQ ⊥BQ ∴2
(4)0m m n -+= --——-—--——-———-———-
—-—-———--①
∵点Q 在ED 上，∴存在R λ∈(0)λ>使得EQ QD λ=
∴(0,,4)(0,4,1)m n m n λ-=--44,11m n λλ
λλ
+⇒==++—---————-——② ②代入①得2
2
2
416()
81601(1)
λλλλλ
λ+=
⇒-+=++,解得4λ= ∴满足题设的点Q 存在，其坐标为168
(0,,)55
．
20．（本小题满分14分）
如图，椭圆22
:13620
x y C +=的左顶点、右焦点分别为,A F ，
直线l 的方程为9x =，N 为l 上一点，且在x 轴的上方，
AN 与椭圆交于M
点.
（1)若M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥。

(2）过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ 的范围.
20．(1)证：由题意得)0,4(),0,6(F A -，9N
x
= 32
M
x
∴=
又
M
点在椭圆上，且在
x
轴上方，得
2
3
5=
M y ………………………3分
15535(,),(,)22227575
44
MA MF MA MF MA MF ∴=-
-=-∴⋅=-+=∴⊥ …
……………………6分
（2）解：（方法一)设),9(t N ，其中0>t
圆过N F A ,,三点，∴圆心在线段AF
的中垂线上
设圆心为),1(b -,半径为r ，有2222)(()91()41(t b b r -+--=+--=
)75(212752t t t t b +=+=∴,2421222+=-=b r PQ
………………………10分
0>t ，3575
=⋅
≥∴t
t b ，当且仅当,75t t =即35=t 时取“=”
116992=≥∴PQ 。

PQ ∴的取值范围是),116[+∞ ………………………
14分
（方法二）解:设),9(t N ，其中0>t ， 圆过N F A ,,三点,
∴设该圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++++=++=+-09810
41606362F tE D t F D F D 解得
24,75
,2-=-
-==F t
t E D ∴圆心为)),75(21,1(t t +-半径r 2)75
(4125t
t ++=
∴22)75
(4124212t
t r PQ ++=-=，
………………………
10分
0>t
31075
275=⋅≥+
∴t
t t t ，当且仅当,75t t =即35=t 时取“="
116992=≥∴PQ ，PQ ∴的取值范围是),116[+∞. ………………………
14分
21.（本小题满分14分)ks5u
设2
1081207M a
a =++，2P a =+，Q=262a -;若将lg M
，lgQ ，lgP 适当排
序后可构成公差为1的等差数列{}n
a 的前三项. （1）试比较M 、P 、Q 的大小;ks5u （2）求a 的值及{}n
a 的通项；
（3)记函数2
12()2(*)n
n n f x a x
a x a n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为n
b ，
设122311
()4
n n n T b b b b b b -=+++(2)n ≥，求n T ，并证明1
2342n n T T T T n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>。

21。

解:(1
）
由
21081207020
2620M a a P a Q a ⎧=++>⎪
=+>⎨⎪=->⎩
………………………1分
得
213a -<<
……………
…………2分
2110831810(0)M Q a a -=++>∆<
(3)
分
2210802050(0)M P a a -=++>∆<
(4)
分
M Q ∴>，M P >
又当213a -<<时，243P Q a -=-+，
当
28
a -<<时，即
P Q
<，则
P Q M
<< ………………………5分
当8a =时，P Q =,则P Q M =<
当
813
a <<时
，
P Q
>，
则
Q P M
<< …………………6分
(2）当28a -<<时，
lg 1lg lg 1lg P Q M Q +=⎧⎨
=+⎩即1010P Q
M Q =⎧⎨=⎩∴226210(2)108120710(262)
a a a a a -=+⎧⎨++=-⎩ 解得12a =,从而lg (1)12lg2n
a
P n n =+-⨯=- (7)
分
当813a <<时,
lg 1lg lg 1lg Q P
M P
+=⎧⎨=+⎩即1010P Q M P =⎧⎨=⎩∴2
210(262)108120710(2)a a a a a +=-⎧⎨++=+⎩ ， a 无解。

…
……………………8分
(3）设()f x 与x 轴交点为1
2
(,0),(,0)x x
122n n n a a a ++=+,
∴当()f x =0
时有2
(1)()0n
n x a x a
+++=
2122
1,n n
n n
a a x x a a ++∴=-=-
=- ………………………
9分
1222
|||1|||
n n n n a b x x a a +∴=-=-+
=
又
2lg 20n a n =->，2
n n
b a ∴=
11122114()n n n n n n
b b a a a a ---∴=
⨯=- (10)
分
1223
111111
11
4[()()(
)]4n n n
T a a a a a a -∴=⨯-+-+
+-
111111
12lg 22lg 2(12lg 2)(2lg 2)
n n a a n n -=
-=-=
---- …………11分
112(1)
1(12lg 2)(2lg 2)2
n n n n T n n
n ---=
>=
-- 1
23422223242(1)22345n n n T T T T n n
-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
…………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分。