课时作业5：一 数学归纳法

第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
一、选择题
1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：
(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋
11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )
A ．命题、推理都正确
B ．命题正确、推理不正确
C ．命题不正确、推理正确
D ．命题、推理都不正确
2．在数列{a n }中，a 1＝2－1，前n 项和S n ＝n ＋1－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )
A ．a n ＝n ＋1－1
B ．a n ＝n n ＋1－1
C ．a n ＝2n －n
D ．a n ＝n ＋1－n
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )
A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确
B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确
C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确
D ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确
4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1
B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.12n ＋1－12n ＋2
5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝14
n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值可以等于( )
A ．a ＝1，b ＝3
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝2
D ．a ＝2，b ＝3
6．某个命题与正整数n 有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A ．当n ＝6时该命题不成立
B ．当n ＝6时该命题成立
C ．当n ＝4时该命题不成立
D ．当n ＝4时该命题成立
二、填空题
7．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________________．
8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为________________．
9．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.
10．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…，
照此规律，第n 个等式可为____________________．
三、解答题
11．用数学归纳法证明：(3n ＋1)7n －1(n ∈N ＋)能被9整除．
12．求证：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1
(n ∈N ＋)．
13.请观察以下三个式子：
(1)1×3＝1×2×96
； (2)1×3＋2×4＝2×3×116
； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136
， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．
四、探究与拓展
14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3
时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．
15．已知数列11×4，14×7，17×10，110×13，…，1(3n －2)(3n ＋1)
，…，计算数列和S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．
答案精析
1．B 2.D 3.B
4．D [因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n ， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2
.] 5．D [令n ＝1,2得到关于a ，b 的方程组，解得即可．]
6．C [由已知得当n ＝k 时成立⇒n ＝k ＋1时成立．
∴当n ＝k ＋1时不成立⇒当n ＝k 时不成立．
∴由当n ＝5时不成立知，当n ＝4时不成立．]
7．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2
解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，
∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，
∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，
即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.
8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n －
1n 2
＝(－1)n －1·n (n ＋1)2 9．π
解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f (k ＋1)＝f (k )＋π.
10．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)
解析 由已知，得第n 个等式左边为
(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，右边为2n ×1×3×…×(2n －1)．
所以第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．
11．证明 (1)当n ＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．
(2)假设当n ＝k 时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除．
当n ＝k ＋1时，[(3k ＋3)＋1]·7k ＋
1－1
＝(3k ＋1＋3)·7·7k －1
＝7·(3k ＋1)·7k －1＋21·7k
＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ， 由归纳假设(3k ＋1)·7k －1能被9整除，
又因为18k ·7k ＋27·7k 也能被9整除，
所以[3(k ＋1)＋1]·7k ＋
1－1能被9整除，
即当n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对所有正整数n 命题成立．
12．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1
＝1，所以左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，
即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＝2k k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，
1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋k ＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)
＝
2k k ＋1＋11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝2k k ＋1＋2(k ＋1)(k ＋2)
＝2(k ＋1)2(k ＋1)(k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1
. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何x ∈N ＋等式都成立．
13．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6
. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，
即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)
＝k (k ＋1)(2k ＋7)6
， 当n ＝k ＋1时，
1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)
＝k (k ＋1)(2k ＋7)6
＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16
(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16
(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6
＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6
，
所以当n ＝k ＋1时，命题成立．
由①②知，命题成立．
14．(k ＋1)2＋k 2
解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.
15．解 S 1＝11×4＝14
， S 2＝14＋14×7＝27
， S 3＝27＋17×10＝310
， S 4＝310＋110×13＝413
. 上面四个结果中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1，于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1
.其证明如下：
(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝13×1＋1＝14
，猜想成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时猜想成立，
即11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1
成立，则当n ＝k ＋1时， 11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]
＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)
＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)
＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1
， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．
由(1)(2)知，猜想对任意n ∈N ＋，S n ＝n 3n ＋1
都成立．。