一、初等矩阵的概念

⎜⎝ 0 1 0⎟⎠
⎜⎝ 2 0 1⎟⎠
⎜⎝ 0 0 − 1⎟⎠
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞ P4 = ⎜ 0 1 0 ⎟.
⎜⎝ 0 0 − 1⎟⎠ 由初等方阵的性质得 A = P3P1EP2P4 = P3P1P2P4 .
M⎟
⎜⎝ 0 0 0 L 1⎟⎠
n
∑ 求 A 中所有元素的代数余子 式之和 Aij . i , j=1
解 Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆.
且 A* = A A−1.
⎜⎛ 2 2 2 L 2 1 0 0 L 0⎟⎞ ⎜0 1 1 L 1 0 1 0 L 0⎟
(A
E)
=
⎜ ⎜
0
0
1
L
1
0
0
1
L
对调 E 中第 i, j 两行，即 (ri ↔ rj )，得初等方阵
⎜⎛ 1 ⎜
O
⎟⎞ ⎟
⎜ ⎜
1
⎜
0L1
⎟
⎟ ⎟
←
第
i
行
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
E(i, j) = ⎜
MOM
⎟
⎜ ⎜ ⎜
1 1L0
⎟
⎟ ⎟
←
第
j
行
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
O⎟
⎜ ⎝
1 ⎟⎠
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A = (aij )m×n，得
⎜ ⎜⎝
0 0
0 1 0
0 0 1
3 −2 1
2 −3
⎟⎟⎞，
3 ⎟⎠
⎜⎛ 3 2 ⎞⎟ ∴ X = ⎜ − 2 − 3⎟.
⎜⎝ 1 3 ⎠⎟
如果要求Y = CA−1,则可对矩阵⎜⎛ A⎟⎞作初等列变换， ⎝C⎠
⎜⎛ A ⎟⎞ 列变换 ⎝C⎠
⎜⎛ ⎝
E CA−1
⎟⎞, ⎠
即可得 Y = CA−1.
⎜⎛ a11 ⎜M
a12
L
a1n ⎟⎞
M
M⎟
⎜ ⎜
ai1
+
ka
j1
ai 2 + ka j2
L
ain
+
a
jn
⎟ ⎟
Em (ij(k))A = ⎜ M
M
M⎟
⎜ ⎜
a j1
⎜M
aj2
L
a jn
⎟ ⎟
M
M⎟
⎜⎝ am1
am 2
L amn ⎟⎠
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri + krj ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第i行(ri × k)，得初等 矩阵E (i (k )).
⎜⎛ 1 ⎜
O
⎟⎞ ⎟
⎜ ⎜
1
E(i(k)) = ⎜
k
⎟
⎟ ⎟
←
第
i
行
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜
O⎟
⎜⎝
1 ⎟⎠
以 Em (i(k)) 左乘矩阵 A，
⎜⎛ a11 ⎜M
a12 L M
Em
(i
(1)
构造矩阵(
AM E
)或⎜⎛
⎝
A E
⎟⎞; ⎠
(2) 对(AME )施行初等行变换,将A化为单位矩阵E
后,右边E对应部分即为A−1(或对⎜⎛ A ⎟⎞施行初等列 ⎝E⎠
变换,将A划为单位阵E后, E对应部分即为A−1.
思考题
将矩阵
A
=
⎜⎛ ⎜
1 2
0 0
0 −1
⎟⎟⎞表示成有限个初等方阵
⎜⎝ 0 − 1 0 ⎟⎠
(k
))
A
=
⎜ ⎜
kai1
kai 2
L
⎜M M
⎜⎝ am1 am2 L
a1n ⎟⎞ M⎟
kain
⎟ ⎟
←
第
i
行
M⎟
amn ⎟⎠
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri × k)；
类似地，以 En(i(k)) 右乘 矩阵 A，其结果 相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci × k).
3、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
r1 + r2 r3 − r2
r1 + r2 r3 − r2
⎜⎛1 0 −2 −1 1 0⎟⎞ r1 − 2r3 ⎜0 −2 −5 −2 1 0⎟ ⎜⎝0 0 −1 −1 −1 1⎟⎠ r2 − 5r3
r1 − 2r3 r2 − 5r3
⎜⎛1 0 0 1 3 −2⎟⎞ r2 ÷（− 2）
⎜0 ⎜⎝0
0⎟⎟
⎜M M M
MMMM
M⎟
⎜⎝ 0 0 0 L 1 0 0 0 L 1⎟⎠
⎜⎛ 1
⎜ ⎜
0
0 1
0 0
L0 L0
1 −1 2
0
L
0 1 −1 L
0 ⎟⎞
0
⎟ ⎟
⎜⎜L
⎜⎜⎝
0 0
L 0
0
L L L
1 0
LM 00
10
M 0
0
O L L
O 1
0
−1M1⎟⎟⎟⎟⎠
∴
⎜⎛ 1
A−1
=
⎜ ⎜ ⎜
2 0
类似地，以 En(ij(k)) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j + kci ).
AEn (ij(k ))
⎜⎛ a11 L a1i + ka1 j L a1 j L a1n ⎟⎞
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 L am1
L L
a2i + ka2 j L
ami + kamj
L L
a2 j L amj
L L
a2n ⎟
L amn
⎟ ⎟⎟⎠
二、初等矩阵的应用
定理1 设A 是一个 m×n矩阵，对 A施行一
次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
变换 ri ↔ rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)−1 = E(i, j) ；
一、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
⎧1. 对调两行或两列； ⎪⎨2.以数 k ≠ 0 乘某行或某列； ⎪⎩3.以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
1、对调两行或两列
r1 − 2r3 ⎜⎛ 1 0 0 3 2 ⎟⎞
r2 − 5r3
⎜0 ⎜⎝ 0
−2 0
0 4 6⎟ − 1 − 1 − 3⎟⎠
r1 − 2r3 r2 − 5r3
⎜⎛ 1 0 ⎜0 −2 ⎜⎝ 0 0
0 3 2 ⎟⎞ 0 4 6⎟ − 1 − 1 − 3⎟⎠
r2 ÷（− 2） ⎜⎛ 1
r3
÷（
−
1）
−2 0
0 −1
3 −1
6 −1
−5⎟ 1 ⎟⎠
r3
÷（ −
1）
r2
÷（
−
2）⎜⎛ 1 ∴ A⎜−01
=
0⎜⎛ 1⎜
10 − 03
13
−−
3 3
−−3532 ⎟⎟⎞ .
−2 5
⎟⎞ ⎟
r3
÷（ −
1）⎜ ⎝
0
0⎜⎝
2 11
2 1
−121 ⎟⎠
2 −1
⎟ ⎠
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A−1B .
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
⎜⎛ a11 L a1 j L a1i L a1n ⎟⎞
AEn (i ,
j)
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 L am1
L L
a2 j L amj
L L
a2i L ami
L L
a2n ⎟
L amn
⎟ ⎟⎟⎠
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri + krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )，
⎜⎛ 1 ⎜
O
⎟⎞ ⎟
⎜ ⎜ E(ij(k)) = ⎜
1Lk O
⎟ ⎟
←
第i行
⎟
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
←
第j行
⎜
O⎟
⎜⎝
1 ⎟⎠
以 Em (ij(k)) 左乘矩阵 A，
M
−1 1 M
0 −1 O
L
L O
0 ⎟⎞
0
⎟ ⎟
M ⎟,
⎜ ⎜0
0
L
1
−
⎟ 1⎟
⎜⎝ 0 0 L 0 1 ⎟⎠
Q A* = 2 A−1,
∑ 故
n
Aij
i , j=1
=
2[1 + (n − 1) − (n − 1)] = 1. 2
三、小结
一次初等变换
1. 单位矩阵
初等矩阵.
2. 利用初等变换求逆阵的步 2
3 1
⎟⎟⎞,求
A−1
.
⎜⎝ 3 4 3⎟⎠
解
(A
E)
=
⎜⎛ ⎜
1 2
2 3 1 0 0⎟⎞ 2 1 0 1 0⎟
⎜⎝ 3 4 3 0 0 1⎟⎠
r2 − 2r1 ⎜⎛1 ⎜0
r3 − 3r1 ⎜⎝0
2 −2 −2
3 −5 −6
1 −2 −3
0 1 0
0⎟⎞ 0⎟ 1⎟⎠
Pl−1Pl−−11 L P1−1 A = E , 及 Pl−1Pl−−11 L P1−1E = A−1 ,
( ) ∴ Pl−1Pl−−11 L P1−1 A E
( ) = Pl−1Pl−−11 L P1−1 A Pl−1Pl−−11 L P1−1E = (E ) A−1
即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A−1.
⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎞⎟
⎜M M
M⎟
⎜ ⎜
a
j1
aj2
L
a jn
⎟ ⎟
←
第
i
行
Em(i, j)A = ⎜ M M
M⎟
⎜ ⎜
ai1
ai 2
L
ain
⎟ ⎟
←第
j
行
⎜M M
M⎟
⎜⎝ am1 am2 L amn ⎠⎟
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri ↔ rj ).
⎜⎝ 3 4 3 4 3⎟⎠
r2 − 2r1 ⎜⎛ 1 2 3 2 5 ⎟⎞ ⎜0 −2 −5 −1 −9 ⎟
r3 − 3r1 ⎜⎝ 0 − 2 − 6 − 2 − 12⎟⎠
r1 + r2 r3 − r2
⎜⎛ 1 0 − 2 1 − 4⎞⎟ ⎜0 − 2 − 5 −1 − 9⎟ ⎜⎝ 0 0 − 1 − 1 − 3⎠⎟
变换
ri × k 的逆变换为
ri
×
1 k
，
则 E (i(k ))−1 = E (i( 1 )); k
变换
ri × krj 的逆变换为
ri
×
(−
k
)r
，
j
则 E (ij(k ))−1 = E (ij(− k )) .
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1, P2 ,L, Pl ,使A = P1P2 LPl .
Q A−1( A B) = (E A−1B)
即
(A B)
初等行变换
E A−1B
例２ 求矩阵 X ,使 AX = B，其中
⎜⎛ 1 2 3⎟⎞
⎜⎛ 2 5⎟⎞
A = ⎜ 2 2 1⎟, B = ⎜ 3 1⎟.
⎜⎝ 3 4 3⎟⎠
⎜⎝ 4 3⎟⎠
解 若 A 可逆，则 X = A−1B.
⎜⎛ 1 2 3 2 5⎟⎞ (A B) = ⎜2 2 1 3 1⎟
证 Q A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,L, Pl , 使
P1P2 LPr EPr+1 LPl = A
即
A = P1 P2 L Pl .
推论 m × n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在
m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q,使 PAQ = B.
也可改为对 ( AT ,CT ) 作初等行变换， （AT , CT ) 列变换 ( E, ( AT )−1CT ),
即可得 Y T = ( A−1 )T CT = ( AT )−1CT , 即可求得 Y .
⎜⎛ 2 ⎜0
2 1
2 1
L L
2 ⎟⎞ 1⎟
例3
已知
n
方阵
A
=
⎜ ⎜
0
0
1
L
1 ⎟⎟,
⎜M M M
的乘积 .
思考题解答
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
⎜⎛ 1 0 0⎟⎞
⎜⎛ 1 0 0⎟⎞
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞
P1 = ⎜ 0 0 1⎟, P2 = ⎜ 0 1 0⎟, P3 = ⎜ 0 1 0 ⎟,
~ 例如：⎢⎣⎡−11
2 −2
3⎤ − 3⎥⎦
⎡− 1 − 3 − 2⎤
⎢ ⎣
1
3
2
⎥ ⎦
利用初等矩阵表示为
⎡0 ⎢⎣1
1⎤⎡ 1 0⎥⎦ ⎢⎣− 1
2 −2
⎡1
3⎤ − 3⎥⎦
⎢⎢0 ⎢⎣0
0 0 1
0⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥⎦
=
⎡−1
⎢ ⎣
1
−3 3
− 2⎤
2
⎥ ⎦
利用初等变换求逆阵的方法： 当 A ≠ 0时，由 A = P1P2 LPl，有