数学_2014年山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2014年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合A ={y|0≤y <2}，B ={x||x|>1}，则A ∩(∁R B)=( )
A {x|0≤x ≤1}
B {x|1≤x <2}
C {x|−1<x ≤0}
D {x|1<x <2} 2. 已知1−bi
1+2i =a +i(a, b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a +b =( ) A −4 B 4 C −10 D 10
3. 数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5=1，则a 10=( ) A 5 B −1 C 0 D 1
4. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, 0<φ<π)的图象如图所示，则f(π
4)的值为
( )
A √2
B 0
C 1
D √3
5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l:x −ky +1=0与圆C:x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，OM →
=OA →
+OB →
．若点M 在圆C 上，则实数k =( )
A −2
B −1
C 0
D 1
6. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是（ ）
A 0
B −1
C −2
D −3
7. 设n =∫(π2
04sinx +cosx)dx ，则二项式(x −1
x )n 的展开式中x 的系数为（ ） A 4 B 10 C 5 D 6
8. 已知点P(a, b)与点Q(1, 0)在直线2x +3y −1=0的两侧，且a >0，b >0，则a−1b
的取
值范围是( )
A (−∞, −3)
B (−1
3，0) C (3, +∞) D (0,1
3)
9. 已知三棱锥D −ABC 中，AB =BC =1，AD =2，BD =√5，AC =√2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A √6π
B 6π
C 5π
D 8π
10. 已知偶函数f(x)满足f(x +1)=f(x −1)，且当x ∈[0, 1]时，f(x)=x 2，则关于x 的方程f(x)=10−|x|在[−
103
, 103]上根的个数是（ ）
A 4个
B 6个
C 8个
D 10
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线y =1
4x 2的焦点坐标是________．
12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到(x, y)的四组观测值并制作了如下
的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为y ̂=b
̂x +60，其中b ̂的值没有写
13. 已知|a →
|=2，|b →
|=4，以a →
，b →
为邻边的平行四边形的面积为4√3，则a →
和b →
的夹角为________．
14. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________． 15. 对于下列命题：
①函数f(x)=ax +1−2a 在区间(0, 1)内有零点的充分不必要条件是1
2
<a <2
3
；
②已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“a <2”是“对任意的实数x ，|x +1|+|x −1|≥a 恒成立”的充要条件；
④“0<m <1”是“方程mx 2+(m −1)y 2=1表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知函数f(x)=2sinxcosx +2√3cos 2x −√3，x ∈R ． （1）求函数y =f(−3x)+1的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若锐角A 满足f(A
2−π
6)=√3，且a =7，sinB +sinC =
13√314
，求△ABC 的面积．
17. 某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：
(1)若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；
(2)现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为ξ，令η=2ξ+1，求随机变量η的分布列及数学期望E(η).
18. 如图，在四棱锥E −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知AE =DE =2，F 为线段DE 的中点． （1）求证：BE // 平面ACF ；
（2）求二面角C −BF −E 的平面角的余弦值．
19. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n ⋅a n+1=(1
2)n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n =a 2n +
a 2n−1，n ∈N ∗．
（1）判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； （2）求T 2n ．
20. 已知动圆P 与圆F 1：(x +3)2+y 2＝81相切，且与圆F 2：(x −3)2+y 2＝1相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点F 2作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两个不同的点． (Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
(Ⅲ)记△QF 2M 的面积为S 1，△OF 2N 的面积为S 2，令S ＝S 1+S 2，求S 的最大值．
21. 已知函数f(x)＝−x 3+x 2(x ∈R)，g(x)满足g′(x)=a
x (a ∈R, x >0)，且g(e)＝a ，e 为
自然对数的底数．
(Ⅰ)已知ℎ(x)＝e 1−x f(x)，求ℎ(x)在（1, ℎ(1)）处的切线方程；
(Ⅱ)若存在x ∈[1, e]，使得g(x)≥−x 2+(a +2)x 成立，求a 的取值范围；
(Ⅲ)设函数F(x)={f(x),x <1
g(x),x ≥1 ，O 为坐标原点，若对于y ＝F(x)在x ≤−1时的图象上的任
一点P ，在曲线y ＝F(x)(x ∈R)上总存在一点Q ，使得OP →
⋅OQ →
<0，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．
2014年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）答案
1. A
2. A
3. D
4. D
5. C
6. C
7. B
8. A
9. B 10. B 11. (0, 1) 12. 70 13. π
3或2π
3 14. 60
15. ①②④
16. 解：（1）∵ f(x)=2sinxcosx +√3(2cos 2x −1)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π
3)…
∴ y =f(−3x)+1=2sin(−6x +π3)+1=−2sin(6x −π
3)+1， ∴ y =f(−3x)+1的最小正周期为T =
2π6
=π
3…
由2kπ−π
2≤6x −π
3≤2kπ+π
2得：1
3kπ−π
36≤x ≤1
3kπ+5π
36，k ∈Z ， ∴ y =f(−3x)+1的单调递减区间是[1
3
kπ−
π36
，13kπ+5π
36]，k ∈Z…
（2）∵ f(A
2−π
6)=√3，∴ 2sin(A −π
3+π3)=√3，∴ sinA =√32
… ∵ 0<A <π
2，∴ A =π
3． 由正弦定理得：sinB +sinC =b+c a
sinA ，
即
13√3
14
=
b+c 7
×
√3
2
，∴ b +c =13…
由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得：a 2=(b +c)2−2bc −2bccosA ， 即49=169−3bc ，∴ bc =40...1 ∴ S △ABC =12bcsinA =1
2×40×
√3
2
=10√3…
17. 解：(1)设“两名学生来自同一学院”为事件A ， 则P(A)=
C 42+C 62+C 32+C 5
2C 18
2=2
9
，
即两名学生来自同一学院的概率为29
.
(2) ξ的可能取值是0，1，2，对应的η可能的取值为1，3，5， P(η=1)=P(ξ=0)=C 14
2C 182=91
153，
P(η=3)=P(ξ=1)=
C 41C 141C 18
2=56
153，
P(η=5)=P(ξ=2)=C 4
2
C 18
2=2
51，
所以η的分布列为
所以E(η)=1×91
153+3×56
153+5×2
51=
179
.
18. （1）证明：连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…
∵ ABCD 为正方形，∴ O 为BD 中点， ∵ F 为DE 中点，∴ OF // BE ，… ∵ BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ， ∴ BE // 平面ACF ．…
（2）解：∵ AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴ AE ⊥CD ，∵ ABCD 为正方形，∴ CD ⊥AD ，
∵ AE ∩AD =A ，AD ，AE ⊂平面DAE ，∴ CD ⊥平面DAE ， ∵ DE ⊂平面DAE ，∴ CD ⊥DE…
∴ 以D 为原点，以DE 为x 轴建立如图所示的坐标系， 则E(2, 0, 0)，F(1, 0, 0)，A(2, 0, 2)，D(0, 0, 0)
∵ AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴ AE ⊥DE ，∵ AE =DE =2， ∴ AD =2√2，∵ ABCD 为正方形，∴ CD =2√2，∴ C(0,2√2，0)， 由ABCD 为正方形可得：DB →
=DA →
+DC →
=(2,2√2,2)，∴ B(2,2√2，2) 设平面BEF 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， BE →
=(0,−2√2,−2)，FE →=(1,0,0)
由{n 1→⋅FE →
=0˙⇒{−2√2y 1−2z 1=0
x 1=0
，
令y 1=1，则z 1=−√2∴ n 1→
=(0,1,−√2)… 设平面BCF 的法向量为n 2→
=(x 2,y 2,z 2)， BC →
=(−2,0,−2)，CF →
=(1,−2√2,0)
由{n 2→⋅CF →
=0˙⇒{−2x 2−2z 2=0
x 2−2√2y 2=0
，
令y 2=1，则x 2=2√2，z 2=−2√2，
∴ n 2→
=(2√2,1,−2√2)…
设二面角C −BF −E 的平面角的大小为θ，则cosθ=cos(π−<n 1→
，n 2→
>)=−cos <n 1→
，
n 2
→>=
−|n 1→|⋅
|n 2→
|˙ =√3×√17
=−
5√51
51
∴ 二面角C −BF −E 的平面角的余弦值为−
5√51
51
… 19. 解：（1）∵ a n ⋅a n+1=(1
2)n ，∴ a n+1⋅a n+2=(1
2)n+1， ∴
a n+2a n
=12，即a n+2=1
2a n …
∵ b n =a 2n +a 2n−1，∴
b n+1b n
=
a 2n+2+a 2n+1a 2n +a 2n−1
=
12a 2n +12a
2n−1
a 2n +a 2n−1
=1
2
所以{b n }是公比为12
的等比数列．…
∵ a 1=1，a 1⋅a 2=1
2，∴ a 2=1
2⇒b 1=a 1+a 2=3
2∴ b n =3
2×(1
2)n−1=3
2n …
（2）由（1）可知a n+2=1
2
a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1=1为首项，以1
2
为公比的等比
数列；
a 2，a 4，a 6，…是以a 2=12为首项，以1
2为公比的等比数列 … ∴ T 2n =(a 1+a 3+...+a 2n−1)+(a 2+a 4+...+a 2n )=1−(12)n
1−12
+
12[1−(12
)n ]1−12
=3−3
2n …
20. （本小题满分1
(I)设圆心P 的坐标为(x, y)，半径为R
由于动圆P 与圆F 1:(x +3)2+y 2=81相切， 且与圆F 2:(x −3)2+y 2=1相内切，所以动 圆P 与圆F 1:(x +3)2+y 2=81只能内切
∴ {|PF 1|=9−R |PF 2|=R −1
，∴ |PF 1|+|PF 2|＝8>|F 1F 2|＝6
∴ 圆心P 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中2a ＝8，2c ＝6， ∴ a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2−c 2＝7 故圆心P 的轨迹C:x 2
16+
y 27
=1．
(II)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，Q(x 3, y 3)， 直线OQ:x ＝my ，则直线MN:x ＝my +3
由{x =my
x 216+y 27=1 ，得：{x 2=112m 27m 2+16
y 2=1127m 2+16 ，∴ {x 32=112m 2
7m 2+16
y 32
=1127m 2+16 ， ∴ |OQ|2
=x 32
+y 32
=112m 2
7m 2+16+112
7m 2+16=
112(m 2+1)7m 2+16
⋯
由{x =my +3x 216
+y 27
=1
，得：(7m 2+16)y 2+42my −49＝0，
∴ y 1+y 2=−42m 7m 2+16,y 1y 2=−49
7m 2+16，
∴ |MN|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√[(my 2+3)−(my 1+3)]2+(y 2−y 1)2 =√m 2+1|y 2−y 1|=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√m 2
+1√(−42m 7m 2+16)2−4(−497m 2+16)=56(m 2+1)7m 2+16⋯ ∴
|MN||OQ|2
=
56(m 2+1)
7m 2+16112(m 2+1)7m 2+16
=1
2
，
∴ |MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为12
⋯ (III)∵ MN // OQ ，∴ △QF 2M 的面积＝△OF 2M 的面积， ∴ S ＝S 1+S 2＝S △OMN
∵ O 到直线MN:x ＝my +3的距离d =√m 2+1
，
∴ S =1
2|MN|⋅d =1
2×
56(m 2+1)7m 2+16
×
√m 2+1
=
84√m 2+17m 2+16
⋯
令√m 2+1=t ，则m 2＝t 2−1(t ≥1)S =84t
7(t 2−1)+16=84t
7t 2+9=
847t+
9t
，
∵ 7t +9
t ≥2√7t ⋅9
t =6√7（当且仅当7t =9
t ，即t =√
7
，亦即m =±√14
7
时取等号） ∴ 当m =±
√14
7时，S 取最大值2√7⋯ 21. （1）∵ ℎ(x)＝(−x 3+x 2)e 1−x ，ℎ′(x)＝(x 3−4x 2+2x)e 1−x ，
∴ ℎ(1)＝0，ℎ′(1)＝−1，
∴ ℎ(x)在（1, ℎ(1)）处的切线方程为：y ＝−(x −1)， 即y ＝−x +1；
（2）∵ g ′(x)=a
x (a ∈R,x >0)，
∴ g(x)＝alnx +c ，
∴ g(e)＝alne +c ＝a +c ＝a ⇒c ＝0，从而g(x)＝alnx ， 由g(x)≥−x 2+(a +2)x ，得：(x −lnx)a ≤x 2−2x ． 由于x ∈[1, e]时，lnx ≤1≤x ，且等号不能同时成立， 所以lnx <x ，x −lnx >0． 从而a ≤x 2−2x
x−lnx
，为满足题意，必须a ≤(x 2−2x
x−lnx )max ． 设t(x)=
x 2−2x x−lnx
，x ∈[1, e]，
则t ′(x)=
(x−1)(x+2−21nx)
(x−lnx)2
；
∵ x ∈[1, e]，
∴ x −1≥0，lnx ≤1，x +2−2lnx >0， 从而t ′(x)≥0，
∴ t(x)在[1, e]上为增函数， 所以t(x)max =t(e)=e 2−2e e−1
，
从而a ≤
e 2−2e e−1
．
(Ⅲ)设P （t, F(t)）为y ＝F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点，则t ≤−1， ∵ PQ 的中点在y 轴上， ∴ Q 的坐标为（−t, F(−t)）， ∵ t ≤−1，∴ −t ≥1，
所以P(t, −t 3+t 2)，Q （−t, aln(−t)）， OP →
⋅OQ →
=−t 2−at 2(t −1)ln(−t)． 由于OP →
⋅OQ →
<0，
所以a(1−t)ln(−t)<1．
当t ＝−1时，a(1−t)ln(−t)<1恒成立， ∴ a ∈R ； 当t <−1时，a <1(1−t)ln(−t)
，
令φ(t)=
1(1−t)ln(−t)
(t <−1)， 则φ′(t)=
(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2
∵ t <−1，∴ t −1<0，tln(−t)<0， ∴ φ′(t)>0，
从而φ(t)=1
(1−t)ln(−t)在(−∞, −1)上为增函数， 由于t →−∞时，φ(t)=1
(1−t)ln(−t)→0， ∴ φ(t)>0，∴ a ≤0
综上可知，a 的取值范围是(−∞, 0]．。