高考数学总复习 第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题课件 文

大利润是多少？(利润＝收入－成本)
思路点拨：根据题意，列出利润的函数关系式，进而可用 导数(dǎo shù)求最值的方法进行求解．
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解析：每月生产
x
吨时的利润为
f(x)＝24
200－51x2x－(50
000＋
200x)＝－15x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由 f′(x)＝－35x2＋24 000＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)．
zhí)点 (3)比较函数在_区__间__端__点___和__极__值__点__的函数值的大小，获得 所求函数的最大(小)值； (4)还原到实际(shíjì)问题中作答．
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基础(jīchǔ) 1．以自长测为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
A．10
B．15
C．25
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解析：由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20 000＋100x，所 以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝ 300x－x22－20 000，0≤x≤400， 60 000－100x，x>400， 而 P′(x)＝3－001－00x，，x0>≤40x0≤，400， 令 P′(x)＝0，得 x＝ 300，易知 x＝300 时，P 最大． 答案：300
②当
20<t≤30
时，由
Q(t)>6Fra bibliotek300⇒
70 3
<t<30
⇒
t
＝
24,25,26,27,28,29；
③当 30<t≤40 时，Q(t)<Q(30)＝6 300.
综上所述，第一批产品 A 上市后，在第 24,25,26,27,28,29 天，
这家公司的日销售利润超过 6 300 万元．
点评：对于分段函数的问题，应该对自变量分段进行(jìnxíng)
利用导数解决(jiějué)生活中的优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的
数__学__模__型__，写出实际问题中__变__量__(_b_ià_n_l_ià_n_g_)_间__的__函__数__关__系，式根y＝据f实(x际)
问题确定定义域；
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(2)求函数y＝f(x)的_导__数__(_d_ǎ_o___，解方程___f′_(_x)_＝__0__，得出定 义域内的实根，确定____s_极h_ù_值)_f；′((jxí)
(1)分别写出国内市场的日销售(xiāoshòu)量f(t)、国外市场的日销售 (xiāoshòu)量g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式．
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售(xiāoshòu)利润 超过6 300万元？
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思路点拨：本题给出的是随着(suízhe)时间t的不同，对应的日 销售量y的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式应 为一个分段函数的形式，应针对自变量x的取值不同分别求出其最大 值，然后再进行比较．
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解析：(1)f(t)＝2－t，6t0＋≤2t4≤0，303，0<t≤40， g(t)＝－230t2＋6t(0≤t≤40)． (2)设每件产品 A 的销售利润为 u(t)，则 u(t)＝36t0，，02≤0<t≤t≤2400，， 从 而这家公司的日销售利润 Q(t)的解析式为 Q(t)＝u(t)[f(t)＋g(t)]
答案：C
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4．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架(kuànɡ jià)，如果 制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时，容器容 积最大．
解析： 设容器的短边长为 x m , 另一边长 (x＋0.5) m, 高为 14.8－4x－4 4x＋0.5＝3.2－2x,0＜x＜1.6， 则 y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0<x<1.6)， 令 y′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，得 x1＝1，x2＝－145(舍去)， 所以 x＝1 时 y 有最大值，此时高为 1.2 m，最大容积为 1.8 m3. 答案： 1.2 m
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(2)设用于产能升级的资金为 x 百万元，则用于广告促销的资金为 (3－x)百万元， 又设由此获得的收益是 g(x)，则有 g(x)＝－13x3＋x2＋3x＋[－(3 －x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，求导得 g′(x)＝－ x2＋4， 令 g′(x)＝0，解得 x＝－2(舍去)或 x＝2. 当 0≤x<2 时，g′(x)>0；当 2<x≤3 时，g′(x)<0. 故 g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数． 所以 x＝2 时，g(x)取最大值，即将 2 百万元用于产能升级，1 百 万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
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考点(kǎo 与分段函数(hánshù)有关的优化问题 diǎn)二
【例2】 (2012·上海市闸北区模拟)某公司是一家专做产品A的国内 外销售(xiāoshòu)的企业，每一批产品A上市销售(xiāoshòu)40天内全部售 完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售(xiāoshòu)情况进行了 跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其中图①中的折线表示的 是国内市场的日销售(xiāoshòu)量与上市时间的关系，图②中的抛物线表 示的是国外市场的日销售(xiāoshòu)量与上市时间的关系，图③中的折线 表示的是每件产品A的日销售(xiāoshòu)利润与上市时间的关系(国内、外 市场相同)．
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(2)f′(x)＝x＋m 1－110＝101m0－x＋x＋11＝－[x1－0x1＋0m1－ 1]， 令 f′(x)＝0，得 x＝10m－1. ①若 10m－1≤1，即 0＜m≤15，则 f(x)在[1,9]上为减函数，当 x＝1 时，f(x)有最大值． ②若 1＜10m－1＜9，即15＜m＜1，则 f(x)在[1,10m－1]上是增函数， 在[10m－1,9]上是减函数，当 x＝10m－1 时，f(x)有最大值． ③若 10m－1≥9，即 m≥1，则 f (x)在[1,9]上是增函数，当 x＝9 时， f(x)有最大值． 因此，当 0＜m≤15时，投放 B 型电视机 1 万元；当15＜m＜1 时，投 放 B 型电视机(10m－1)万元，当 m≥1 时，投放 B 型电视机 9 万元，农 民得到的总补贴最大．
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变式探究 (tànjiū)
1．(2012·泉州市检测)某公司生产一种产品，每生产1千件需投
入(tóurù)成本81万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元)
与年产量x(单位：千件)满足关系：R(x)＝－x2＋
324(0<x≤10)．该公司为了在生产中获得最大利润(年利润＝
年销售收入－年总成本)，则年产量应为
金额都不低于1万元．
(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为
它的函数，并求其定义域．
(2)当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴
最大？
解析：(1)设投放 B 型电视机的金额为 x 万元，则投放 A 型电视 机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴 f(x)＝110(10－x)＋mln (x ＋1)，1≤x≤9.
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考点
社会热点(rè diǎn)有关的优化问题
(d有kiǎǎAno，)三【B两例种3】型号(2的01电1·视长机沙参等加四家县电市下(x乡iàn活sh动ì)，调若研企)某业电投视放生A产，企B两业
种型号电视机的价值分别为a，b万元，则农民购买电视机获得的补
贴分别为1 a，mln(b＋1)万元(m＞0且为常数)．已知该企业投放总 价值为101万0 元的A，B两种型号的电视机，且A，B两种型号的投放
考虑，对每一段考虑其最值的情况，然后再将这几段的最值情况
综合起来进行(jìnxíng)比较．
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变式探究 (tànjiū)
2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品，成本 增加100元，已知总收益(shōuyì)R与年产量x的关系是R＝
R__(_x_)＝____48件000．0x0－0，12xx2>，4000≤，x≤40则0总，利润最大时，每年生产的产品是
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考点探究
考点
利润(lìrùn)最大问题
(kǎo
diǎn)【一例1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量
x(单位：吨)与每吨产品的价格p(单位：元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－ 1 x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(单位： 元)．问：该5厂每月生产多少吨产品才能使利润f(x)达到最大？最
令 f′(r)＝0，得 V＝2πr3.又 πr2h＝V，∴πr2h＝2πr3，hr＝2.故选 B.
答案：B
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3．一个(yī ɡè)物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的
单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是
()
A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒
D．8米/秒
解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度(shùn shísùdù)， 由s＝1－t＋t2求导得v＝s′＝－1＋2t，当t＝3时，v＝5.故选C.
第二章 函数、导数(dǎo shù)及其应用
第十五节 用导数(dǎo shù)解决生活中的 优化问题
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考纲要求
会利用导数解决(jiějué)某些实际问题．
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课前自修
知识(zhī shi)梳理
优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中 有关求利润_______最_、大用料________最、省效率________最等高问题通常称 为________问优题化．
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变式探究
(tànjiū)
3．某集团为了获得更大的收益，每年要投入(tóurù)一不定期的资金
用于广告促销，经调查，每年投入(tóurù)广告费t 百万元，可增加
销售额约为(－t2＋5t)百万元(0≤t≤5)．
(1)若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入(tóurù)
多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
() A．5千件
3
B．6 千件
C．9千件
D．10千件
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解析：依题意，年利润y＝x(－x2＋324)－81x＝－x3＋243x (0<x≤10)，求导得y′＝－3x2＋243，令y′＝0，得x＝9(舍去负 值)，因为0<x<9时，y′>0，x>9时，y′<0，所以(suǒyǐ)当x＝9 时，y有最大值．故选C. 答案：C
－290t3＋24t2，0≤t≤20， ＝－ －99tt22＋ ＋418404t0，0，203<0t≤<t≤304，0.
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①当 0≤t≤20 时，Q′(t)＝t－27t＋2020×48≥0⇒Q(t)在区间
[0,20]上单调递增，从而 Q(t)≤Q(20)＝6 000<6 300；
(2)现该公司准备共投入(tóurù)3百万元，分别用于广告促销和产
能升级，经预测，每投入(tóurù)产能升级费x 百万元，可增加的
销售额约为
百万元，请设计一个资金分配方案，
使该公司由－此13x获3＋得x2的＋收3x益 最大？(注：收益＝销售额－投入(tóurù))
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解析：(1)设投入 t 百万元的广告费后增加的收益为 f(t)百万元，则 有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t≤3)． 当 t＝2 百万元时，f(t)取得最大值 4 百万元，即投入 2 百万元的广 告费时，该公司由此获得的收益最大．
因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200，使 f′(x)＝0，
由 f′(x)知它是最大值点，且最大值为
f(200)＝－15(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．
所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元．
点评：利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果 函数在区间内只有一个(yī ɡè)极值点，那么依据实际意义，该极 值点也就是最值点．
()C D．50
2．圆柱形金属(jīnshǔ)饮料罐容积一定时，要使材料最省，则它的高与半
径的比应为
()
A. 1
B．2
C. 1
D．3
2
3
解析：设圆柱的底面半径为 r，圆柱的高为 h，体积为 V，则有 πr2h
＝V.表面积 f(r)＝2πrh＋2πr2＝2rV＋2πr2，求导得 f′(x)＝－2rV2 ＋4πr.