湖南省2019届高三三模数学(理)试卷附答案

湖南省2019届高三三模数学（理）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.
1.已知集合{}
R x x y y M ∈-==,12，{}
R x x y x N ∈-==,32，则M
N 为
A ．]3,3[-
B ．]3,1[-
C ．φ
D ．]3,1(- 2.下列命题中，正确的是
①{}也成等差数列，项和，则是其前是等差数列，已知n n n n n n n S S S S S n S a 232,--； ②“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件； ③复数321,,Z Z Z ，若()()02
322
21=-+-Z Z Z Z ，则31Z Z =；
④命题“02,02
0>--∈∃x x R x ”的否定是“02,2<--∈∀x x R x ”A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④
3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q 等于
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．92
B ．27
5
C ．31
D ．324555.在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边 关于y 轴对称．若3
tan 5
α=
，则()βα-tan 的值为 A ．0 B ．
1715 C ．16
9 D ．
8
15
6.已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点
D C B A ，，，的距离都大于1的概率为
A.
π B.π C.π2
23- D.1π- 开始
7.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同， 如图所示，记甲的体积为甲V ，乙的体积为乙V ，则有 A ．乙甲V V < B ．乙甲V V =
C ．乙甲V V >
D ．乙甲、V V 大小不能确定
8.已知n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+12展开式的各个二项式系数的和为128，则n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+1的展开式中2x 的系数为
A ．44
B ．560
C ．7
D ．35
9.已知点P 为双曲线)00(122
22>>=-b a b
y a x ，右支上一点，点2,1F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是2
1F PF ∆的内心，若恒有21213
1
F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1，2]
B ．(1，2)
C ．(0，3]
D ．(1，3]
10.设函数x x f lg )(=，若存在实数b a <<0，满足)()(b f a f =，则8
log 2
22b a M +=,
2
21log ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=b a N ，21ln e Q =的关系为
A ．Q N M >>
B ．N Q M >>
C ．M Q N >>
D ．Q M N >>
11.如图，GCD ∆为正三角形，AB 为GCD ∆的中位线，AE AB 3=,
BF BC 3=,O 为DC 的中点，则向量FE ，夹角的余弦值为
A.
21 B.2
1- C.22- D.22
12.已知函数2
3
4)(,132)(23+-
=+-=x a x g ax ax x f ，若对任意给定的[]2,0∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间[]2,0上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是
A.(－∞，1]
B.(0，1)∪{－1}
C. ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡181， D.(－1，0)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛181， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.
13.某学校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法，从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为______．
14.设2z x y =+，其中,x y 满足20
00x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若Z 的最小值是9-，则Z 的最大值为 ．
15.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面，4,2,60,====∠︒AC PA AB BAC ABC 则三棱锥ABC P -
外接球的体积为 ．
16.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)1(),1()2
1
(=-=+f x f x f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，
且)(124+∈=-N n S a n n ，则)()(63a f a f +＝________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2
π
≠A ，且 ,sin cos 62sin B A A b =
（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若3
π
=A ，求ABC ∆周长的取值范围．
18.（本小题满分12分）
政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门
对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机 抽样的方法抽取110人进行统计，得到如右列联表：
(Ⅰ)用独立性检验的思想方法说明有多少的把握认为不买房心理预期与城乡有关？
参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，
（Ⅱ）某房地产中介为增加业绩，决定针对买房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．
已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为
16，获得“二等奖”的概率为1
3
，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面， //,1, 4.DC EB DC EB AB === （Ⅰ） ACD DE 平面求证：⊥;
（Ⅱ）.值所成的锐二面角的余弦与平面，求平面若ABE AED BC AC =
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其
周长为24.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）
21.（本小题满分12分）
已知函数()()1ln ,1
a x f x x a R x -=-
∈+．
（Ⅰ）若2=x 是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设,m n 为正实数，且m n >，求证：
ln ln 2
m n m n
m n -+<
-．
请考生在第22，23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目记分.
22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]
.
)10(,0的取值范围为直径的圆内，求总在以线段，若点的对称点为关于原点两点，点、相交于与椭圆的直线）（设过点m EF D D B F E C l m m B <
<
已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．
23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]
已知函数()22f x x ax =+--．
（Ⅰ）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；
（Ⅱ）若不等式()2f x x >-对()0,2x ∈恒成立，求a 的取值范围．
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2019届高三期考 理科数学答案
一、选择题（12560''⨯=）
13. 2; 14. 9； 15. 3
264π
； 16. 0. 10提示：
()()f a f b =， |lg ||lg |a b ∴
=，lg lg 0a b ∴+= 2,41
211,12
-<∴<++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=N b a b a ab 即2,1
41482
22->∴⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+>=>
+M b a ab b a 又
N Q M Q >>∴-=,2又
11提示：以O 为原点，DC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设GCD ∆的边长为4，
则
),
33
2,34(),0,2(,3,31),3,1(F C E A ）（-- ,
914
),332,34(),33,35(-=⋅=-=OF FE OF FE ，3
72372==
.
21
,.cos ->=<OF FE
12提示：2
()666(1)f x ax ax ax x '=-=-
显然不可能满足题意，时，当,23
)(,1)(0)1(=
==x g x f a
单调递减，时，）当（)(,0)(),1,0(02'x f x f x a <∈>
单调递增，)(,0)(),2,1('x f x f x >∈1)0(,41)2(,1)1()(1=+=-==f a f a f x f x 且有极小值时，
是减函数，时，当又23
4)(0+-
=>x a x g a
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-∈∈∀23,232)(,2,0a m g m 对 ,
181
,12324123
⎪⎩⎪⎨⎧<≤>+-+≤a a a 解得由题意，须
是增函数，不合题意。

时，当234)(0)3(+-
=<x a x g a .181
<≤a 综上，
15提示：在ABC ∆中，2
222cos 6012BC AC AB AC AB =+-⋅=
且外接圆直径为
为ABC Rt ABC BC ∆∆=,
32
,
423
3
2sin 2==∠=
BAC BC r 326434,8)2(3222π
π=
=∴=+=∴R V SA r R 16提示：由1(
)(1)2f x f x +=-得3
()()2
f x f x -= ),()()23()(x f x f x f x f --==-∴为奇函数，又 )
())(23
())23(23()3(x f x f x f x f =---=---=+∴
.3)(为周期的周期函数是以x f ∴
{}得满足又由数列124=-n n n S a a 21241-1-≥=-n S a n n （
2
1124),2(21111=
=-≥=∴-a S a n a a n n 得又{}212.2
1
2-==
∴n n n a a a 为首项的等比数列为公比，是以,1)1()1()2()(,16,2363-=-=-==∴==∴f f f a f a a .0)()(,1)1()16()(636=+∴===a f a f f f a f
17解：（Ⅰ）由sin 26cos sin b A A B =得sin cos 3cos sin b A A A B =…………3分
33ba b a ∴=⇒=……………………6分
C
c
B b sin sin 3
sin
3)2(=
=
π
由正弦定理得
sin b B ∴=
，sin c C =………………………8分
）（的周长C B C B ABC sin sin 323sin 32sin 323++=++=∆∴
233[sin(
)sin ]36sin()36
C C C ππ
=+-+=++…………10分 ,6
5,6632,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+
∴⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈π
ππ
πC C
⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+
1,21)6sin(π
C ， ABC ∴∆周长的取值范围是(6,9)L ∈…………12分
18解：（Ⅰ）由表中数据可得，024.5366.690
208030)10207010(1102
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ∴有97.5%的把握认为不买房与城乡有关 ………………… 6分
（Ⅱ）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，6，9，12千元，
，412121)0(=⨯=
=X P 3131212)3(=⨯⨯==X P ， 185216123131)6(=⨯⨯+⨯==X P ，91
61312)9(=⨯⨯==X P ，
361
6161)12(=
⨯==X P
………………8分
所以奖金总额的分布列如下表：
()11511
03691244318936
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元 …………… 12分
19证明：（Ⅰ） ∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，
又AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A ，B 的点，∴AC ⊥BC ， 又AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD . 又DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形BCDE 是平行四边形， ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ………………… 6分 (Ⅱ)解 在Rt △ACB 中，AB ＝4，AC ＝BC ， ∴AC ＝BC ＝22，
如图，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A (22，0,0)，D (0,0,1)，B (0,22，0)，E (0，22，1)， ＝(－22，0,1)，＝(0,22，0)，＝(－22，22，0)，＝(0,0,1) 设平面ADE 的一个法向量为),,(1111z y x n =， 则）
，（得令2,0,1,1,0
220
221111111==⎪⎩⎪⎨
⎧==⋅=+-=⋅n x y n z x n
设平面ABE 的一个法向量为),,(2222z y x n =， 则）
，（得令01,1,1,00
22222222222==⎪⎩
⎪⎨
⎧==⋅=+-=⋅n x z n y x n ……………8分
6
2
2
31,cos 21=
=
>=
<∴n n . ∴平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为2
6
.……………… 12分
20解：
（Ⅰ）由题意，得：4,a b c ⎧⎪⎨
⎪⎩==………………………… 2分
又因为222c b a +=
解得a 1b =，1c = ………………… 3 分 所以椭圆C 的方程为12
22
=+y x .……………………… 4分 （Ⅱ）解法一： 10<<m . ∴点B 在椭圆内. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.
由方程组22
,
1,2
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-= 点B 在椭圆内，∴直线l 与椭圆C 有两个公共点，
即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km .
设),(),,(2211y x F y x E ，则122421
km x x k -+=+，212222
21m x x k -=+.………………… 6分
设EF 的中点),(00y x G ，则1
2222210+-=+=k km
x x x ，12200+=+=k m m kx y ， ∴)1
2,122(
22++-k m
k km G . ∴2
222)12()122(m k m k km DG ++++-=1
24124224+++=k k k m
2122124)(1x x x x k EF -++=1
2121222222
+-++=k m k k .
点D 总在以线段EF 为直径的圆内， ∴2
EF DG <
对于k ∈R 恒成立.
∴ 1
212121
24
1242
2
22
2
24
+-++<+++k m k k k k k m …………………8分 化简，得1323722422242++<++k k m k m k m ，
整理，得31
222
++<k k m …………………10分
而2221221
()113333k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）.
∴312
<m ， 由0>m ，得3
30<<m .
综上，m 的取值范围是3
3
0<
<m …………………………… 12分 解法二：同解法一得122421
km
x x k -+=+， 21222221m x x k -=+ ……………… 6分
点D 总在以线段EF 为直径的圆内， ∴0DE DF ⋅<.
11(,)DE x y m =+，22(,)DF x y m =+，
∴
2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++ ………………………… 8分
2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++
22
22
2224(1)2402121m km
k km m k k --=+++<++ 整理，得31222
++<k k m …………………………… 10分
而2221221
()113333
k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）.
所以312
<m ， 由0>m ，得3
30<<m ………………………12分
综上，m 的取值范围是3
3
0<
<m 21解：(Ⅰ) 2
1(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+22(1)2(1)x ax x x +-=+22(22)1(1)x a x x x +-+=+
经检验，符合题意。

代入得由题意知：,4
9
,0)2('==a f 从而切线斜率1
(1)8
k f '==-
, 切点为(1,0),切线方程为810x y +-=…………3分 (Ⅱ) 22
(22)1
()(1)x a x f x x x +-+'=+, 因为()f x 在上为单调增函数
所以()0f x '
≥在(0,)+∞上恒成立…………………………4分 ）时，
，（）上恒成立，当，在（即∞+∈∞+≥+-+0001)22(2x x a x ），（设得由∞+∈+=+
≤-≥+-+0,1
)(,12201)22(2x x x x g x x a x a x
1
()2g x x x
=+
≥=,
所以当且仅当1
x x
=
即1x =时，()g x 有最小值2………………6分
22 2. 2.a a -≤≤所以所以所以a 的取值范围是(],2.-∞………… 7分
(Ⅲ)要证ln ln 2m n m n m n -+<-, 只要证11
2ln
m m
n n m n
-+<
即证21ln .1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+只需证21ln 0.1m m n m n n
⎛⎫- ⎪⎝⎭->+ ……………… 9分 设()()
21ln 1x h x x x -=-+，
由（Ⅱ）知()h x 在()1,+∞上是单调函数，又1m n >，所以()10m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
……………11分 即21ln 01m m n m n n
⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立，所以ln ln 2m n m n m n -+<- ………………… 12分 22解：（Ⅰ）直线l 的普通方程1-=x y
曲线C 的直角坐标方程x y 42=……………… 5分 （Ⅱ）将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221代入x y 42=得：08242=--t t ……………… 6分
设点A 、B 的参数分别为21t t 、，则21t t 、是方程08242=+-t t 的两实根， 且⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+8
242121t t t t ………………… 8分 84)(2122121=-+=-=∴t t t t t t AB ………………… 10分
23解:（Ⅰ）当2=a 时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩
≤≥…………1分
当2-≤x 时，由124+≥-x x ，解得5-≤x ……………………………2分 当12<<-x 时，由123+≥x x ，解得φ∈x ……………………………3分 当1≥x 时，由124+≥+-x x ，解得1=x ……………………………4分 综上可得，原不等式的解集为}{15=-≤x x 或……………………………5分 （Ⅱ）因为()20,∈x ，所以2->x x f )(等价于42<-ax ………………6分
即等价于26a x x
-
<<…………………7分 所以由题设得26a x x
-<<在()20,∈x 上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >………………8分 所以31≤≤-a ，即a 的取值范围为[]
1,3-………………10分。