数学_2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷(一)(含答案)

2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（一）
一.填空题：本大题14小题，每小题5分，共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1. 复数(
1−i 1+i
)10
的值是________． 2. 已知集合A ={y|y =
12x
, x ∈R}；B ={y|y =log 2(x −1), x ∈R}，则A ∩B =________．
3. 在数列{a n }中，若a 1=1，a 2=12
，2a n+1
=
1a n
+
1a n+2
(n ∈N ∗)，则该数列的通项
a n =________． 4. 已知sinα=
4√3
7
，其中α∈(0,π2
)，则cos(α+π
3
)=________．
5. 一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为________．
6. 定义在R 上的偶函数f(x)在(0, +∞)上是增函数．若f(a)≥f(2)，则实数a 的取值范围是________．
7. 函数f(x)=x α2−2α−3
（常数α∈Z ）为偶函数，且在(0, +∞)上是单调递减函数，则α的
值为________．
8. 从集合A ={−1, 1, 2, 3}中任取两个元素m 、n(m ≠n)，则方程x 2m
+y 2n
=1所对应的曲线
表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是________．
9. 已知△ABC 的外接圆的圆心O ，BC >CA >AB ，则OA →⋅OB →，OA →⋅OC →，OB →⋅OC →
的大小关系为________．
10. 若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相切，则实数ab 的取值范围是________．
11. 在△ABC 中，已知sinAsinBcosC =sinAsinCcosB +sinBsinCcosA ，若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，则ab
c 2的最大值为________．
12. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A(1, 4)的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为________．
13. f(x)是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)−f(x)>0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则af(a)，bf(b)的大小关系为________．
14. 设函数f(x)={21−x ，x ≤0
f(x −1),x >0
，方程f(x)=x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a
的取值范围为________．
二.解答题：本大题6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // DC ，△
PAD 是等边三角形，已知AD =4，BD =4√3，AB =2CD =8． （1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA // 平面MBD ？ 16. 在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b 2−a 2−c 2
ac
=
cos(A+C)sinAcosA
．
(1)求角A ； (2)若
sinB cosC
>√2，求角C 的取值范围．
17. 甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹． (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率；
(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔P ，Q ，R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）． 18. 已知平面直角坐标系xOy 中O 是坐标原点，A(6,2√3)，B(8,0)，圆C 是△OAB 的外接圆，过点(2, 6)的直线l 被圆所截得的弦长为4√3． （1）求圆C 的方程及直线l 的方程；
（2）设圆N 的方程(x −4−7cosθ)2+(y −7sinθ)2=1，(θ∈R)，过圆N 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点为E ，F ，求CE →
⋅CF →
的最大值．
19. 已知函数f(x)=2x
（1）试求函数F(x)=f(x)+af(2x)，x ∈(−∞, 0]的最大值；
（2）若存在x ∈(−∞, 0)，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a 的取值范围；
（3）当a >0，且x ∈[0, 15]时，不等式f(x +1)≤f[(2x +a)2]恒成立，求a 的取值范围． 20. 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }的首项为b ，公比为a （其中a ，b 均为正整数）．
（1）若a 1=b 1，a 2=b 2，求数列{a n }、{b n }的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若a 1，a 3，a n 1，a n 2，…，a n k ，…（3<n 1<n 2<...<n k <…）成等比数列，求数列{n k }的通项公式；
（3）若a 1<b 1<a 2<b 2<a 3，且至少存在三个不同的b 值使得等式a m +t =b n (t ∈N)成立，试求a 、b 的值．
三、附加题。

选答题（本大题共6小题，请从第21、22、23、24这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分，每小题10分，共20分）；必答题：（本大题共6小题，第一小题8分，第二小题12分，共20分）.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
21. 在直径是AB 的半圆上有两点M ，N ，设AN 与BM 的交点是P ．求证：AP ⋅AN +BP ⋅BM =AB 2．
22. 设矩阵M 对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两
个伸压变换的复合，求其逆矩阵M −1以及
圆x 2+y 2=1在M −1的作用下的新曲线的方程． 23. 选修4−4 参数方程与极坐标
求圆ρ=3cosθ被直线{x =2+2t
y =1+4t （t 是参数）截得的弦长．
24. 设函数f(x)=√|x +1|+|x −2|+a ． （1）当a =−5时，求函数f(x)的定义域；
（2）若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围．
25. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB // DC ，
∠DAB =90∘，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =DC =1，AB =2，M 是PB 的中点． （1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A −MC −B 的余弦值．
26. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x)＝x ，f 2(x)＝x 2，f 3(x)＝x 3，f 4(x)＝sinx ，f 5(x)＝cosx ，f 6(x)＝2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
2010年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷（一）答案
1. −1
2. (0, +∞)
3. 1
n
4. −11
14
5. 4.4
6. (−∞, −2]∪[2, +∞)
7. 1
8. 3
16
9. OA →⋅OB →>OA →⋅OC →>OB →⋅OC →
10. [−1
2，1
2] 11. 3
2
12. 4
13. bf(b)>af(a)
14. [3, 4)
15. 证明：（1）在△ABD中，
∵ AD=4，BD=4√3，AB=8，∴ AD2+BD2=AB2．
∴ AD⊥BD．
又∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴ BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，
∴ 平面MBD⊥平面PAD．
（2）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA // 平面MBD．证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵ AB // DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵ AB=2CD，∴ CN:NA=1:2．
又∵ CM:MP=1:2，
∴ CN:NA=CM:MP，∴ PA // MN．
∵ MN⊂平面MBD，∴ PA // 平面MBD．
16. 解：(1)∵ b2−a2−c2
ac =−2cosB，cos(A+C)
sinAcosA
=−2cosB
sin2A
，，
又∵ b 2−a2−c2
ac
=cos(A+C)
sinAcosA
，
∴ −2cosB=−2cosB
sin2A
，而△ABC为斜三角形，∵ cosB≠0，
∴ sin2A=1．
∵ A∈(0, π)，
∴ 2A=π
2，A=π
4
．
(2)∵ B+C=3π
4
，
∴ sinB
cosC =sin(
3π
4
−C)
cosC
=sin
3π
4
cosC−cos3π
4
sinC
cosC
=√2
2
+√2
2
tanC>√2
即tanC>1，∵ 0<C<3π
4
，
∴ π
4<C<π
2
．
17. 解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，
(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，
第一枪在4发子弹中选1发，有4种可能，出现“空弹”是其中1种，
则P(A)=1
4
；
(2)前三枪共有4个基本事件{空，实，实}，{实，空，实}，{实，实，空}，{实，实，实}，满足条件的有三个，
则P(B)=3
4
．
(3)RT △PQR 的面积为6，分别以P ，Q ，R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和=1
4
π+
1
4
π=π
2， 设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C ，P(C)=
6−1
2
π6
=1−
π
12
．
18. 解：（1）因为A(6,2√3)，B(8,0)，所以△OAB 为以OB 为斜边的直角三角形， 所以圆C ：(x −4)2+y 2=16
①斜率不存在时，l:x =2被圆截得弦长为4√3，所以l:x =2适合 ②斜率存在时，设l:y −6=k(x −2)即kx −y +6−2k =0 因为被圆截得弦长为4√3，所以圆心到直线距离为2，所以√1+k 2
=2
∴ k =−4
3
∴ l ：y −6=−4
3(x −2)，即4x +3y −26=0 综上，l:x =2或4x +3y −26=0 （2）解：设∠ECF =2a ，
则CE →
⋅CF →
=|CE →
|⋅|CF →
|⋅cos2α=16cos2α=32cos 2α−16． 在Rt △PCE 中，cosα=x |PC|
=
4|PC|
，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|−1=7−1=6，
所以cosα≤2
3，
由此可得CE →⋅CF →
≤−16
9
，则CE →⋅CF →
的最大值为−16
9
．
19. 解：（1）∵ x ∈(−∞, 0],F(x)=f(x)+af(2x)=2x +a ⋅4x ，令2x =t ，(0<t ≤1)， 即有F(x)=at 2+t ，
当a =0时，F(x)有最大值为1；
当a ≠0时，对称轴为t =−1
2a ，讨论对称轴和区间的关系， 若−1
2a >1，即−1
2<a <0，F(x)max =F(1)=a +1； 若0<−1
2a ≤1，即 a ≤−1
2，F(x)max =F(−1
2a )=−1
4a ； 若−1
2a <0，即a >0，F(x)max =F(1)=a +1． 综上可得，F(x)max ={a +1,a >−1
2
−14a ，a ≤−12
．
（2）令2x =t ，则存在t ∈(0, 1)使得|t 2−at|>1 所以存在t ∈(0, 1)使得t 2−at >1，或t 2−at <−1．
即存在t ∈(0, 1)使得a <(t −1t
)max 或a >(t +1
t
)min ，∴ a <0，或a >2；
（3）由f(x +1)≤f[(2x +a)2]得x +1≤(2x +a)2恒成立
因为a >0，且x ∈[0, 15]，所以问题即为√x +1≤2x +a 恒成立，∴ a ≥(−2x +√x +1)max ．
设m(x)=−2x +√x +1令√x +1=t ，则x =t 2−1，t ∈[1,4]，∴ m(t)=−2(t 2−1)+t =−2(t −1
4)2+
178
．
所以，当t =1时，m(x)max =1，∴ a ≥1． 20. 解：（1）由a 1=b 1，a 2=b 2得：{a =b
a +
b =ab ，
解得：a =b =0或a =b =2，∵ a ，b ∈N +， ∴ a =b =2，从而a n =2n ，b n =2n
（2）由（1）得a 1=2，a 3=6，∴ a 1，a 3，a n 1，a n 2，a n k ，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：a n k =2⋅3k+1
又a n k =2n k ，故2n k =2⋅3k+1，∴ n k =3k+1
（3）由a 1<b 1<a 2<b 2<a 3得：a <b <a +b <ab <a +2b ， 由a +b <ab 得：a(b −1)>b ；由ab <a +2b 得：a(b −1)<2b ，
而a ，b ∈N ∗，a <b ，即：b >a ≥1，从而得：1<1+1
b−1=b
b−1<a <2b
b−1=2+2
b−1≤4，
∴ a =2，3，当a =3时，b =2不合题意，故舍去， 所以满足条件的a =2．
又∵ a m =2+b(m −1)，b n =b ⋅2n−1，故2+b(m −1)+t =b ⋅2n−1， 即：(2n−1−m +1)b =2+t
①若2n−1−m +1=0，则t =−2∉N ，不合题意；
②若2n−1−m +1≠0，则b =2+t
2n−1−m+1，由于2n−1−m +1可取到一切整数值，且b ≥3， 故要至少存在三个b 使得a m +t =b n (t ∈N)成立， 必须整数2+t 至少有三个大于或等于3的不等的因数，
故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时b =3或4或12． 21. 证明：过点P 作PE ⊥AB 于E ，
∵ AB 为直径，
∴ ∠ANB =∠AMB =90∘，
∴ P ，E ，B ，N 四点共圆，P ，E ，A ，M 四点共圆， AE ⋅AB =AP ⋅AN ，① BE ⋅AB =BP ⋅BM ，②
①+②得AB(AE +BE)=AP ⋅AN +BP ⋅BM ， 即AP ⋅AN +BP ⋅BM =AB 2.
22. 解：∵ 矩阵M 对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，
∴ 逆矩阵M −1是把坐标平面上的点的纵坐标缩短到 1
2
倍，横坐标缩短到 1
3
倍的伸压变换，
∴ M −1
=[
1
3
12
]
任意选取椭圆 x 2+y 2=1上的一点P(x 0, y 0)，它在矩阵 M −1
=[
1
2
13
]
对应的变换下变为P ′
(x 0′, y 0′)，则有|1
2
00
13
||x 0
y
0|=|x′0
y′0
|，故 {x 0=2x 0
′
y 0=3y 0
′． 又因为点P 在椭圆 x 2+y 2=1上，所以4x 0′
2+9y 0′
2=1．
椭圆 x 2+y 2=1在M −1的作用下的新曲线的方程为4x 2+9y 2=1．
23. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x 2+y 2=3x ， 即(x −3
2
)2+y 2=9
4
；
∵ {x =2+2t y =1+4t 消去参数t ，
即：2x −y =3
所以圆心到直线的距离d =|2×32
−0−3|
√22+(−1)2
=0，即直线经过圆心，
所以直线截得的弦长为3．
24. 解：（1）由题设知：|x +1|+|x −2|−5≥0
如图，在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x −2|
和y =5的图象，得定义域为(−∞, −2]∪[3, +∞) （2）由题设知，当x ∈R 时，
恒有|x +1|+|x −2|+a ≥0即|x +1|+|x −2|≥−a ， 又由(1)|x +1|+|x −2|≥3， ∴ −a ≤3， ∴ a ≥−3．
25. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,1
2)．（1）解：因AC →
=(1,1,0)，PB →
=(0,2,−1)，
故|AC →
|=√2，|PB →
|=√5，AC →
⋅PB →
=2，
所以cos <AC →，PB →>=|AC →
|⋅|PB →
|˙
=√10
5
． 所以，AC 与PB 所成的角余弦值为
√10
5
． （2）解：在MC 上取一点N(x, y, z)，则存在使NC →
=λMC →
，NC →
=(1−x,1−y,−z)，MC →
=(1,0,−1
2)，∴ x =1−λ,y =1,z =1
2λ.．
要使AN ⊥MC ，只需AN →
⋅MC →
=0即x −1
2
z =0，解得λ=4
5
．
可知当λ=45时，N 点坐标为(15，1，2
5)，能使AN →⋅MC →
=0． 此时，AN →
=(1
5
,1,2
5
)，BN →
=(1
5
,−1,2
5
)，有BN →
⋅MC →
=0，
由AN →⋅MC →=0，BN →⋅MC →
=0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ．所以∠ANB 为 所求二面角A −MC −B 的平面角．∵ |AN →
|=
√30
5
，|BN →|=
√30
5
，AN →
⋅BN →
=−4
5
．
∴ cos(AN →
，BN →
)=|AN →
|⋅|BN →
|˙
=−2
3．故所求的二面角的余弦值为−2
3．
26. 记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)=C 3
2C 6
2=1
5．
ξ可取1，2，3，4.P(ξ=1)=C 31
C 6
1=1
2,P(ξ=2)=C 31C 6
1⋅C 31
C 5
1=3
10，P(ξ=3)=C 31C 6
1⋅C 21C 5
1⋅C 3
1
C 4
1=
320
,P(ξ=4)=
C 3
1C 6
1⋅
C 2
1C 5
1⋅
C 1
1C 4
1⋅
C 31C 3
1=
1
20
；
故ξ的分布列为
Eξ=1×1
2+2×3
10+3×3
20+4×1
20=7
4． 答：ξ的数学期望为7
4．。