2019河南数学中考真题答案

1 2019年河南省普通高中招生考试
1.B 【解析】 根据负数的绝对值等于它的相反数,可知|-12
|=12
.
2.C 【解析】 0.000 004 6=4.6×10-6,故选C .
3.B 【素养落地】 本题考查平行线的性质,体现了逻辑推理的核心素养.
【解析】 如图,∵AB ∥CD ,∴∠1=∠B=75°,又∵∠1=∠D+∠E ,∴∠D=∠1-∠E=75°-27°=48°,故选B .
4.D 【素养落地】 本题考查了整式的运算、二次根式的运算,体现了数学运算的核心素养.
【解析】 2a+3a=(2+3)a=5a ,故A 项错误;(-3a )2=(-3)2a 2=9a 2,故B 项错误;(x-y )2=x 2-2xy+y 2,故C 项错误;3√2-√2=2√2,故D 项正确. 5.C 【素养落地】 本题考查几何体的三视图,体现了直观想象的核心素养.
【解析】 根据俯视图的定义,可知平移前后几何体的俯视图相同,均如图所示,故选C.
6.A 【解析】 把该方程变形为一般形式,为x 2-2x-4=0,由一元二次方程根的判别式Δ=b 2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,可知该方程有两个不相等的实数根.故选A .
7.C 【素养落地】 本题考查扇形统计图的识图能力及平均数的求解方法,体现了数据分析的核心素养. 【解析】 5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25(元),故这天销售的矿泉水的平均单价为2.25元. 8.B 【素养落地】 本题考查二次函数的图象与性质,体现了逻辑推理的核心素养. 【解析】 根据该抛物线经过(-2,n )和(4,n )两点,可知这条抛物线的对称轴是直线x=
-2+42
=1,∴-b
-2=1,解得b=2,∴该抛物线的解析式为y=-
x 2+2x+4,把x=4或x=-2代入,得y=-4,即n=-4.
9.A 【素养落地】 本题考查尺规作图、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等,体现了逻辑推理的核心素养.
【解析】 由作图可知,点E 在线段AC 的垂直平分线上,又点O 是AC 的中点,∴直线BE 是线段AC 的垂直平分线,∴AB=BC=3.过点B 作
BM ⊥AD 于点M ,则四边形BMDC 为矩形,∴BM=CD ,DM=BC=3,∴AM=1.根据勾股定理,可得BM=√AB 2-AM 2=√32-12=2√2,即CD=2√2.故选A .
10.D 【素养落地】 本题考查旋转的性质,体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.
【解析】 根据题意,易知在旋转过程中,组合图形每4次一循环,而70÷4=17……2,∴第70次旋转结束时,组合图形的位置如图所示,延长DA 交x 轴于点E ,易知AE ⊥x 轴,则OE=3,AE=4,∴AD=AB=2OE=6,∴DE=AD+AE=10,故点D 的坐标为(3,-10),故选D . 11.32
【解析】 原式=2-12=32
.
12.x ≤-2 【素养落地】 本题考查不等式组的解法,体现了数学运算的核心素养. 【解析】 解不等式x
2
≤-1,得x ≤-2,解不等式-x+7>4,得x<3,故不等式组的解集为x ≤-2.
数轴表示
13.9
【素养落地】 本题考查用列举法求事件的概率,体现了数据分析的核心素养. 【解析】 根据题意列表如下:
红1 红2 白 黄 (红1,黄) (红2,黄) (白,黄) 红3 (红1,红3) (红2,红3) (白,红3) 红4
(红1,红4)
(红2,红4) (白,红4)
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出的2个球颜色相同的结果有4种,故所求概率为49
.
技法2 列举法求概率的解题通法
14.π+√3 【素养落地】 本题考查不规则图形面积的计算,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
【解析】 ∵OA=OB ,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OC ⊥OA ,∴∠BOC=120°-90°=30°=∠OBA ,∴OD=BD.如图,过点O 作OE ⊥AB 于点E ,在Rt △AOE 中,OE=OA ·sin ∠OAE=2√3×sin 30°=√3.在Rt △AOD 中,OD=OA ·tan ∠OAD=2√3×tan 30°=2,∴BD=2,∴S 阴影=S △AOD +S 扇
形OBC -S △OBD =1
2
×2√3×2+30π×(2√3)
2
360
-12
×2×√3=π+√3.
15.53
或√5
3
【素养落地】 本题考查折叠的性质及分类讨论思想,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解析】 分两种情况讨论:①当点B'落在边AD 上时,如图(1),则四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB=1,即3
5a=1,∴a=53
;②当点B'落在边CD 上
时,如图(2),易证△ECB'∽△B'DA ,∴EC B'D =EB'B'A ,即2
5
a B'D =35a 1,∴B'D=23,∴a=AD=√B'A 2-B'D 2=√12-(23)2=√53
.综上可知,a 的值为53
或√5
3
.
图(1) 图(2)
【参考答案及评分标准】 原式=
x+1-x+2x -2·(x -2)
2
x(x -2)
=3
x -2·x -2
x
(4分) =3
x .
(6分)
当x=√3时,原式=√3
=√3. (8分)
17.【素养落地】 本题以圆为背景,考查了圆的相关性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质等,体现了逻辑推理的核心素养. 【参考答案及评分标准】 (1)证明:∵BA=BC ,∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠C=45°. ∵AB 为半圆O 的直径, ∴∠ADF=∠BDG=90°, ∴∠DBA=∠DAB=45°, ∴AD=BD. (3分)
∵∠DAF 和∠DBG 都是DE
⏜所对的圆周角, ∴∠DAF=∠DBG ,
∴△ADF ≌△BDG.
(5分) (2)①4-2√2 (7分)
②30°
(9分)
解法提示:①∵AB 为半圆O 的直径, ∴∠AEB=90°,∴AE ⊥BG. ∴∠AEG=90°.
∵点E 是BD
⏜的中点, ∴∠GAE=∠BAE , 又AE=AE ,
∴△AEB ≌△AEG , ∴AG=AB=4.
在Rt △ABD 中,AD=AB ·cos ∠DAB=4×√2
2
=2√2,
∴DG=AG -AD=4-2√2. 由(1)知△ADF ≌△BDG ,
∴DF=DG=4-2√2. ②连接OE ,
∵四边形OBEH 是菱形, ∴OB=BE , 又OB=OE ,
∴△OBE 是等边三角形, ∴∠EOB=60°, ∴∠EAB=30°.
18.【素养落地】 本题以实际生活中的材料为背景,考查了频数分布直方图、平均数、中位数、用样本估计总体等知识,体现了数据分析的核心素养.
【参考答案及评分标准】 (1)23 (2分) 解法提示:由七年级成绩频数分布直方图可知,80分以上(含80分)的有15+8=23(人). (2)77.5 (4分)
解法提示:77+78
2
=77.5.
(3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前. (5分) 理由:七年级学生甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数,而八年级学生乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数. (6分) (4)400×8+15+5
50
=224(人).
答:估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224人. (9分) 19.【素养落地】 本题以实际生活为背景,考查解直角三角形的实际应用,体现了逻辑推理、数学抽象、数学建模的核心素养. 【参考答案及评分标准】 在Rt △ACE 中,∵∠A=34°,CE=55,
∴AC=CE tan34°≈55
0.67≈82.1, ∴BC=AC -AB=82.1-21=61.1. (4分) 在Rt △BCD 中,∵∠CBD=60°,
∴CD=BC ·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7, (7分) ∴DE=CD -CE=105.7-55≈51.
故炎帝塑像DE 的高度约为51 m .
(9分)
技法4 解直角三角形的实际应用题目的解题通法
算的核心素养.
【参考答案及评分标准】 (1)设A 奖品的单价为x 元,B 奖品的单价为y 元, (1分)
根据题意,得{3x+2y=120,
5x+4y=210,解得{
x=30,
y=15.
故A奖品的单价为30元,B奖品的单价为15元. (4分) (2)最省钱的购买方案:A奖品8个,B奖品22个.(5分)理由:设购买A奖品a个,则购买B奖品(30-a)个,共需w元,
根据题意,得w=30a+15(30-a)=15a+450.(6分)∵15>0,∴当a取最小值时,w取最小值.
∵a≥1
3(30-a),
∴a≥7.5,
又a为正整数,
∴当a=8时,w取得最小值.
30-8=22.
故当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.(9分)
21.【参考答案及评分标准】(1)一(1分) (2)画直线y=-x如图所示:(3分)
(3)①8 (4分)
②直线与函数y=4
x (x>0)的图象交点还有两种情况:
当有0个交点时,周长m的取值范围是0<m<8;
当有2个交点时,周长m的取值范围是m>8.(8分) (4)m≥8 (10分) 22.【素养落地】本题是几何图形的类比探究题,主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.
【解题思路】(1)利用“SAS”证得△ACP≌△ABD,可得CP=BD,∠ACP=∠ABD,继而可得直线BD与直线CP相交所成的较小角等于
∠BAC.(2)根据(1)中的思路,可以证明△DAB∽△PAC,直线BD与直线CP相交所成的较小角仍然等于∠BAC.(3)分点P在线段CD上和点P
在线段CD延长线上两种情况进行讨论即可.
【参考答案及评分标准】(1)160°(2分)解法提示:∵AC=BC,∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=60°,AC=AB.
由旋转可得∠APD=60°,AP=PD,
∴△APD是等边三角形,
∴∠PAD=60°=∠CAB,AP=AD,
∴∠CAP=∠BAD,
图(1)
∴△ACP≌△ABD,
∴CP=BD,∠ACP=∠ABD,
∴BD
CP =1.
如图(1),延长CP,BD交于点M,CM与AB交于点N,在△ANC和△BNM中,
∠ACN=∠MBN,∠CNA=∠BNM,
∴∠M=∠CAN=60°.
(2)BD
CP =√2,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(4分)
理由如下:
∵∠ACB=90°,CA=CB,
∴∠CAB=45°,AB
AC
=√2.
同理可得∠PAD=45°,
AD
AP
=√2, ∴AB AC =AD
AP ,∠CAB=∠PAD ,
∴∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC ,即∠DAB=∠PAC , ∴△DAB ∽△PAC ,
(6分)
∴BD CP =AB
AC =√2,∠DBA=∠PCA.
设BD 交CP 于点G ,交CA 于点H. ∵∠BHA=∠CHG ,
∴∠CGH=∠BAH=45°.
(8分) (3)AD
CP
的值为2+√2或2-√2.
(10分)
解法提示:分两种情况.
①如图(2),当点P 在线段CD 上时,AP ⊥CD.可设CP=a ,则BD=√2a. 设CD 与AB 交于点Q , 则PQ=CP=a.
可证∠DQB=∠DBQ=67.5°,则DQ=BD=√2a , 易得AD=√2PD=2a+√2a ,
∴AD
CP =2+√2.
图(2) 图(3)
②如图(3),当点P 在CD 延长线上时,可设AP=DP=b ,则AD=√2b. 易得EF ∥AB ,∴∠PEA=∠CAB=45°, 可证∠ECD=∠EAD=22.5°, ∴CD=AD=√2b ,∴CP=√2b+b , ∴AD
CP =2-√2.
23.【解题思路】 (1)根据直线AC 的解析式求出点A ,C 的坐标,再分别代入抛物线的解析式,联立成方程组求解即可.(2)①由△PCM 是直角三角形,∠CMP<90°,可知分∠PCM=90°和∠MPC=90°两种情况进行讨论,据此求解即可;②易知满足条件的直线l 即为△MBB'的三条中位线所在的直线,故先求出点B ,B',M 的坐标,再求出线段BM ,B'M 的中点坐标,即可求得直线l 的解析式. 【参考答案及评分标准】 (1)∵直线y=-1
2
x-2经过点A ,C ,
∴A (-4,0),C (0,-2).
∵抛物线y=ax 2+1
2x+c 经过点A ,C , ∴{
0=16a -2+c,
-2=c,解得{a =1
4,c =-2.
故抛物线的解析式为y=1
4x 2+1
2
x-2.
(3分)
(2)①∵点P 的横坐标为m ,
∴点P 的坐标为(m ,14m 2+1
2m-2).
当△PCM 是直角三角形时,因∠PMC<90°,故分以下两种情况讨论. (i )当∠CPM=90°时,PC ∥x 轴,则1
4m 2+1
2
m-2=-2,
解得m 1=0(舍去),m 2=-2. ∴点P 的坐标为(-2,-2).
(5分)
(ii )方法一:当∠PCM=90°时,如图,过点P 作PN ⊥y 轴于点N ,
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°, ∴∠NCP=∠OAC , ∴△CNP ∽△AOC , ∴CN AO =PN
CO .
∵C (0,-2),N (0,14m 2+1
2m-2), ∴CN=1
4m 2+1
2m , ∴14
m 2+1
2m 4=m
2
,解得
m 3=0(舍去),m 4=6.
当m=6时,14m 2+1
2
m-2=10,
∴点P 的坐标为(6,10).
方法二:当∠PCM=90°时,PC ⊥AC , 易得直线PC 的解析式为y=2x-2, 令2x-2=1
4x 2+1
2
x-2,
解得x 1=0(舍去),x 2=6, ∴x P =6, ∴y P =10,
∴点P 的坐标为(6,10).
综上所述,点P 的坐标为(-2,-2)或(6,10).
(8分)
②直线l 的解析式为y=x-34m-2,y=-m+4
2m -4x-2
或y=4-m
2m+4
x-2.
(11分)
解法提示:易得B (2,0),M (m ,-1
2
m-2).
∵点B 和点B'关于点C (0,-2)对称, ∴由中点坐标公式可得B'(-2,-4). 连接MB ,取MB 的中点Q ,则Q (
m+22,-1
4m-1). 连接MB',取MB'的中点G ,则G (m -22,-1
4
m-3).
∵点B ,B',M 到直线l 的距离相等,
∴直线l 是△MBB'的中位线所在的直线. (i )当直线l 过点C (0,-2)和Q (m+22,-1
4
m-1)时,b=-2, 将Q (
m+22,-1
4m-1)代入y=kx-2, 得-14m-1=k ×m+22
-2, 解得k=4-m
2m+4
,
故直线l 的解析式为y=4-m
2m+4
x-2.
(ii )当直线l 过点C (0,-2)和G (m -22,-1
4
m-3)时,b=-2,
将G (m -22,-1
4m-3)代入y=kx-2,
得-14m-3=k ×m -2
2
-2, 解得k=-m+4
2m -4
, 故直线l 的解析式为y=-m+4
2m -4x-2. (iii )当直线l 过点Q (m+22,-14m-1)和G (m -22,-1
4
m-3)时,
有{k ×m+22+b =-1
4
m -1,k ×m -22+b =-1
4
m -3,解得{b =-34m -2,k =1. 故直线l 的解析式为y=x-3
4
m-2.
综上所述,直线l 的解析式为y=4-m 2m+4
x-2,y=-m+42m -4x-2或y=x-3
4m-2.。