动能 动能定理

动能 动能定理
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1、动能：物体由于 而具有的能叫做动能。

动能的表达式为：E k = 单位： ，符号： 。

动能是 （标、矢）量。

2、动能定理：合外力对物体所做的功，等于物体动能的 。

表达式：W =
3、应用动能定理的优越性
（1）由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制。

（2）一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷；可是，有些用动能定理能求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解。

可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识。

（3）用动能定理可求变力所做的功。

在某些问题中，由于力F 的大小、方向的变化，不能直接用αcos ⋅⋅=S F W 求出变力做功的值，但可能由动能定理求解。

4、一个物体具有的动能与物体的 和 两个因素有关， 和
越大，动能就越大。

动能定理的表达式为 ，其中W 应该为 。

利用动能定理解题的基本步骤是什么？ 知识扫描
1、运动
焦耳 J 标
2、增量
【典型例题】
例题 ⒈如图所示，将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。

（g 取10m/s 2）
例题⒉如图所示，半径R＝1m的1/4圆弧导轨与水平面相接，从圆弧导轨顶端A，静止释放一个质量为m＝20g的小木块，测得其滑至底端B时速度V B＝3m／s，以后沿水平导轨滑行BC＝3m而停止．
求：（1）在圆弧轨道上克服摩擦力做的功?
（2）BC段轨道的动摩擦因数为多少?
例题⒊一辆汽车的质量为5×103㎏，该汽车从静止开始以恒定的功率在平直公路上行驶，经过40S，前进400m速度达到最大值，如果汽车受的阻力始终为车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？(取g=10m/s²)
典型例题
⒈ 820N ⒉ 0.11 0.15 ⒊ 20m/S
【针对训练】
⒈质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能
A.与它通过的位移成正比
B.与它通过位移的平方成正比
C.与它运动的时间成正比
D.与它运动时间的平方成正比
⒉质量m = 2kg的滑块，以4m/s的初速在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右、大小为4m／s，则在这段时间内水平力做功为
A．0 B．8J C．16J D．20J
⒊质量为m的跳水运动员，从离地面高h
起高度离跳台为H
所做的功（）
D．
⒋某人用手将1kg物体由静止向上提起1m，这时物体的速度为2m/s（g取
）
A. 手对物体做功12J
B. 合外力做功2J
C. 合外力做功12J
D. 物体克服重力做功10J
针对训练
⒈ AD ⒉ A ⒊ A ⒋ ABD
【能力训练】
1. 甲乙两物体质量的比M1:M2=3:1,速度的比V1:V2=1:3，在相同的阻力作用下逐渐停下，则它们的位移比S1:S2是
A. 1：1
B. 1：3
C. 3：1
D. 4：1
⒉一子弹以速度v飞行恰好射穿一块铜板，若子弹的速度是原来的3倍，那么可射穿上述铜板的数目为
A. 3块
B. 6块
C. 9块
D. 12块
⒊质量不等但有相同动能的两物体，在摩擦系数相同的水平地面上滑行直到停止，则
A. 质量大的物体滑行距离大
B. 质量小的物体滑行距离大
C. 它们滑行的距离一样大
D. 它们克服摩擦力所做的功一样多
⒋在水平面上有一质量为M的物体，受到水平力F的作用从静止开始运动，通过距离s撤去力F，这以后又通过距离S停止下来，则在这个过程中
A.它所受的摩擦力大小为F
B.
C.力F对物体做的功为Fs
D.力F对物体做的功为零
⒌质量为M的汽车在平直公路上以速度V0开始加速行驶，经过时间t，前进距离s后，速度达到最大值V M设在这一过程中汽车发动机的功率恒为p0，汽车所受的阻力恒为f0。

在这段时间内汽车发动机所做的功为
A. p0t
B. f0vmt C .f0s
⒍一辆汽车以6m/S的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行⒊6m，如果改为8m/S的速度行驶，同样情况下急刹车后能滑行的距离为
A ⒍4m
B ⒌6m
C ⒎2m
D ⒑8m
⒎一个单摆小球的质量为M，摆球经过最低点时的速度为V，由于摆球受到大小不变的空气阻力f作用而最终静止。

则摆球通过的最大路程是多少？
⒏在光滑斜面的底端静止一个物体，从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力F作用在物体上，使物体沿斜面向上滑行，经过一段时间突然撤去力F，又经过相同的时间物体返回斜面的底部，且具有120J的动能，求
⑴恒力F对物体所做的功？
⑵撤去恒力F时物体具有的动能？
⒐一质量M＝0.5kg S＝0.7m的路程
后落到地面，已知桌面高h＝0.8m
面间的摩擦系数是多少？（g
⒑质量M＝1kg的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4m时，拉力F停止作用，运动到位移是8m时物体停止，运动过程中
S的图线如图所示。

求：
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？
（3）拉力F的大小？
图5—3—
1
图5—3—4
（g
能力训练
⒈ B ⒉ C ⒊ BC ⒋ BC ⒌ AD ⒍ A ⒎ MV 2/2f ⒏ 120 J 120 J ⒐ 0.5 ⒑ 1m/S 0.05 2.5N
三、好题精析
例1、如图5—3—1所示，物体在离斜面底端4m 处由静止滑下，若动摩擦因数均为0.5，斜面倾角370，斜面与平面间由一段圆弧连接，求物体能在水平面上滑行多远？
例2、 长为L 的细线一段固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在O 点等高的A 位置，如图5—3—3所示，现将球由静止释放，它由A 运动到最低点B 的过程中，重力的瞬时功率变化情况是（ ）。

A 、一直在增大 B 、一直在减少 C 、先增大后减少 D 、先减少后增大
例3、一个质量为m 的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F 1的拉力作用，在水平面上做半径为R 1的匀速圆周运动，如图5—3—4所示。

今将力的大小改为F 2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R 2。

小球运动的半径由R 1变成R 2的过程中拉力对小球做的功多大？
例4、质量为5t 的汽车，在平直公路上一以60kw 恒定功率从静止开始运动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m 。

运动过程中汽车所受的阻力不变。

求汽车运动的时间。

图5—3—3
例5、在光滑的平面上有一静止物体，现以水平恒力推这一物体。

作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J ，则在整个过程中，甲、乙两力做功分别是多少？ 好题精析
例1、【解析】物体在斜面上受重力mg 、支持力N 1、摩擦力F 1的作用，沿斜面加速下滑（因μ=0.5＜tg 370=0.75），到水平面后，在摩擦力F 2作用下做减速运动，直至停止。

解法一： 对物体在斜面上和水平面上时进行受力分析， 如图5—3—2所示，知下滑阶段： F N 1=mgcos 370 故 F 1=μF N 1=μmgcos 370 由动能定理
mgsin 370·s 1—μmgcos 370·s 1
①
在水平运动过程中
F 2=μF N 2=μmg
由动能定理
—μmg ·s 2
②
由①、②式可得
解法二：物体受力分析上。

物体运动的全过程中，初、末状态速度均为零，对全过程应用动能定理
图5—3—2
得
【点评】应用动能定理分析求解匀变速运动，注意过程分析及每一过程受力分析，对于多过程问题要找到联系两过程的相关物理量。

例2、【解析】小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B点时，速度达到最大，方向水平向左，与重力夹角为90°，P B=0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C 正确。

【点评】对于求选择题的一种重要方法就是极值法，求解本题有两条思路，一是极值法，二是把瞬时功率的表达式表示出来，观察表达式中物理量随位置的变化情况，通常这类表达式都可以使用三角函数表示，只需要将表达式三角函数随角度的变化找出即可。

例3、【解析】设半径为R1、R2时小球做圆周运动的速度大小分别为v1、v2，
由向心力公式得
由动能定理
解得：
【解析】当求变力做功时无法由的定义式直接求出，而只能由动能定理间接求出。

本题由于绳的拉力是物体在两个轨道圆周运动的向心力，是变力。

在轨道变化过程中该力做功属于变力做功，但不能直接求其功，而是先由向心力公式求出初、末状态动能，再由动能定理求出该力的功。

例4、【解析】汽车以恒定功率启动后做加速度逐渐减小的变加速运动，不能根据匀变速运动的规律求汽车加速运动的时间t1；由于牵引力是变力，也不能由动量定理求时间t1。

在汽车运动的全过程中有两个力对它做功，牵引力做功为Pt1，阻力做功为—F s
由动能定理得：Pt1—F s=0 ①
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则
②
由①、②可求得汽车加速运动的时间为
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动，
由动量定理得（取运动方向为正方向）③
由②、③可求得汽车匀减速运动的时间为
则汽车运动的时间为：
【点评】对于较复杂的物理过程，首先分析物体在个阶段的运动特点，明确各物理量间的关系，再利用合适的物理规律求解。

例5、【解析】由于在前后两段相同的时间t内，位移相同，则
即
t
得
已知
故 按动能定理，恒力F 甲、F 乙做的功分别为W 甲=E K 2—E K 1=32J —8J =24J
本题也可以用v —t 图，使物理过程更加直观。

如图5—3—5
，物体回到原点，意味着图线上下与t 轴间的面积相等，则
故
又
解得
故两力做功之比
由动能定理 从而 W 甲=8J ，W 乙=24J
1
F F a 2 a 2
v 1
v 2
图5—3—6
【点评】本题的表述的物理过程并不复杂，关键是考生能否按题意画出表达物理过程的示意图，找到解题思路，如图5—3—6所示，设恒力F 甲作用时间为t ，使物体通过位移s 后的速度为v 1；以后，恒力F 乙使物体减速运动，达到向右最大位移C 处后返回A 点时的速度为v 2，F 乙的作用时间也是t 。

显然， 前后两段相同的时间t 内的位移大小相 等。

由此根据牛顿定律、运动学公式和 动能定理不难求解
四、变式迁移
1、一物体在水平恒力F 作用下，在水平面上由静止开始运动，位移s 时撤去F ，物体继续沿原方向前进3s 后停止运动。

如果路面情况相同，则摩擦力和物体的最大动能是（ ）
A 、3F F f =
；s F E k ⋅=4 B 、3F
F f =；s F E k ⋅= C 、4F F f =；s F E k ⋅=31 D 、4F F f =；s F E k ⋅=4
3
2、物体从高为0.8m 的斜面顶端以7m/s 的初速度下滑，滑到底端时速度恰好为零，欲使此物体由底端上滑恰好到达顶端，物体开始上滑的初速度为 m/s 。

四、变式迁移 1、D 2、9
五、能力突破
1、下列关于运动物体所受合外力和动能变化的关系正确的是 A 、如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的功一定为零 B 、如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定为零 C 、物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生变化 D 、物体的动能不变，所受合外力一定为零
2、质量不等、动能相等的两物体，在摩擦因数相同的水平地面上滑行至停止，则（ ） A 、质量大的物体滑行距离长 B 、质量小的物体滑行距离长 C 、质量大的物体滑行时间短 D 、质量小的物体滑行时间短
3、一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提升1m 时，物体的速度是2m/s ，下列说法中错误的是（g 是10m/s 2）（ ）
①提升过程中手对物体做功12J ②提升过程中合外力对物体做功12J ③提升过程中手对物体做功2J ④提升过程中物体克服重力做功10J A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④
4、如图5—3—7所示，板长为L ，板的B 端静置有质量为m
的
图5—3—7
L
小物体P ，物体与板间的动摩擦因数为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体始终保持与板相对静止，则这个过程中（ ） A 、摩擦力对P 做功为)cos 1(cos ααμ-⋅⋅L mg B 、摩擦力对P 做功为)cos 1(sin αα-⋅⋅L mg C 、弹力对P 做功为ααsin cos ⋅⋅⋅L mg D 、板对P 做功为αsin ⋅mgL
5、质量为m 的子弹，以水平速度v 射入静止在光滑水平面上质量为M 的木块，并留在其中，下列说法正确的是（ ）
①子弹克服阻力做的功与木块获得的动能相等 ②阻力对子弹做的功与子弹动能的减少相等 ③子弹克服阻力做的功与子弹对木块做的功相等 ④子弹克服阻力做的功大于子弹对木块做的功 A ．①① B ．②③ C ．③④ D ．②④
6、光滑地面上放一长木板，质量为M ，木板上表面粗糙且左端放一木块m ，如图5—3—8所示，现用水平向右的恒力F 拉木块，使它在木板上滑动且相对地面位移为s （木块没有滑下长木板）。

在此过程中：（ ） A 、若只增大m ，则拉力F 做功不变 B 、若只增大m ，则长木板末动能增大 C 、若只增大M ，则小木块末动能不变 D 、若只增大F ，则长木板末动能不变
7、某地强风风速约为v =20m/s ，设该地的空气密度ρ=1.3kg/m 3，如果把截面S =20m 2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量写出计算电功率的公式？电功率的大小约为多少瓦？（取一位有数字）
8、如图5—3—9所示，长度为L 的矩形板，以速度v 沿光滑的水平面平动时，垂直滑向宽度为l 的粗糙地带，板从开始受阻到停下来，所经过路程为s ，而l <s <L （如图5—3—9），求板面与粗糙地带之间的动摩擦因数μ。

图5—3—8
v
l
图5—3—9
4
0 图5—3—10
图5—3—11
9、质量为m 的物体以速度v 0竖直向上抛出，物体落回到地面时，速度大小为04
3
v ，（设物体在运动过程中所受空气阻力大小不变）如图5—3—10所示，求 （1）物体运动过程中所受空气阻力的大小？ （2）物体以初速度2v 0竖直向上抛出时的最大高度？
（3）在（2）中若假设物体落地碰撞过程中无能量损失，求物体运动的总路程？
10、如图5—3—11所示，皮带的速度是3m/s ，两轴心距离s=4.5m ，现将m =1kg 的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数为μ=0.15。

电动机带动皮带将物体从左轮运送到右轮正上方时，电动机消耗的电能是多少？ 能力突破
1、A
2、BC
3、B
4、D
5、D
6、ABC
7
代入数据 w P 53101203.1202
1
⨯≈⨯⨯⨯=
8、解：0→l 过程 l g
L lm l f W f ⋅+-
=⋅-=2
01μ l →s 过程 )(2l s g L
lm
W f -⋅-=μ 由动能定理 2
2
1021mv W W f f -=+
得gl
l s Lv )2(2
-=μ
9、（1）上升过程中
1ma f mg =+ ①
h a v 12
02= ②
下降过程中
2ma f mg =- ③
h a v 2202)4
3
(= ④ 由①②③④联立代入数据得
mg f 25
7
=
（2） '2)2(120h a v = ⑤ 由①⑤联立代入数据得
g
v h 2
1625'=
（3）对物体由能量守恒得
mgs v m fs 25
7)2(2120==
g
v s 2
750=
10、解：对小物体由牛顿第二定律得
ma mg f ==μ
25.1s m g a ==μ
若小物体刚好做匀加速运动达到与皮带具有共同速度
'22as v = m s 3'=<4.5m
所以小物体先做匀加速运动，达到与皮带具有共同速度后做匀速运动。

则在做匀加速运动时与皮带间的相对运动位移m s l 0.3'2
1
==
所以电动机消耗电能用于克服小物体与皮带间的滑动摩擦力做功产生的热和小物体获得的动能
222
1
21mv mgl mv fl E +=+
=μ 代入数据得 J E 9=。