人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(27)

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人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷(共22题)
一、选择题(共10题)
1.不等式x2−x≤0的解集为( )
A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)
2.设a>b>c>0,则2a2+1
ab +1
a(a−b)
−10ac+25c2的最小值是( )
A.2B.4C.2√5D.5 3.设a,b是非零实数,c∈R,若a<b,则下列不等式成立的是( )
A.a2<b2B.1
a >1
b
C.ac<bc D.a−c<b−c
4.若关于x的不等式kx2−kx<1的解集是全体实数,则实数k的取值范围是( )
A.(−4,0)B.(−4,0]
C.(−∞,−4)∪(0,+∞)D.(−∞,−4)∪[0,+∞)
5.已知关于x的不等式1
a x2+bx+c<0(ab>1)的解集为∅,则T=1
2(ab−1)
+a(b+2c)
ab−1
的最小值
为( )
A.√3B.2C.2√3D.4
6.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是( )
A.ab>bc B.ac>bc
C.ab>ac D.a∣b∣>∣b∣c
7.在R上定义运算a⋇b=(a+1)b,若存在1≤x≤2使不等式(m−x)⋇(m+x)<4成立,
则实数m的取值范围为( )
A.{m∣ −3<m<2}B.{m∣ −1<m<2}
C.{m∣ −2<m<2}D.{m∣ 1<m<2}
8.已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为( )
A.4B.8C.7D.6
9.设m,n为正数,且m+n=2,则1
m+1+n+3
n+2
的最小值为( )
A.3
2B.5
3
C.7
4
D.9
5
10.若a,b∈R,且a>∣b∣,则( )
A.a<−b B.a>b C.a2<b2D.1
a >1
b
二、填空题(共6题)
11.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则x+y
xy
的最小值是.
12.若0<a<1,则关于x的不等式ax2−1≤x(a−1)的解集是.
13.已知集合M=(1,3),试写出一个一元二次不等式的解集是M的不等式.
14.若关于x的不等式ax2+bx−2>0的解集为(−2,−1
4
),则实数a+b=.
15.设x>0,y>0,且x+2y=4,则(x+1)(2y+1)
xy
的最小值为.
16.已知x>0,y>−1,且x+y=1,则x2+3
x +y2
y+1
的最小值为.
三、解答题(共6题)
17.请回答下列问题:
(1) 若关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)的解集为{x∣∣x<1或x>b},求a,b的值.
(2) 解关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R).
18.已知a+b+c=3,且a,b,c都是正数.
(1) 求证:1
a+b +1
b+c
+1
c+a
≥3
2

(2) 是否存在实数m,使得关于x的不等式−x2+mx+2≤a2+b2+c2对所有满足题设条件
的正实数a,b,c恒成立?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
19.一元二次不等式求解时应注意什么?
20.已知不等式x2−(a+1)x+a<0的解集为M.
(1) 若2∈M,求实数a的取值范围;
(2) 若M为空集时,求不等式1
x−a
<2的解集.
21.若a>0,b>0,且1
a +1
b
=√ab.
(1) 求a3+b3的最小值;
(2) 是否存在a,b,使得2a+3b=6成立,并说明理由.
22.已知−1
2<a<0,A=1+a2,B=1−a2,C=1
1+a
,D=1
1−a
,试猜测A,B,C,D的大小关
系,并证明.
答案
一、选择题(共10题) 1. 【答案】A
【解析】由 x 2−x ≤0 得 x (x −1)≤0 解得 0≤x ≤1. 【知识点】二次不等式的解法
2. 【答案】B
【解析】因为 a >b >c >0,所以
原式=a 2+1
ab +1
a (a−
b )−10a
c +25c 2+a 2=a 2−ab +1
a (a−
b )+ab +1
ab +(a −5c )2=[a (a −b )+1a (a−b )]+(ab +1
ab
)+(a −5c )2≥2+2+0=4,
当且仅当 a (a −b )=1,ab =1,a −5c =0 时取等号, 即当 a =√2,b =
√2
2
,c =
√2
5
时,所求代数式的最小值为 4.
【知识点】均值不等式的应用
3. 【答案】D
【知识点】不等式的性质
4. 【答案】B
【解析】当 k =0 时,0<1 恒成立,
当 k ≠0 时,要使 kx 2−kx −1<0 的解集是全体实数, 只需满足 {k <0,
Δ=(−k )2+4k <0,
解得 −4<k <0.
故实数 k 的取值范围是 (−4,0]. 【知识点】二次不等式的解法
5. 【答案】D
【解析】因为由题意得 1
a >0,
b 2−4
c a
≤0,即 4c ≥ab 2,
利用此式进行代换,T =
1+2ab+4ca 2(ab−1)≥
1+2ab+a 2b 2
2(ab−1)
, 令 ab −1=m ,则 m >0, 所以 T ≥
1+2(m+1)+(m+1)2
2m
=
m 2
+2
m +2≥4,
当且仅当 m =2 时取等号,即 T 的最小值为 4. 【知识点】均值不等式的应用
6. 【答案】C
【解析】因为 a >b >c ,且 a +b +c =0,所以 a >0,c <0,所以 ab >ac . 【知识点】不等式的性质
7. 【答案】A
【解析】由题意知,
不等式 (m −x )⋇(m +x )<4 可化为 (m −x +1)(m +x )<4, 即 m 2+m −4<x 2−x ; 设 y =x 2−x ,1≤x ≤2, 则当 x =2 时,y 有最大值 2; 令 m 2+m −4<2,
即 m 2+m −6<0,解得 −3<m <2, 所以实数 m 的取值范围为 {m∣ −3<m <2}. 故选A .
【知识点】二次不等式的解法
8. 【答案】D
【知识点】均值不等式的应用
9. 【答案】D
【解析】当 m +n =2 时,因为
1m+1
+
n+3n+2
=1
m+1+
1
n+2+1
=m+n+3
(m+1)⋅(n+2)
+1=
5
(m+1)⋅(n+2)
+1,
因为 (m +1)⋅(n +2)≤(
m+1+n+22
)2
=
254

当且仅当 m +1=n +2,即 m =32
,n =12
时取等号, 所以 1
m+1+n+3
n+2≥9
5. 【知识点】均值不等式的应用
10. 【答案】B
【解析】由 a >∣b ∣ 得,当 b ≥0 时,a >b ,当 b <0 时,a >−b , 综上可知,当 a >∣b ∣ 时,则 a >b 成立. 【知识点】不等式的性质
二、填空题(共6题)
11. 【答案】2√3+4
【解析】由x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,可得x+3y=1.
x+y xy =(x+y)(x+3y)
xy
=x2+3y2+4xy
xy
=x2+3y2
xy +4≥2√x2⋅3y2
xy
+4=2√3+4.
当且仅当x=√3y,x+3y=1,即y=
3+√3=3−√3
6
,x=√3
3+√3
=√3−1
2
时取等号.
所以x+y
xy
的最小值是2√3+4.
【知识点】均值不等式的应用
12. 【答案】{x∣ −1
a
≤x≤1}
【解析】原不等式可化为(ax+1)⋅(x−1)≤0.
方程(ax+1)(x−1)=0的两根为−1
a
,1.
因为0<a<1,
所以解集为{x∣ −1
a
≤x≤1}.
【知识点】二次不等式的解法
13. 【答案】x2−4x+3<0(答案不唯一)
【知识点】二次不等式的解法
14. 【答案】−13
【解析】因为不等式ax2+bx−2>0的解集为(−2,−1
4
),
所以−2,−1
4
是方程ax2+bx−2=0的根,
所以有{4a−2b−2=0, a
16
−b
4
−2=0,
解得{a=−4, b=−9,
所以a+b=−13.
【知识点】二次不等式的解法
15. 【答案】9
2
【知识点】均值不等式的应用
16. 【答案】 2+√3
【解析】
x 2+3x
+y 2
y+1=(x +3
x )+(y −1+1
y+1),
结合 x +y =1 可知 原式=3
x +1
y+1,且
3x
+
1y+1=(3x +1y+1
)×x+(y+1)
2
=
1
2
[4+3(y+1)x
+x
y+1]
≥12[4+2√3(y+1)x ×x y+1]=2+√3.
当且仅当 x =3−√3,y =−2+√3 时等号成立. 即
x 2+3x
+y 2
y+1 的最小值为 2+√3.
【知识点】均值不等式的应用
三、解答题(共6题) 17. 【答案】
(1) 由题意可知方程 ax 2−3x +2=0 的两个不相等的实根分别为 x 1=1,x 2=b , 于是有 {9−8a >0,
b +1=3
a ,
b ⋅1=2
a ,
解得 {
a =1,
b =2.
故 a 的值为 1,b 的值为 2.
(2) 原不等式等价于 ax 2+(a −3)x −3>0,即 (x +1)(ax −3)>0. ①当 a =0 时,原不等式的解集为 {x∣ x <−1}.
②当 a ≠0 时,方程 (x +1)(ax −3)=0 的两根分别为 x 1=−1,x 2=3
a .
当 a >0 时,原不等式的解集为 {x ∣∣x <−1或x >3
a
}.
当 a <0 时,若 3a >−1,即 a <−3,则原不等式的解集为 {x ∣∣−1<x <3a };

3a <−1,即 −3<a <0,则原不等式的解集为 {x ∣∣3
a
<x <−1};
若 3
a =−1,即 a =−3,则原不等式的解集为 ∅.
当a<−3时,原不等式的解集为{x∣∣−1<x<3
a
};
当a=−3时,原不等式的解集为∅;
当−3<a<0时,原不等式的解集为{x∣∣3
a
<x<−1};
当a=0时,原不等式的解集为{x∣ x<−1}.
当a>0时,原不等式的解集为{x∣∣x<−1或x>3
a
}.【知识点】二次不等式的解法
18. 【答案】
(1) 因为a+b+c=3,且a,b,c都是正数,
所以
1 a+b +1
b+c
+1
c+a
=1
6[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1
a+b
+1
b+c
+1
c+a
)
=1
6[3+(b+c
a+b
+a+b
b+c
)+(b+c
c+a
+c+a
b+c
)+(a+b
c+a
+a+c
a+b
)]
≥1
6
(3+2+2+2)
=3
2
,
当且仅当a=b=c=1时,取等号,
所以1
a+b +1
b+c
+1
c+a
≥3
2
得证.
(2) 因为a+b+c=3,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2),
因此a2+b2+c2≥3(当且仅当a=b=c=1时,取等号),
所以(a2+b2+c2)min=3,
由题意得−x2+mx+2≤3恒成立,
即得x2−mx+1≥0恒成立,
因此Δ=m2−4≤0⇒−2≤m≤2.
故存在实数m∈[−2,2]使不等式成立.
【知识点】均值不等式的应用
19. 【答案】首先判断对应的方程是否有根,若有根,则将二次项系数化为正,然后作图求解集,若
无根,则直接作图或配方法求解.
【知识点】二次不等式的解法
20. 【答案】
(1) 由2∈M可得4−2(a+1)+a<0,
(2) 当 M 为空集时,(x −a )(x −1)<0 的解集为空集, 所以 a =1, 所以 1x−a
<2 即为 1x−1
<2,
所以
2x−3x−1
>0,
即 (2x −3)(x −1)>0,解得 x >3
2 或 x <1. 所以此不等式的解集为 {x∣ x >3
2或x <1}. 【知识点】二次不等式的解法、分式不等式的解法
21. 【答案】
(1) 由 √ab =1
a
+1
b ≥
√ab
,得 ab ≥2,当且仅当 a =b =√2 时等号成立.
故 a 3+b 3≥2√a 3b 3≥4√2,当且仅当 a =b =√2 时等号成立. 所以 a 3+b 3 的最小值为 4√2.
(2) 2a +3b ≥2√6ab ≥4√3,因为 4√3>6,从而不存在 a ,b ,使得 2a +3b =6. 【知识点】均值不等式的应用
22. 【答案】因为 −1
2<a <0,
所以取 a =−14
,则 A =
1716
,B =
1516
,C =43
,D =4
5

由此猜测:C >A >B >D . 证明如下:
C −A =1
1+a
−(1+a 2)
=−a (a 2+a+1)
1+a
=
−a[(a+12)2+3
4
]
1+a
.
因为 1+a >0,−a >0,(a +12)2
+3
4>0, 所以 C >A ,
因为 A −B =(1+a 2)−(1−a 2)=2a 2>0, 所以 A >B ,
B −D =1−a 2−1
1−a =a (a 2−a−1)
1−a
=
a[(a−12)2−54
]
1−a
,
因为 −1
2<a <0, 所以 1−a >0,
又因为 (a −12)2
−5
4<(−1
2−12)2
−5
4<0, 所以 B >D .
综上所述,C >A >B >D . 【知识点】不等式的性质。

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