高考数学一轮复习 简单的线性规划

2008高考数学一轮复习 简单的线性规划
【知识概要】
1、二元一次不等式表示平面区域： （1）二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 一侧所有点组成的平面区域，直线应画成 虚线 ；0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 另一侧 所有点组成的 平面区域 。

画不等式0≥++C By Ax （)0≤所表示的平面区域时，应把边界直线画成 实线 。

（2）画二元一次不等式表示的平面区域常用直线定界，特殊点定域（原点不在边界上时，用原点定域；原点在边界上时，用)0,1(或)1,0(定域）。

（3）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的 交集 ，因而是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 。

2、线性规划：
（1）对于变量y x ,的约束条件，都是关于y x ,的一次不等式，称为 线性约束条件 ，
),(y x f z =是欲达到最值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做 目标函数 ，当),(y x f 是关于y x ,的一次解析式时，叫做 线性目标函数 。

（2）求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为 线性规划 问题，满足线性约束条件的解),(y x 称为 可行解 ，由所有解组成的集合叫 可行域 ，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 最优解 。

【基础训练】
1、不等式094≥-+y x 表示直线094=-+y x （ ）
A 右上方的平面区域
B 左下方的平面区域
C 右上方的平面区域及直线本身
D 左下方的平面区域及直线本身 解：选C 。

注意指导学生从不等式直接看出，如094≥-+y x 可转化为x y -≥94，表示在y 的上方，即直线的上方；还要注意观察有无等号。

2、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x
y ，则目标函数y x z +=2的最小值为 。

解：设变量x 、y 满足约束条件2,36y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
在坐标系中画出
可行域△ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2z x y =+的最小值为3。

3、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x
解：由题知可行域为ABC ∆， 42
204=⨯-=∆ABC S 。

4、已知变量x ，y 满足约束条件23033010
x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在
点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

解：画出可行域如图所示，其中B （3，0）， C （1，1），D （0，1），若目标函数z ax y =+取 得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有
3a >a ＋1且3a >1，解得a >12
5.不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点共有解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个. 答案：3
【典型例题】
例1、画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.
解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.
直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0. 在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.因此所求区域的不等式组为
x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.
作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =2
3
x ，观察图形可知：当直线y =
23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－2
1
t 最小.此时t 最大， t max =3×3－2×（－1）=11； 当直线y =
23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－2
1
t 最大，此时t 有最小值为 t min = 3×（－1）－2×1=－5. 因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，
x －y +2≥0， 2x +y －5≤0
例2、某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克）， 所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，
下的最大值为11，最小值为－5.
由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食15
14
百克时既科学又费用最少.
例3、某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?
剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么
x +y ≤9，
10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.
z =252x +160y ，其中x 、y ∈N .
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.
作出直线l 0：252x +160y =0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x +160y =t 经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z =252x +160y 取得最小值，即x =2，y =5时，z min =252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f （x ，y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域
中的各整点.
【方法归纳总结】
1、线性规划问题解法步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；
（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
2、转化类型（1）形如y x z +=，（2）形如22y x z +=,注意是距离的平方，（3）形如y
x
z =的斜率范围。

【针对训练】
1．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪
+⎨⎪-<⎩
，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）
Ａ．4
Ｂ．11
Ｃ．12
Ｄ．14
解：选Ｂ
2.设动点坐标（x ，y ）满足⎩
⎨⎧≥≥-++-30
)4)(1(x y x y x 则x 2+y 2的最小值为（ ）
A.5
B.10
C.
2
17
D.10 解：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 选D
3、已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 4 解：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>.由my x z +=得1z y x m m =-
+，它表示斜率为1
m
-. （1）若0m >，则要使z 取得最小值，必须使z m
最小，此时需113
31AC k m --==-，即=m 1；
（2）若0m <，则要使z 取得最小值，必须使z m
最大，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，
与0m <矛盾.综上可知，=m 1. 选C 。

4．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥，
≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是 [57]-，．
5、变量x 、y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，设z =x y
，则z 的最小值为___，最大值为 。

解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．
x ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，5
22
）.
x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，
∴z max ＝1522
＝522
，z min ＝52．答案：52 5
22
6、满足4≤+y x 的整点个数是 41
7．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，
（1）b 的取值范围是 [1)+∞， ；
（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是
9
2
8、已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.
解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1， p －q ≥－4，
由 得B （5，2）.
由
∴
4p －q ≤5， 4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值
.
p =0， q =1， z min =－1， p =3，
q =7， ∴－1≤f （3）≤20.
9、某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？
解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.
x y +3=由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.
x +3y =40，
2x +y =20， 得Q （4，12）为格子点.
如图，∵
z max
=20， 解方程组
故A厂工作4 h，B厂工作12 h，可使所费的总工作时数最少.。