一元非线性回归分析

模型，并预测第14年的销售额预测值。
年序号 t
1 2 3 4 5 6 7
年销售额 Y
年序号t
3
8
8
9
12
10
10
11
25
12
14
13
18
年销售额 Y
36 32 57 70 115 150
预测结果：
年销售额的指数拟合结果
年销售额Y
年销售额估计值
160
140
120
100
80
60
40
20
0
年
0
2
4
6
8
10
X
3
二.指数函数
指数函数 Y aebX 设 V ln Y 则 V ln a (b ln e)X
Y
Y
a
O
X
(b> 0)
a
O
X
(b< 0)
4
三.对数函数
对数函数 Y a bln X 设 U ln X 则 Y a bU
Y
Y
O
X
(b> 0)
O (b< 0)
X
5
四.双曲线函数
双曲线函数
一元非线性回归分析
• 非线性回归分析方法就是用一条曲线来拟合因变 量对于自变量的依赖关系。根据问题的性质，拟 合曲线可以是指数曲线、对数曲线、平方根曲线 以及多项式曲线等。具体采用何种曲线主要由两 方面的因素决定。一方面就是自变量与因变量之 间本来就存在着一种内在函数依赖关系，而这种 依赖关系是分析者根据自己的知识背景和经验已 经了解的。另一方面，根据由自变量和因变量观 测值作出的散点图，可以看出它们之间的依赖关 系。
12
14
8
第四节 一元非线性回归分析—变量 替换法
• 【例5-6】 某企业想了解公司某种产品的产量与 收益之间有何关系，为此收集整理了历年的产量、
收益数据资料，如下表所示。试根据这些资料建
立适当模型说明产量与收益之间的关系。
产量X 收益Y
产量X 收益Y
产量X 收益Y
产量X 收益Y
473
1.47
1467
Y
ab
1 X
设 U 1 则 Y a bU
X
Y
Y
a
O
a
O
X
(b> 0)
(b< 0)
X
6
五.二次多项式及三次多项式
二次多项式及三次多项式
Y a bX cX 2 Y a bX cX 2 dX 3
Y
Y
Y
O
X
(c> 0)
O
X
(c< 0)
O
X
7
第四节 一元非线性回归分析—规划 求解法
• 【例5-5】左下表列出了连续十三年对某消费品年 销售额的统计数据。试根据这些资料建立适当的
19.63
1673
29.2
1407
29.52
2249
38.25
1055
17.41
1499
32.32
1443
29.39
2305
41.24
1056
17.42
1703
30.24
1457
32.36
223536.49源自113222.51
1766
37.07
9
第四节 一元非线性回归分析—变量 替换法
50 45 40 35 30 25 20 15 10
1
第四节 一元非线性回归分析
• 通过变量替换把问题转化为一元或多元线性 回归问题后，用线性回归分析的方法建立回 归模型，并进行预测。
2
一.幂函数
幂函数 Y aX b 设 U ln X V ln Y 则 V ln a bU
Y
b>1
Y
a
b<1
a
O0
1
X
O
1
(b> 0)
(b< 0)
b>-1 b<-1
80000.00 60000.00 40000.00 20000.00
0.00 0
y = 40.367x3 - 1147.7x2 + 10921x + 11636 R²= 0.9046
5
10
15
20
25
月序号
11
5 0
0
收益与产量线性拟合结果
y = 0.0196x - 2.0861 R²= 0.8482
500
1000
1500
2000
2500
残差
残差
10
0 0
-10
产量(X) Residual Plot
500 1000 1500 2000 2500 产量(X)
U=LN(X) Residual Plot
10
5
0 -56.000
6.500
7.000
7.500
8.000
-10 U=LN(X)
10
第四节 一元非线性回归分析—变量 替换法
• 【例5-7】 就例5-2 Northwind Trader公司的销 售额数据，进行非线性回归分析，并预测96年6月 和7月的销售额。
销售额
月销售额变化及三次多项式拟合曲线
140000.00 120000.00 100000.00
1973
36.34
914
16.67
1568
29.42
1285
20.55
2021
32.89
939
14.9
1607
34.03
1319
23.31
2066
36.14
956
14.91
1611
30.17
1366
27.01
2154
32.52
972
15.81
1642
28.56
1403
30.3
2178
38.5
1024
30.35
1136
15.39
1771
32.54
639
7.94
1474
27.46
1075
22.53
1837
37.15
741
7.28
1493
32.26
1240
24.58
1868
33.59
824
6.55
1523
33.75
1253
27.93
1884
29.95
874
9.18
1242
25.26
1281
24.51