2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第六章 不等式、推理与证明 课时作业39 Word版含答案

课时作业39 基本不等式
一、选择题
1．已知a ，b ∈R ＋且a ≠b ，x ＝a ＋b
2
，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是( )
A ．x <y
B ．x >y
C ．x ＝y
D ．视a ，b 的值而定
解析：由不等式
a 2＋
b 22
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
，可得a ＋b
2
≥
a ＋b
2
，又因为
a ＋b
2
<a ＋b ，
所以可得
a ＋b
2
<a ＋b ，即x <y .
答案：A
2．设函数f (x )＝x ＋1
x －1
，当x >1时，不等式f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，3]
B ．[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫72，＋∞ D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，72 解析：当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1
x －1
＋1≥2x －
1
x －1
＋1＝3，当且仅当x －1＝
1
x －1
，即x ＝2时等号成立，函数f (x )有最小值3.由不等式f (x )≥a 恒成立，得实数a 的取值范围是(－∞，3]．
答案：A
3．点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上移动，则2a
＋4b
的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．4 2
D ．3 2
解析：由题可得a ＋2b ＝3，因为2a
＋4b
＝2a ＋22b
≥22a ＋2b
＝223
＝42，当且仅当a ＝
2b ，即a ＝32，b ＝3
4
时等号成立．
答案：C
4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3
B ．4
C.92
D.
112
解析：∵2xy ＝x ·2y ≤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤(x ＋2y )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2y 22，令x ＋2y ＝t ，
则t 2
＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值为4.
答案：B
5．已知关于x 的不等式x 2
－4ax ＋3a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a
x 1x 2
的最小值是( )
A.6
3 B.23 3 C.2
3
6 D.
43
3 解析：∵关于x 的不等式x 2
－4ax ＋3a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2
－12a 2
＝4a 2
，又a >0，∴Δ>0，∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2
，∴x 1＋x 2＋
a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋1
3a ≥24a ·
1
3a
＝433，当且仅当a ＝36时取等号．故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433
.
答案：D
6．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )
A ．1
B ．6
C ．9
D ．16
解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a
a －1>0，解得a >1，同理
b >1，
∴
1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1
－1＝1
a －1
＋9(a －1)≥21a －1
a －＝6，当且仅
当
1a －1＝9(a －1)，即a ＝4
3时等号成立，∴最小值为6. 答案：B 二、填空题 7．y ＝
－a
a ＋(－6≤a ≤3)的最大值为________．
解析：由－6≤a ≤3，得3－a ≥0，a ＋6≥0.由基本不等式， 得
－a
a ＋≤
－a ＋a ＋
2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32
时，等号成立，故y 的最大值为9
2
.
答案：92
8．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a
＋4b
的取值范围是________． 解析：由直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，得a ＋2b ＝1，则2a
＋4b
≥22a
×4b
＝22a ＋2b
＝
22，当且仅当2a ＝4b
，即a ＝12，b ＝14
时，等号成立，
所以2a
＋4b
的取值范围是[22，＋∞)． 答案：[22，＋∞)
9．(2017·湖北襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2
y
的最小值为________．
解析：∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴
1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1＋2y
＝52＋12⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2y
x ＋1＋x ＋y
≥52＋12
×22y x ＋1
·x ＋y
＝92
， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
2y x ＋1
＝
x ＋y ，x ＋2y ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－13，y ＝2
3时取等号，故
1x ＋1＋2y 的最小值为92，所以答案应填92
. 答案：92
三、解答题
10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2
y
≥2
8x ·2y
＝8xy
，
得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．
所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18.
当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.
11．已知a >0，b >0，1a ＋1
b
＝ab .
(1)求a 3＋b 3
的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ≥2
1
ab
，即ab ≥2
1
ab
，
由此得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，又a 3
＋b 3
≥2a 3b 3
≥223
＝42， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a 3
＋b 3
的最小值是4 2.
(2)由(1)得ab ≥2(a ＝b ＝2时取等号)， ∴2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ， 当且仅当2a ＝3b 时等号成立， 故2a ＋3b ≥26ab >43>6，
故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．
1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2
－z ＝0，则当xy z
取得最大值时，2x ＋1y －2z
的最大
值是( )
A ．0
B ．1 C.94 D ．3
解析：xy z ＝
xy x 2－3xy ＋4y 2＝
1
x y ＋4y
x
－3 ≤
14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2
，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1y －12
＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
答案：B
2．(2017·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2
＋y 2
－2x －4y －6＝0，则2a ＋1
b
的最小值是( )
A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2
D ．3－2 2
解析：∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2a ＋1b
·(a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝a
b
，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．
答案：C
3．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)
＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1
＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋
6
a －1
＋15≥2a －
6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6
a －1
(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.
答案：27
4．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2
＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．
(1)试将y 表示成x 的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？
解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240
x
－1.所以y ＝400k ＋(k ＋
1)(x 2
＋x )＝400⎝
⎛⎭
⎪⎫240x －1＋240x
(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.
因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240.故y 与x 的函数关系是y ＝96 000
x
＋
240x －160(0<x <240)．
(2)y ＝96 000x
＋240x －160
≥2
96 000
x
·240x －160＝2×4 800－160
＝9 440，
当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立．此时k ＝240x －1＝240
20－1＝11.
故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。