江苏省泰州市2013届高三数学学情诊断测试

江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 命题“012,2
>++∈∀x x R x ”的否定是 ．
2．“x >1”是“x 2
>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3
tan 5
α=-，则x 的值为 ． 5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．
6．已知1
sin cos 2
αα=
+，则⎪
⎭⎫
⎝
⎛+4sin 2cos παα
的值为 ． 7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1(0),(),(3)2
a f
b f
c f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧
>---≤-=0
,210
,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值
为 ．
10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π
2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两
点，若MN ＝1
5
，则线段MN 的中点纵坐标为 ．
11．已知函数f (x )＝|x 2
－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2
b 的最小值是 . 12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
13．已知函数()3111,0,,36221,,1.
1
2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪
=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若
存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．
14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]
x ∈-时，1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三
个不同的实数根，则a 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －x
x －a 2＋1
的
定义域为集合B .
（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；
（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由.
16.（本小题满分14分）已知函数()316f x x x =+-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；
（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线1
34
y x =-+垂直，求切点坐标.
17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444
x x x m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos(
)3
x π
-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足
(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．
18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧
168－x －10≤x ≤4，
5－1
2x 4＜x ≤10.
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．
19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2
(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；
（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－1
2恒成立，
求t 的最大值；
（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．
20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2
3=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；
（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2
++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨
⎧≥<=1
,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上
是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
江苏省泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断 数 学 试 卷 答 案 2012.10.8
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 命题“012,2
>++∈∀x x R x ”的否定是 ． 【答案】012,2
≤++∈∃x x R x
2．“x >1”是“x 2
>x ”成立的_______条件．（可选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要
3．集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______． 【答案】[)+∞,1
4．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3
tan 5
α=-，则x 的值为 ． 【答案】10
5．在ABC ∆中，若2cos sin =-A A ，则A tan =_______．
【答案】1- 6．已知1
sin cos 2
αα=
+，则⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+4sin 2cos παα
的值为 ． 【答案】2
2
-
7．函数x x y 2cos 2sin 3+-=，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,6ππx 的值域为 . 【答案】[]1,2--
8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)'()0x f x -<，设1
(0),(),(3)2
a f
b f
c f ===，则,,a b c 从小到大排列的顺序为 . 【答案】c a b <<.
9．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧
>---≤-=0
,210
,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值
为 ． 【答案】3-
10．已知直线x ＝a (0＜a ＜π
2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两
点，若MN ＝1
5，则线段MN 的中点纵坐标为 ．
【答案】7
10
11．已知函数f (x )＝|x 2
－6|，若a ＜b ＜0，且f (a )＝f (b )，则a 2
b 的最小值是 . 【答案】－16
12．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )－x ln x 在[1,＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1
2e
,＋∞)
13．已知函数()3111,0,,36221,,1.
1
2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪
=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若
存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】14,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]
x ∈-时，1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三
个不同的实数根，则a 的取值范围为 ． 【答案】3(4,2)
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －x
x －a 2＋1
的
定义域为集合B .
（Ⅰ）若A ＝B ，求实数a 值；
（Ⅱ）是否存在实数a 的值使φ=⋂B A ，若存在则求出实数a 的值，若不存在说明理由. 解：（Ⅰ）由于函数的定义域是非空数集，故1≠a .
（1）当131≠>a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22
+=a a B ，由B A =可得：⎩
⎨⎧+=+=113222
a a a ，
方程组无解； 2分 （2）当3
1
=a 时，φ=A ，B A =不可能； 4分 （3）当31<
a 时，()2,13+=a A ，()1,22
+=a a B ，由B A =可得：⎩
⎨⎧+==+122132a a a ，1-=a . 6分 （Ⅱ）（1）当13
1
≠>
a a 且时，()13,2+=a A ，()1,22+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：212132≤+≤+a a a 或，又13
1
≠>a a 且，则a 的值不存在； 8分
（2）当3
1
=a 时，φ=A ，则φ=⋂B A ，适合题意； 10分
（3）当3
1<a 时，()2,13+=a A ，()1,22
+=a a B ，由φ=⋂B A 可得：
131222+≤+≤a a a 或，又31<a ，则3
1
0<≤a . 12分
∴当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈31,0a 时，φ=⋂B A . 14
分
16.（本小题满分14分）已知函数()3
16f x x x =+-.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；
（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程； （Ⅲ）如果曲线()y f x =的某一切与直线1
34
y x =-
+垂直，求切点坐标. 解：（Ⅰ）13320x y --= 4分 （Ⅱ）013=-y x 9分 （Ⅲ）()()18,1,14,1--- 14分 17.（本小题满分14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos ).444
x x x
m n == （Ⅰ）若1m n ⋅=,求2cos(
)3
x π
-的值； （Ⅱ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足
(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围．
解：（Ⅰ）m n ⋅=
23sin cos cos 444x x x +＝311sin cos 22222x x ++＝1
sin()262x π++
2分 ∵1m n ⋅=，∴1sin()262x π+
= ，2cos()12sin ()326
x x ππ
+=-+＝12，
∴21
cos(
)cos()332
x x ππ-=-+=-. 6分 （Ⅱ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+， ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π
==，
10分 ∴203A π<<
∴1,sin()16262226
A A ππππ
<+<<+< 又∵()f x m n =⋅=1
sin()262
x π+
+，∴()f A =1sin()262A π++ ，
故函数()f A 的取值范围是（1,
3
2
）. 14分 18.（本小题满分16分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a （1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为y ＝a ·f （x ），其中f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧
168－x －10≤x ≤4，
5－1
2x 4＜x ≤10.
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次只能投放2个单位的药剂，6天后可再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值． 解：（Ⅰ）因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
648－x
－40≤x ≤4，
20－2x 4＜x ≤10. 2
分
则当0≤x ≤4时，由64
8－x －4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 4
分
当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8. 6分
综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． 8分 （Ⅱ）当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1 10
分
＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a
14－x
－a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，
所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 14分
令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－16 2. . 16分
19.（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2
(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；
（Ⅱ）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－1
2恒成立，
求t 的最大值；
（Ⅲ）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．
解：（Ⅰ）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )
＞0，
所以(－∞，0)和(2t
3
，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；
当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t
3)为函数f (x )的单调减区间． 4
分
（Ⅱ）因为k ＝3x 02
－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， 6
分
因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋
12x 0
≥23x 0×1
2x 0
＝6，
即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为6
2． 8
分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t
3
27．
因为平行于x 轴的直线l 恰好．．
与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t
3
27． 10
分
令f (x )＝－4t 3
27，所以x 2
(x －t )＝－4t 3
27，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3
．
所以C （2t 3，－4t 3
27），D （－t 3，－4t
3
27）． 12分
因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．
AD ＝
(－t
3)2
＋(－4t 3
27
)2，且AD ＝AB ＝t ，所以(－t
3)2
＋(－4t 3
27)2＝t ，解得：t ＝34
82
． 16分
20.（本小题满分16分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2
3=++-=． （Ⅰ）若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；
（Ⅱ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2
++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设()()⎩⎨
⎧≥<=1
,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上
是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
解：（Ⅰ）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或2
3
． 2分 列表如下：
由13()28f b -=+，24()327
f b =+，
∴12()()23f f ->，即最大值为133
()288
f b -=+=，∴0b =． 4分
（Ⅱ）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．
[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，
∴22ln x x
a x x
-≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x -≤-． 6分
令()[]()22,1,ln x x
t x x e x x -=-，求导得，()()()()
2
12ln ln x x x t x x x -+-'=-， 当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，
∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． 8分 （Ⅲ）由条件，()32,1
ln ,1
x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，
假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()
32,Q t t t -+，且1t ≠．
POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
∴0OP OQ ⋅=，∴()()
2320t f t t t -++=
()*，
是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解． 10分 ①若01t <<时，方程()*为()()
232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，
此方程无解； 12分 ②若1t >时，()*方程为(
)
232ln 0t a t t t -+⋅+=，即
()1
1ln t t a
=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1
ln 1h t t t
'=++，
显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，
∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．
∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 16分。